Значение функции лапласа больше 5. Функция лапласа
Функция Лапласа представляет собой неэлементарную функцию и зачастую используется как в теории дифференциальных уравнений и теории вероятностей, так и в статистике. Функция Лапласа требует определенного набора знаний и подготовки, ведь позволяет решать различные задачи в области прикладного и теоретического применения.
Функция Лапласа часто используется для решения дифференциальных уравнений и часто именуется интегралом вероятности. Давайте же посмотрим, как в Excel можно применять данную функцию и как она функционирует.
Интегралом вероятности или функцией Лапласа в Excel отвечает оператор «НОРМСТРАСП», который имеет синтаксис: «=НОРМСТРАСП(z). В более новых версиях программы оператор так же имеет название «НОРМ.СТ.РАСП.» и немного видоизмененный синтаксис «=НОРМ.СТ.РАСП(z; интегральная).
Аргумент «Z» отвечает за числовое значение распределения. Аргумент «Интегральная» - возвращает два значения – «1» - интегральную функцию распределения, «0» - весовую функцию распределения.
С теорией разобрались. Перейдем к практике. Рассмотрим использование функции Лапласа в Excel.
1. Запишем в ячейку значение, в соседней вставим функцию.
2. Запишем функцию вручную «=НОРМ.СТ.РАСП(В4;1).
3. Или же используем мастера вставки функций – перейдем в категорию «Статические» и укажем «Полный алфавитный перечень.
4. В появившемся окне аргументов функции укажем на исходные значения. За переменную «Z» будет отвечать наша исходная ячейка, а в «Интегральная» вставим «1». Наша функция будет возвращать интегральную функцию распределения.
5. Получаем готовое решение стандартного нормального интегрального распределения для данной функции «НОРМ.СТ.РАСП». Но это еще не все, нашей же целью было найти функцию Лапласа или интеграл вероятности, поэтому выполним еще несколько шагов.
6. Функция Лапласа подразумевает, что от значения полученной функции необходимо отнять «0,5». Дописываем необходимую операцию в функцию. Нажимам «Ввод» и получаем итоговое решение. Искомое значение верно и быстро найдено.
Excel с легкостью просчитывает данную функцию для любого значения ячейки, диапазона ячеек или ссылок на ячейки. Функция «НОРМ.СТ.РАСП» является стандартным оператором для поиска интеграла вероятности или как еще его называют – функции Лапласа.
Формула Бейеса
События В 1 ,В 2 ,…,В n являются несовместимыми и образуют полную группу, т.е. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. И пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из событий В 1 ,В 2 ,…,В n . Тогда вероятность события А находится по формуле полной вероятности.
Пусть событие А уже произошло. Тогда вероятности гипотез В 1 ,В 2 ,…,В n могут быть переоценены по формуле Бейеса:
Формула Бернулли
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может или наступить или не наступить. Вероятность наступления (не наступления) события А одна и та же и равна p (q=1-p).
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступит ровно к раз (по фиг, в какой последовательности), находится по формуле Бернулли:
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит:
а). Менее к раз P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).
б). Более к раз P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
в). не менее к раз P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).
Г). не более к раз P n (0)+P n (1)+…+P n (k).
Локальная и интегральная теоремы Лапласа.
Этими теоремами мы пользуемся в том случае, когда n достаточно большое.
Локальная теорема Лапласа
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит ровно `к" раз, приближенно равно:
Таблица функций для положительных значений (х) приведена в задачнике Гмурмана в Приложении 1, стр.324-325.
Так как четная (), то для отрицательных значений (х) пользуемся той же самой таблицей.
Интегральная теорема Лапласа.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит не менее `к" раз, приближенно равно:
Функция Лапласа
Таблица функций для положительных значений приведена в задачнике Гмурмана в Приложении 2, стр.326-327. Для значений, больших 5 полагаем Ф(х)=0,5.
Так как функция Лапласа нечетная Ф(-х)=-Ф(х), то для отрицательных значений (х) пользуемся той же самой таблицей, только значения функции берем со знаком минус.
Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины
Биноминальный закон распределения.
