Сформировать на сети поток максимальной мощности. Пример нахождения максимального потока методом Форда—Фалкерсона

Эту операцию повторяем до тех пор, пока не окажется помеченным сток. Если сток остался непомеченным, то найденный поток - максимальный, а множество дуг, связывающих помеченные вершины с непомеченными, образуют минимальный разрез.

3. Пусть сток имеет пометку (j+, ε(t)) , тогда f(j,t) заменяем на f(j,t)+ε(t) . Если же сток имеет пометку (j-, ε(t)) , то f(j,t) заменяем на f(j,t)-ε(t) . Переходим к вершине j . Если j имеет пометку (i+, ε(j)) , то заменяем f(i,j) на f(i,j)+ε(t) , а если ­(i-, ε(j)) , f(j,i) заменяем на f(j,i)-ε(t) . Переходим к вершине i . Эту операцию повторяем до тех пор, пока не достигнем источника s . Изменение потока прекращается, стираются все пометки и переходим к п.2

ПРИМЕР 3.14.

М 4 К

ЗАДАЧА. Найти наибольший поток на сети

АЛГОРИТМ

Обозначим вершину s= х 0 . Все остальные – х i .

1 этап.

1. Выбираем любой путь, все дуги которого не насыщены.

2. Увеличиваем величину потока по этому пути на единицу до тех пор, пока в нем не будет насыщенной дуги.

Процесс увеличения потока продолжаем до тех пор, пока не будет построен полный поток, т.е. любой путь будет содержать хотя бы одну насыщенную дугу.

2 этап.

2. Если х i уже помеченная вершина, то помечаем (+i) все непомеченные вершины, в которые идут не насыщенные дуги из х i , и индексом (–i) все непомеченные вершины, из которых идут дуги с ненулевым потоком в х i .

3. Если в результате этого процесса окажется помеченной вершина t , то между s и t найдется путь, все вершины которого помечены номерами предыдущих вершин. Поток во всех дугах этого пути увеличиваем на единицу, если при движении отs к t ориентация дуги совпадает с направлением движения, и уменьшаем на единицу, если дуга имеет противоположную ориентацию. Переходим к п.1.

4. Когда вершину t невозможно пометить процесс прекращается и полученный поток является наибольшим потоком сети.

ПРИМЕЧАНИЕ. Перейти к 2 этапу можно, не завершая первого этапа (см. пример 3.16).

ПРИМЕР 3.15.

9

РЕШЕНИЕ:

На заданной транспортной сети найден полный поток. Насыщенные дуги выделены

В этой сети также можно пометить конечную вершину, причем результат разметки окажется тем же самым. Изменив поток, получим сеть, в которой конечную вершину пометить невозможно, поэтому поток в ней является наибольшим и равен 10.

ПРИМЕР 3.16.

8 2 1

На заданной транспортной сети найден неполный поток

Пометим сеть и увеличим в ней поток согласно алгоритму. Получим

В этой сети также можно пометить конечную вершину, причем результат разметки окажется тем же самым. Изменив поток, получим сеть, в которой конечную вершину пометить невозможно, поэтому поток в ней является наибольшим и равен 6.

Раздел IV. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ.

Динамическое программирование служит для поиска оптимальных многоэтапных решений. Например, долгосрочное планирование замены оборудования; деятельность отрасли промышленности в течение ряда лет. Оно использует принцип оптимальности, согласно которому всякое новое частичное решение должно быть оптимальным относительно достигнутого состояния.

Лучше много раз решить одну простую задачу, чем один раз сложную.

ЗАДАЧА 1. О наивыгоднейшем пути между двумя пунктами.

Требуется соорудить путь, соединяющий два пункта А и В, из которых второй лежит к северо-востоку от первого. Для простоты допустим, что прокладка пути состоит из ряда шагов, и на каждом шаге мы можем двигаться либо строго на север, либо строго на восток. Тогда любой путь представляет собой ступенчатую ломаную линию, отрезки которой параллельны одной из координатных осей. Затраты на сооружение каждого из таких отрезков известны.

ПРИМЕР 4.1. Найти минимальный путь от А до В.

Последний шаг – достижение т.В. Перед последним шагом мы могли находиться в точках, откуда за один шаг можно достичь т.В. Таких точки две (система могла находиться в одном из двух состояний). Для каждой из них существует единственный вариант достижения т.В: для одной – двигаться на восток; для другой – на север. Запишем затраты 4 и 3 в каждом случае.