Дискретная - случайная величина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами, возможные значения дискретной случайной величины можно пронумеровать.
Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.
Дискретные случайные величины обозначаются большими буквами Х, а их возможные значения - маленькими х1, х2, х3…
Например .
Х - число очков, выпавших на игральной кости; Х принимает шесть возможных значений: х1=1, х2=1, х3=3, х4=4, х5=5, х6=6 с вероятностями р1=1/6, р2=1/6, р3=1/6 … р6=1/6.
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Закон распределения может быть задан:
1. в виде таблицы.
2. Аналитически - в виде формулы.
3. графически. В этом случае в прямоугольной системе координат ХОР строятся точки М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn). Эти точки соединяют отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения .
Для написания закона распределения дискретной случайной величины (х), надо перечислить все ее возможные значения и найти соответствующие им вероятности.
Если соответствующие им вероятности находятся по формуле Бернулли, то такой закон распределения называется биномиальным.
Пример №168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Числовые значения дискретных случайных величин.
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Характеристикой среднего значения дискретной случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Т.е. если задан закон распределения, то математическое ожидание
Если число возможных значений дискретной случайной величины бесконечно, то
Причем ряд, стоящий в правой части равенства, сходится абсолютно, и сумма всех вероятностей рi равна единице.
Свойства математического ожидания.
1. М(С)=С, С=пост.
2. М(Сх)=СМ(х)
3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)
4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).
5. Для биноминального закона распределения математическое ожидание находится по формуле:
Характеристикой рассеяния возможных значений случайно величины вокруг математического ожидания служат дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией дискретной случайной величины (х) называют математическое ожидание квадрата отклонения. Д(х)=М(х-М(х)) 2 .
Дисперсию удобно вычислять по формуле: Д(х)=М(х 2)-(М(х)) 2 .
Свойства дисперсии.
1. Д(С)=0, С=пост.
2. Д(Сх)=С 2 Д(х)
3. Д(х1+х2+…+хn)=Д(х1)+Д(х2)+…+Д(хn)
4. Дисперсия биноминального закона распределения
Средним квадратичным отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии.
примеры. 191, 193, 194, 209, д/з.
Интегральная функция распределения (ИФР, ФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ). Непрерывная - величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений НСВ естьи его невозможно перенумеровать.
Например .
Расстояние, которое пролетает снаряд при выстреле, есть НСВ.
ИФР называют функцию F(x), определяющую для каждого значения х вероятность того, что НСВ Х примет значение Х<х, т.е. F(x)=Р(X Часто вместо ИФР говорят ФР. Геометрически, равенство F(x)=Р(X Свойства ИФ.
1. Значение ИФ принадлежит промежутку , т.е. F(x). 2. ИФ есть неубывающая функция, т.е. х2>х1,. Следствие 1. Вероятность того, что НСВ Х примет значение, заключенное в интервале (а;в), равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е. P(a Следствие 2. Вероятность того, что НСВ Х примет одно определенное значение, например, х1=0, равна 0, т.е. Р(х=х1)=0. 3. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то F(x)=0 при x<а, и F(x)=1 при х>в. Следствие 3. Справедливы следующие предельные отношения. Дифференциальная функция распределения (ДФР) вероятностей непрерывной случайной величины (НСВ) (плотность вероятности). ДФ f(x)
распределения вероятностей НСВ называют первую производную от ИФР
: Часто вместо ФДР говорят плотность вероятности (ПВ). Из определения следует, что, зная ИФ F(x) можно найти ДФ f(x). Но выполняется и обратное преобразование: зная ДФ f(x), можно найти ИФ F(x). Вероятность того, НСВ Х примет значение, принадлежащее (а;в), находится: А). Если задана ИФ - следствие 1. Б). Если задана ДФ Свойства ДФ.
1. ДФ - не отрицательная, т.е. . 2. несобственный интеграл от ДФ в пределах (), равен 1, т.е. . Следствие 1. Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то. Примеры. №263, 265, 266, 268, 1111, 272, д/з. Числовые характеристики НСВ. 1. Математическое ожидание (МО) НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле: Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то МО определяется по формуле: Все свойства МО, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин. 2. Дисперсия НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется по формуле: Если все возможные значения НСВ Х принадлежат (а;в), то дисперсия определяется по формуле: Все свойства дисперсии, указанные для дискретных величин, сохраняются и для непрерывных величин. 3. Среднее квадратичное отклонение НСВ Х определяется также, как и для дискретных величин: Примеры. №276, 279, Х, д/з. Операционные исчисления (ОИ). ОИ представляет собой метод, позволяющий свести операции дифференцирования и интегрирования функций к более простым действиям: умножение и деление на аргумент так называемых изображений этих функций. Использование ОИ облегчает решение многих задач. В частности, задач интегрирования ЛДУ с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений, сводя их к линейным алгебраическим. Оригиналы и изображения. Преобразования Лапласа. f(t)-оригинал; F(p)-изображение. Переход f(t)F(p) называется преобразование Лапласа
. Преобразование по Лапласу функции f(t) называется F(p), зависящая от комплексной переменной и определяемая формулой: Этот интеграл называется интеграл Лапласа. Для сходимости этого несобственного интеграла достаточно предположить, что в промежутке f(t) кусочно непрерывна и при некоторых постоянных М>0 и удовлетворяет неравенству Функция f(t), обладающая такими свойствами, называется оригиналом
, а переход от оригинала к его изображению, называется преобразованием Лапласа
. Свойства преобразования Лапласа.
Непосредственное определение изображений по формуле (2) обычно затруднено и может быть существенно облегчено использованием свойств преобразования Лапласа. Пусть F(p) и G(p) являются изображениями оригиналов f(t) и g(t) соответственно. Тогда имеют место следующие свойства-соотношения: 1. С*f(t)С*F(p), С=const -свойство однородности. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) -свойство аддитивности. 3. f(t)F(p-) -теорема смещения. переход n-ой производной оригинала в изображение (теорема дифференцирования оригинала). 2.1. Функция (интеграл вероятностей) Лапласа
имеет вид: График функции Лапласа приведен на рис.5. Функция Ф
(х
) табулирована (см. табл. 1 приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Лапласа:
1) Функция Ф(х
) нечетная: Ф
(-х
)= -Ф
(х
). 2) Функция Ф
(х
) монотонно возрастающая. 3) Ф
(0)=0. 4) Ф
(+¥
)=0,5; Ф
(-¥
)=-0,5. На практике можно считать, что при х³5 функция Ф
(х
)=0,5; при х£-5 функция Ф
(х
)=-0,5. 2.2.
Существует другие формы функции Лапласа: В отличие от этих форм функция Ф
(х
) называется стандартной или нормированной функцией Лапласа. Она связана с другими формами соотношениями: ПРИМЕР 2.
Непрерывная случайная величина Х
имеет нормальный закон распределения с параметрами: m
=3, s
=4. Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х
: а) примет значение, заключенное в интервале (2; 6); б) примет значение, меньше 2; в) примет значение, больше 10; г) отклонится от математического ожидания на величину, не превышающую 2. Проиллюстрировать решение задачи графически. Решение.
а) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х
попадет в заданный интервал (a,b
), где a
=2 и b
=6, равна: Значения функции Лапласа Ф(х)
определяют по таблице, приведенной в приложении, учитывая, что Ф
(–х
)= –Ф
(х
). б) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х
примет значение меньше 2, равна: в) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х
примет значение больше 10, равна: г) Вероятность того, что нормальная случайная величина Х
d
=2, равна: С геометрической точки зрения, вычисленные вероятности численно равны заштрихованным площадям под нормальной кривой (см. рис.6). Рис. 6. Нормальная кривая для случайной величины Х
~N
(3;4) Решение.
Математическое ожидание случайных ошибок равно нулю m
Х
отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d
=15, равна: ПРИМЕР 4
. Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение Х
диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина Х
распределена нормально со средним квадратическим отклонением 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди 100 изготовленных. Решение.