4

Теперь оптимизируем предпоследний шаг. После предыдущего шага мы могли оказаться в одной из трех точек: С 1 , С 2 , С 3 .

Для т. С 1 существует единственное управление (пометим его стрелкой) – двигаться на восток, при этом затраты составят 2(на данном шаге)+4(на следующем шаге)=6. Аналогично для т. С 3 затраты составят 2+3=5. Для т.С 2 существует два управления: идти на восток или на север. В первом случае затраты составят 3+3=6, а во втором случае – 1+4=5. Значит условное оптимальное управление – идти на север. Пометим его стрелкой и занесем соответствующие затраты.

Ответ: x 1 =1; x 3 =0; x 3 =4; W=3,5

ОБОБЩЕННЫЙ АЛГОРИТМ

1. Описать систему. Т.е выяснить, какими параметрами характеризуется состояние управляемой системы перед каждым шагом. Важно уметь правильно и “скромно” поставить задачу, не переобременяя ее лишними подробностями, упрощая сколько возможно описание управляемой системы.

2. Расчленить операцию на шаги (этапы). Здесь должны быть учтены все разумные ограничения, накладываемые на управление. Шаг должен быть достаточно мелким для того, чтобы процедура оптимизации шагового управления была достаточно проста; и шаг, в то же время должен быть не слишком мелким, чтобы не производить излишних расчетов, усложняющих процедуру поиска оптимального решения, но не приводящих к существенному изменению оптимума целевой функции.

3. Выяснить набор шаговых управлений x i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.

4. Определить, какой выигрыш приносит на i-шаге управление x i , если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать функции выигрыша:

w i =f i (S, x i)

5. Определить, как изменяется состояние системы под влиянием управления x i на I-м шаге, т.е. записать функции изменения состояния.

S / =φ i (S, x i)

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш через уже известную функцию

W i (S)= max{f i (S,x i)+W i+1 (φ i (S, x i))}

7. Произвести условную оптимизацию последнего шага, делая различные предположения о том, чем кончился предпоследний шаг, и для каждого из этих предположений найти условное (выбирается исходя из условия, что шаг закончился тем-то) оптимальное управление на последнем шаге.

W m (S)= max{f m (S, x m)}

8. Произвести условную оптимизацию, начиная с предпоследнего и кончая первым шагом(пятясь назад).

9. Произвести безусловную оптимизацию управления, «читая» соответствующие рекомендации на каждом шаге: взять найденное оптимальное управление на первом шаге и изменить состояние системы, для найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге и т.д. до последнего шага.

ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ. Каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбирать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

Принцип динамического программирования не предполагает, что каждый шаг оптимизируется отдельно, независимо от других. Что толку выбирать управление, эффективность которого максимальна на одном конкретном шаге, если этот шаг лишит нас возможности хорошо выиграть на последующих шагах?

На практике встречаются случаи, когда планировать операцию приходится на неопределенно долгий промежуток времени. Моделью такого случая является бесконечношаговый управляемый процесс, где все шаги равноправны. Здесь функция выигрыша и функция изменения состояния не зависят от номера шага.

Раздел V. ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Идея этого алгоритма состоит в поиске сквозных путей с положительными потоками от источника к стоку.

Рассмотрим ребро (i, j) с (начальной) пропускной способностью. В процессе выполнения алгоритма части этих пропускных способностей «забираются» потоками, проходящими через данное ребро, в результате каждое ребро будет иметь остаточную пропускную способность. Запись - остаточная пропускная способность. Сеть в которой все ребра имеют остаточную пропускную способность, назовем остаточной.

Для произвольного узла j, получающего поток из узла i, определим метку, где - величина потока, протекающего от j узла к узлу i. Чтобы найти максимальный поток, выполняем следующие действия.

Для всех ребер положим остаточную пропускную способность равной первоначальной пропускной способности, т.е. приравняем =. Назначим и пометим узел 1 меткой. Полагаем i=1.

Множество узлов j, в которые можно перейти из узла I по ребру с положительной остаточной пропускной способностью >0 для всех j. Если, выполняем 3 этап, в противном случае переходим к 4.

В находим узел k, такой, что. Положим и пометим узел k меткой. Если k=n, сквозной путь найден, и переходим к 5 этапу, в противном случае полагаем i=k и возвращаемся к 2 этапу.