Случайная величина Х
- отклонение диаметра шарика от проектного размера. Математическое ожидание отклонения равно нулю, т.е. М
(Х
)=m
=0. Тогда вероятность того, что нормальная случайная величина Х
отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d
=0,7, равна: Отсюда следует, что примерно 92 шарика из 100 окажутся годными. ПРИМЕР 5.
Доказать правило «3s
». Решение.
Вероятность того, что нормальная случайная величина Х
отклонится от математического ожидания на величину, меньшую d=
3s
, равна: ПРИМЕР 6.
Случайная величина Х
распределена нормально с математическим ожиданием m
=10. Вероятность попадания Х
в интервал (10, 20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания Х
в интервал (0, 10)? Решение.
Нормальная кривая симметрична относительно прямой х
=m
=10, поэтому площади, ограниченные сверху нормальной кривой и снизу интервалами (0, 10) и (10, 20), равны между собой. Так как площади численно равны вероятностям попадания Х
в соответствующий интервал, то. Данная статья является естественным продолжением урока о независимых испытаниях
, на котором мы познакомились с формулой Бернулли
и отработали типовые примеры по теме. Локальная и интегральная теоремы Лапласа (Муавра-Лапласа) решают аналогичную задачу с тем отличием, что они применимы к достаточно большому количеству независимых испытаний. Не нужно тушеваться слов «локальная», «интегральная», «теоремы» – материал осваивается с той же лёгкостью, с какой Лаплас потрепал кучерявую голову Наполеона. Поэтому безо всяких комплексов и предварительных замечаний сразу же рассмотрим демонстрационный пример: Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет 200 раз.
По характерным признакам здесь следует применить формулу Бернулли
– вероятность того, что в независимых испытаниях случайное событие наступит ровно раз; Применительно к нашей задаче: Таким образом, вероятность того, что в результате 400 бросков монеты орёл выпадет ровно 200 раз: …Стоп, что делать дальше? Микрокалькулятор (по крайне мере, мой) не справился с 400-й степенью и капитулировал перед факториалами
. А считать через произведение что-то не захотелось =) Воспользуемся стандартной функцией Экселя
, которая сумела обработать монстра: . Заостряю ваше внимание, что получено точное
значение и такое решение вроде бы идеально. На первый взгляд. Перечислим веские контраргументы: – во-первых, программного обеспечения может не оказаться под рукой; Поэтому, уважаемые читатели, в ближайшем будущем нас ждёт: Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что в испытаниях событие наступит ровно раз, приближённо равна: При этом, чем больше , тем рассчитанная вероятность будет лучше приближать точное значению , полученное (хотя бы гипотетически)
по формуле Бернулли. Рекомендуемое минимальное количество испытаний – примерно 50-100, в противном случае результат может оказаться далёким от истины. Кроме того, локальная теорема Лапласа работает тем лучше, чем вероятность ближе к 0,5, и наоборот – даёт существенную погрешность при значениях , близких к нулю либо единице. По этой причине ещё одним критерием эффективного использования формулы Так, например, если , то и применение теоремы Лапласа для 50 испытаний оправдано. Но если и , то и приближение (к точному значению )
будет плохим. О том, почему и об особенной функции Оформим официальные отношения с нашим примером: Задача 1
Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно: а) 200 раз; С чего начать решение
? Сначала распишем известные величины, чтобы они были перед глазами: – общее количество независимых испытаний; а) Найдём вероятность того, что в серии из 400 бросков орёл выпадет ровно раз. Ввиду большого количества испытаний используем локальную теорему Лапласа: На первом шаге вычислим требуемое значение аргумента: Далее находим соответствующее значение функции: . Это можно сделать несколькими способами. В первую очередь, конечно же, напрашиваются непосредственные вычисления: Недостаток прямого вычисления состоит в том, что экспоненту переваривает далеко не каждый микрокалькулятор, кроме того, расчёты не особо приятны и отнимают время. Зачем так мучиться? Используйте калькулятор по терверу
(пункт 4)
и получайте значения моментально! Кроме того, существует таблица значений функции
, которая есть практически в любой книге по теории вероятностей, в частности, в учебном пособии В.Е. Гмурмана
. Закачайте, кто ещё не закачал – там вообще много полезного;-) И обязательно научитесь пользовать таблицей (прямо сейчас!)
– подходящей вычислительной техники всегда может не оказаться под рукой! На заключительном этапе применим формулу Как видите, полученный результат очень близок к точному значению , вычисленному по формуле Бернулли
. б) Найдём вероятность того, что в серии из 400 испытаний орёл выпадет ровно раз. Используем локальную теорему Лапласа. Раз, два, три – и готово: – искомая вероятность. Ответ
: Следующий пример, как многие догадались, посвящён деторождению – и это вам для самостоятельного решения:) Задача 2
Вероятность рождения мальчика равна 0,52. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется ровно: а) 40 мальчиков, б) 50 мальчиков, в) 30 девочек. Результаты округлить до 4 знаков после запятой. …Интересно тут звучит словосочетание «независимые испытания» =) Кстати, реальная статистическая вероятность
рождения мальчика во многих регионах мира колеблется в пределах от 0,51 до 0,52. Примерный образец оформления задачи в конце урока. Все заметили, что числа получаются достаточно малыми, и это не должно вводить в заблуждение – ведь речь идёт о вероятностях отдельно взятых, локальных
значениях (отсюда и название теоремы). А таковых значений много, и, образно говоря, вероятности «должно хватить на всех». Правда, многие события будут практически невозможными
. Поясню вышесказанное на примере с монетами: в серии из четырёхсот испытаний орёл теоретически может выпасть от 0 до 400 раз, и данные события образуют полную группу
: Однако бОльшая часть этих значений представляет собой сущий мизер, так, например, вероятность того, что орёл выпадет 250 раз – уже одна десятимиллионная: . О значениях наподобие С другой стороны, не следует недооценивать и скромные результаты: если составляет всего около , то вероятность того, орёл выпадет, скажем, от 220 до 250 раз
, будет весьма заметна. А теперь задумаемся: как вычислить данную вероятность? Не считать же по теореме сложения вероятностей несовместных событий
сумму: Гораздо проще эти значения объединить
. А объединение чего-либо, как вы знаете, называется интегрированием
: Если вероятность появления случайного события в каждом испытании постоянна, то вероятность При этом количество испытаний, разумеется, тоже должно быть достаточно большим и вероятность не слишком мала/велика (ориентировочно )
, иначе приближение будет неважным либо плохим. Функция называется функцией Лапласа
, и её значения опять же сведены в стандартную таблицу (найдите и научитесь с ней работать!!
). Микрокалькулятор здесь не поможет, поскольку интеграл является неберущимся. Но вот в Экселе есть соответствующий функционал – используйте пункт 5
расчётного макета
. На практике наиболее часто встречаются следующие значения: Кроме того, функция Лапласа нечётна
: Задача 3
Вероятность поражения стрелком мишени равна 0,7. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз. Я подобрал наиболее реалистичный пример, а то у меня тут нашлось несколько задач, в которых стрелок делает тысячи выстрелов =) Решение
: в данной задаче речь идёт о повторных независимых испытаниях
, причём их количество достаточно велико. По условию требуется найти вероятность того, что мишень будет поражена не менее 65, но и не более 80 раз, а значит, нужно использовать интегральную теорему Лапласа: , где Для удобства перепишем исходные данные в столбик: Следовательно, теорема Лапласа даст хорошее приближение. Вычислим значения аргументов: Используем указанную выше таблицу либо расчётный макет по терверу
(пункт 5)
. Обязательно пользуемся нечётностью функции!