Откат назад. Если i=1, сквозной путь не возможен, и переходим к 6. Если, находим помеченный узел r, непосредственно предшествующий узлу i, и удаляем его из множества узлов, смежных с узлом r. Полагаем i=r и возвращаемся ко 2 этапу.

Определение остаточной сети. Обозначим через множество узлов, через которые проходит p_й найденный сквозной путь от узла источника (узел 1) до узла стока (узел n).тогда максимальный поток, проходящий по этому пути

Остаточные пропускные способности ребер, составляющих сквозной путь, уменьшаются на величину в направлении движения потока и увеличиваются на эту же величину в противоположном направлении.

Т.о. для ребра (i, j), входящего в сквозной путь, текущие остаточные пропускные способности изменяются:

1) , если поток идет от узла i к j,

2) , если поток идет от узла j к i.

а) при m найденных сквозных путях максимальный поток выражается

б) Имея значения начальных и конечных пропускных способностей ребра (i, j), можно вычислить оптимальный поток через это ребро следующим образом. Положим. Если >0, поток, проходящий через ребро (i, j) равен. Если >0, тогда поток равен. (случай, когда одновременно >0 и >0, невозможен).

Пример 1. Найти максимальный поток в сети рис. 1

Итерация 1. =

3) k=3, так как. Назначаем и помечаем узел 3 меткой. i=3 и возвращаемся к 2)

5) k=5 и. Помечаем узел 5 меткой. Получаем сквозной путь.

6) сквозной путь определяем по меткам, начиная с узла 5 и заканчивая узлом 1: . и. Вычисляем остаточные пропускные способности вдоль пути:

Итерация 2.

1) и помечаем узел 1 меткой. i=1

2») (, поэтому узел 5 не включается в

3») k=4, и помечаем узел 4 меткой. i=4 и возвращаемся к 2)

2""") (так как узлы 1 и 3 помечены, они не включаются в)

3""") k=5 и. Помечаем узел 5 меткой. Получен сквозной путь. Переходим к 5)

Итерация 3.

1) и помечаем узел 1 меткой. i=1

3) k=2, и помечаем узел 2 меткой. i=2 и возвращаемся к 2)

3") k=3 и. Помечаем узел 3 меткой. i=3 и возвращаемся к 2)

2») (так как) переходим к 4)

4) метка узла 3 показывает номер предшествующего узла. На этой итерации узел 3 в дальнейшем во внимание не принимается, его метку вычеркиваем. и возвращаемся к 2)

2""") (так как узел 3 удален из возможного сквозного пути)

3""") и. Помечаем узел 5 меткой. Получен сквозной путь. Переходим к 5)

5) и. Вычисляем остаточные пропускные способности вдоль пути:

Итерация 4. на этой итерации получен путь с

Итерация 5. на этой итерации получен путь с

Итерация 6. новые сквозные пути невозможны, поскольку все ребра, исходящие из узла 1, имеют нулевые остаточные пропускные способности. Переходим к 6) для определения решения

6) максимальный объем потока в сети равен единиц.

Значения потоков по различным ребрам вычисляются путем вычитания последних значений остаточных пропускных способностей из первоначальных значений пропускных способностей.

Результаты вычислений: табл. 1

Графическое последовательное выполнение алгоритма нахождения максимального потока (пример 1)

д) е) Сквозных путей нет

Рис.

Исходные данные о транспортной системе, например, внутризаводской, приведенные на рис. 2, можно также задать таблицей (табл. 2).

Табл.2. Исходные данные к задаче о максимальном потоке

Очевидно, максимальная пропускная способность транспортной системы не превышает 6, поскольку не более 6 единиц грузов можно направить из начального пункта 0, а именно, 2 единицы в пункт 1, 3 единицы в пункт 2 и 1 единицу в пункт 3. Далее надо добиться, чтобы все 6 вышедших из пункта 0 единиц груза достигли конечного пункта 4. Очевидно, 2 единицы груза, пришедшие в пункт 1, можно непосредственно направить в пункт 4. Пришедшие в пункт 2 грузы придется разделить: 2 единицы сразу направить в пункт 4, а 1 единицу - в промежуточный пункт 3 (из-за ограниченной пропускной способности участка между пунктами 2 и 4). В пункт 3 доставлены такие грузы: 1 единица из пункта 0 и 1 единица из пункта 3. Их направляем в пункт 4. Итак, максимальная пропускная способность рассматриваемой транспортной системы - 6 единиц груза. При этом не используются внутренние участки (ветки) между пунктами 1 и 2, а также между пунктами 1 и 3. Не догружена ветка между пунктами 1 и 4 - по ней направлены 2 единицы груза при пропускной способности в 3 единицы. Решение можно представить в виде таблицы (табл. 3)