На всякий случай распишу подробно: Ответ
: Результат чаще всего округляют до 4 знаков после запятой (опять же в соответствии с форматом таблицы)
. Для самостоятельного решения: Задача 4
В здании имеется 2500 ламп, вероятность включения каждой из них в вечернее время равна 0,5. Найти вероятность того, что вечером будет включено не менее 1250 и не более 1275 ламп. Примерный образец чистового оформления в конце урока. Следует отметить, что рассматриваемые задачи очень часто встречаются в «обезличенном» виде, например: Производится некоторый опыт, в котором случайное событие может появиться с вероятностью 0,5. Опыт повторяется в неизменных условиях 2500 раз. Определить вероятность того, что в 2500 опытах событие произойдет от 1250 до 1275 раз
И подобных формулировок выше крыши. По причине трафаретности задач условие нередко стремятся завуалировать – это «единственный шанс» хоть как-то разнообразить и усложнить решение: Задача 5
В институте обучается 1000 студентов. В столовой имеется 105 посадочных мест. Каждый студент отправляется в столовую на большой перемене с вероятностью 0,1. Какова вероятность того, что в обычный учебный день: а) столовая будет заполнена не более чем на две трети; Обращаю внимание на существенную оговорку «в ОБЫЧНЫЙ учебный день» – она обеспечивает относительную неизменность ситуации. После праздников в институт может прийти значительно меньше студентов, а на «День открытых дверей» нагрянуть голодная делегация =) То есть, в «необычный» день вероятности будут заметно отличаться. Решение
: используем интегральную теорему Лапласа , где В данной задаче: а) Вычислим, сколько посадочных мест составляют две трети от общего количества: мест Найдём вероятность того, что в обычный учебный день столовая будет заполнена не более чем на две трети. Что это значит? Это значит, что на большой перемене придут от 0 до 70 человек. То, что никто не придёт или придут всего несколько студентов – есть события практически невозможные
, однако в целях применения интегральной теоремы Лапласа эти вероятности все равно следует учесть. Таким образом: Вычислим соответствующие аргументы: В результате: Напоминание
: при функцию Лапласа считаем равной .
Толкучка, однако =) б) Событие «Посадочных мест на всех не хватит»
состоит в том, что в столовую на большой перемене придут обедать от 106 до 1000 человек (главное, хорошо уплотнить =)).
Понятно, что высокая посещаемость невероятна, но тем не менее: Рассчитываем аргументы: Таким образом, вероятность того, что посадочных мест на всех не хватит: Ответ
: А теперь остановимся на одном важном нюансе
метода: когда мы проводим вычисления на отдельно взятом отрезке
, то всё «безоблачно» – решайте по рассмотренному шаблону. Однако в случае рассмотрения полной группы событий
следует проявить определённую аккуратность
. Поясню этот момент на примере только что разобранной задачи. В пункте «бэ» мы нашли вероятность – того, что посадочных мест на всех не хватит. Далее, по той же самой схеме рассчитаем: Поскольку эти события противоположны
, то сумма вероятностей должна равняться единице: В чём дело? – вроде бы тут всё логично. Дело в том, что функция Лапласа является непрерывной
, а мы не учли интервал
от 105 до 106. Вот здесь то и пропал кусочек 0,0338. Поэтому по той же самой стандартной формуле
следует вычислить: Ну, или ещё проще: Возникает вопрос
: а что, если мы СНАЧАЛА нашли ? Тогда будет другая версия решения: Но как так может быть?! – в двух способах получаются разные ответы! Всё просто: интегральная теорема Лапласа – это метод приближённого
вычисления, и поэтому приемлемы оба пути. Для более точных расчётов следует воспользоваться формулой Бернулли
и, например, экселевской функцией БИНОМРАСП
. В результате её применения
получаем: И я выражаю благодарность одному из посетителей сайта, который обратил внимание на эту тонкость – она выпала из моего поля зрения, так как исследование полной группы событий редко встречается на практике. Желающие могут ознакомиться с Одной из самых известных неэлементарных функций, которая применяется в математике, в теории дифференциальных уравнений, в статистике и в теории вероятностей является функция Лапласа. Решение задач с ней требует существенной подготовки. Давайте выясним, как можно с помощью инструментов Excel произвести вычисление данного показателя. Функция Лапласа имеет широкое прикладное и теоретическое применение. Например, она довольно часто используется для решения дифференциальных уравнений. У этого термина существует ещё одно равнозначное название – интеграл вероятности. В некоторых случаях основой для решения является построение таблицы значений. В Экселе указанная задача решается с помощью оператора НОРМ.СТ.РАСП