Табл.3. Решение задачи о максимальном потоке

Задача линейного программирования при максимизации потока. Дадим формулировку задачи о максимальном потоке в терминах линейного программирования. Пусть Х KM - объем перевозок из пункта К в пункт М. Согласно рис. 2 К = 0,1,2,3, М = 1,2,3,4, причем перевозки возможны лишь в пункт с большим номером. Значит, всего имеется 9 переменных Х KM, а именно, Х 01, Х 02, Х 03, Х 12, Х 13, Х 14, Х 23, Х 24, Х 34. Задача линейного программирования, нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:

Х 01 + Х 02 + Х 03 = F (0)

Х 01 + Х 12 + Х 13 + Х 14 = 0 (1)

Х 02 - Х 12 + Х 23 + Х 24 = 0 (2)

Х 03 - Х 13 - Х 23 + Х 34 = 0 (3)

Х 14 - Х 24 - Х 34 = - F (4)

Х КМ? 0, К, М = 0, 1, 2, 3, 4

Здесь F - целевая функция, условие (0) описывает вхождение грузов в транспортную систему. Условия (1) - (3) задают балансовые соотношения для узлов 1- 3 системы. Другими словами, для каждого из внутренних узлов входящий поток грузов равен выходящему потоку, грузы не скапливаются внутри и системы и не «рождаются» в ней. Условие (4) - это условие «выхода» грузов из системы. Вместе с условием (0) оно составляет балансовое соотношение для системы в целом («вход» равен «выходу»). Следующие девять неравенств задают ограничения на пропускную способность отдельных «веток» транспортной системы. Затем указана неотрицательность объемов перевозок и целевой функции. Ясно, что последнее неравенство вытекает из вида целевой функции (соотношения (0) или (4)) и неотрицательности объемов перевозок. Однако последнее неравенство несет некоторую общую информацию - через систему может быть пропущен либо положительный объем грузов, либо нулевой (например, если внутри системы происходит движение по кругу), но не отрицательный (он не имеет экономического смысла, но формальная математическая модель об этом «не знает»).

Решить задачу нахождения максимального потока в транспортной сети с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона, и построить разрез сети S.
Исходные данные:
Дана сеть S(X,U)
- исток сети; - сток сети, где ∈X; ∈X.
Значения пропускных способностей дуг заданы по направлению ориентации дуг: от индекса i к индексу j.

r = 39; r = 44; r = 33; r = 53; r = 10;
r = 18; r = 95; r = 16; r = 23; r = 61;
r = 81; r = 71; r = 25; r = 15; r = 20

1. Зададим на сети нулевой поток (на всех дугах величина потока равна 0). Нулевой поток - это начальный допустимый поток на сети. Значение потока на каждой дуге будем указывать за скобками пропускной способности дуги.). Значение потока, равное «0», не указываем.
2. Выбираем на сети (произвольно) путь, ведущий из вершины x0 в вершину x7:
X0-X1-X4-X6-X7
3. Находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х1-Х4 помечаем как рассмотренное.


4. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х0-Х2 помечаем как рассмотренное.


5. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х3-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х3-Х2 помечаем как рассмотренное.


6. Более путей от Х0 до Х7 нет, суммируем увеличения потока: 25+10+20=55.
Вывод: максимальный поток равен 55.

2) Построить разрез сети S.
Процедура «пометок вершин».
Начальное состояние: все вершины не имеют пометок.
Вершине Х0 приписывается пометка. Всем вершинам , для которых дуга не насыщена присваиваются пометки (красные круги)


Определяем дуги минимального разреза: это дуги, начала которых находятся в помеченных вершинах, а концы - в непомеченных вершинах.
Это дуги:
Таким образом, минимальный разрез данной сети
Вычисление величины максимального потока

Транспортная задача
Может возникать в физике, экономике и т.д.
На отдельные компоненты транспортной сети
(сеть железнодорожных, автомобильных и т.д.
путей; сеть трубопроводов и т.д.) наложены
ограничения – их максимально допустимая
нагрузка.
Необходимо определить максимально
возможное количество пассажиров, товара,
продукта и т.д., которое можно провезти по этой
сети и каким образом.
Мы построим графовую дискретную модель
этой транспортной задачи и решим ее в этой
модели.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.