. Его название является сокращением от термина «нормальное стандартное распределение». Так как его главной задачей является возврат в выделенную ячейку стандартного нормального интегрального распределения. Данный оператор относится к статистической категории стандартных функций Excel. В Excel 2007 и в более ранних версиях программы этот оператор назывался НОРМСТРАСП
. Он в целях совместимости оставлен и в современных версиях приложений. Но все-таки в них рекомендуется использование более продвинутого аналога – НОРМ.СТ.РАСП
. Синтаксис оператора НОРМ.СТ.РАСП
выглядит следующим образом: НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная) Устаревший оператор НОРМСТРАСП
записывается так: НОРМСТРАСП(z) Как видим, в новом варианте к существующему аргументу «Z»
добавлен аргумент «Интегральная»
. Нужно заметить, что каждый аргумент является обязательным. Аргумент «Z»
указывает числовое значение, для которого производится построение распределения. Аргумент «Интегральная»
представляет собой логическое значение, которое может иметь представление «ИСТИНА»
(«1»)
или «ЛОЖЬ»
(«0»)
. В первом случае в указанную ячейку возвращается интегральная функция распределения, а во втором – весовая функция распределения. Для того чтобы выполнить требуемое вычисление для переменной применяется следующая формула: НОРМ.СТ.РАСП(z;интегральная(1))-0,5 Теперь давайте на конкретном примере рассмотрим использование оператора НОРМ.СТ.РАСП
для решения конкретной задачи.
и 
1 5
ПРИМЕР 3.
Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением 10 мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 15 мм.Локальная и интегральная теоремы Лапласа
. Вспомним смысл этих букв:
– биномиальный коэффициент
;
– вероятность появления события в каждом испытании;
– общее количество испытаний;
– количество бросков, в которых должен выпасть орёл;
– и во-вторых, решение будет смотреться нестандартно (с немалой вероятностью придётся перерешивать)
;Локальная теорема Лапласа
, где .
является выполнение неравенства ()
.
мы поговорим на уроке о нормальном распределении вероятностей
, а пока нам потребуется формально-вычислительная сторона вопроса. В частности, важным фактом является чётность
этой функции: 
.
б) 225 раз.
– вероятность выпадения орла в каждом броске;
– вероятность выпадения решки.
, где 
.
Округление проводят, как правило, до 4 знаков после запятой.
:
– вероятность того, что при 400 бросках монеты орёл выпадет ровно 200 раз.
тактично умолчим =)Интегральная теорема Лапласа
того, что в испытаниях событие наступит не менее и не более раз
(от до раз включительно)
, приближённо равна:
– перепишите к себе в тетрадь.
Начиная с , можно считать, что , или, если записать строже: 
, и данное свойство активно эксплуатируется в задачах, которые нас уже заждались:
– всего выстрелов;
– минимальное число попаданий;
– максимальное число попаданий;
– вероятность попадания в мишень при каждом выстреле;
– вероятность промаха при каждом выстреле.
Обращаю ваше внимание, что произведение вовсе не обязано нацело извлекаться из-под корня (как любят «подгонять» числа авторы задач)
– без тени сомнения извлекаем корень и округляем результат; я привык оставлять 4 знака после запятой. А вот полученные значения обычно округляют до 2 знаков после запятой – эта традиция идёт из таблицы значений функции
, где аргументы представлены именно в таком виде.
В качестве письменного комментария советую поставить следующую фразу: значения функции найдём по соответствующей таблице
:
– вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена от 65 до 80 раз.
Дело в том, что таблица значений функции
содержит только положительные «икс», а мы работаем (по крайне мере, по «легенде»)
с таблицей!
б) посадочных мест на всех не хватит.
– всего студентов в институте;
– вероятность того, что студент отправится в столовую на большой перемене;
– вероятность противоположного события.
– вероятность того, что в обычный учебный день столовая будет заполнена не более чем на две трети.
.
– вероятность того, что мест хватит.Оператор НОРМ.СТ.РАСП
Решение задачи
