Решение вычисление производной функции заданной параметрически. Производная функции, заданной неявно

Не напрягаемся, в этом параграфе тоже всё достаточно просто. Можно записать общую формулу параметрически заданной функции, но, для того, чтобы было понятно, я сразу запишу конкретный пример. В параметрической форме функция задается двумя уравнениями: . Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно: , .

Переменная называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». Рассмотрим, например, значение и подставим его в оба уравнения: . Или по человечески: «если икс равен четырем, то игрек равно единице». На координатной плоскости можно отметить точку , и эта точка будет соответствовать значению параметра . Аналогично можно найти точку для любого значения параметра «тэ». Как и для «обычной» функции, для американских индейцевпараметрически заданной функции все права тоже соблюдены: можно построить график, найти производные и т.д. Кстати, если есть надобность построить график параметрически заданной функции, закачайте мою геометрическую прогу на странице Математические формулы и таблицы .

В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде. Выразим из первого уравнения параметр: – и подставим его во второе уравнение: . В результате получена обыкновенная кубическая функция.

В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:

Находим производную от «игрека по переменной тэ»:

Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы , таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет . Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».

Находим производную от «икса по переменной тэ»:

Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:

Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .

Что касается обозначений, то в формуле вместо записи можно было просто записать без подстрочного индекса, поскольку это «обычная» производная «по икс». Но в литературе всегда встречается вариант , поэтому я не буду отклоняться от стандарта.

Пример 6

Используем формулу

В данном случае:

Таким образом:

Особенностью нахождения производной параметрической функции является тот факт, что на каждом шаге результат выгодно максимально упрощать . Так, в рассмотренном примере при нахождении я раскрыл скобки под корнем (хотя мог этого и не делать). Велик шанс, что при подстановке и в формулу многие вещи хорошо сократятся. Хотя встречаются, конечно, примеры и с корявыми ответами.

Пример 7

Найти производную от функции, заданной параметрически

Это пример для самостоятельного решения.

В статье Простейшие типовые задачи с производной мы рассматривали примеры, в которых требовалось найти вторую производную функции. Для параметрически заданной функции тоже можно найти вторую производную, и находится она по следующей формуле: . Совершенно очевидно, что для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную.

Пример 8

Найти первую и вторую производные от функции, заданной параметрически

Сначала найдем первую производную.
Используем формулу

В данном случае:

Подставляет найденные производные в формулу. В целях упрощений используем тригонометрическую формулу :

Я заметил, что в задаче на нахождение производной параметрической функции довольно часто в целях упрощений приходится использовать тригонометрические формулы . Помните их или держите под рукой, и не пропускайте возможность упростить каждый промежуточный результат и ответы. Зачем? Сейчас нам предстоит взять производную от , и это явно лучше, чем находить производную от .

Найдем вторую производную.
Используем формулу: .

Посмотрим на нашу формулу. Знаменатель уже найден на предыдущем шаге. Осталось найти числитель – производную от первой производной по переменной «тэ»:

Осталось воспользоваться формулой:

Для закрепления материала предлагаю еще пару примеров для самостоятельного решения.

Пример 9

Пример 10

Найти и для функции, заданной параметрически

Желаю успехов!

Надеюсь, это занятие было полезным, и Вы теперь с лёгкость сможете находить производные от функций, заданных неявно и от параметрических функций

Решения и ответы:

Пример 3: Решение:






Таким образом:

Пусть функция задана параметрическим способом:
(1)
где некоторая переменная, называемая параметром. И пусть функции и имеют производные при некотором значении переменной . Причем и функция имеет обратную функцию в некоторой окрестности точки . Тогда функция (1) имеет в точке производную , которая, в параметрическом виде, определяется по формулам:
(2)

Здесь и - производные функций и по переменной (параметру) . Их часто записывают в следующем виде:
;
.

Тогда систему (2) можно записать так:

Доказательство

По условию, функция имеет обратную функцию. Обозначим ее как
.
Тогда исходную функцию можно представить как сложную функцию:
.
Найдем ее производную, применяя правила дифференцирования сложной и обратной функций:
.

Правило доказано.

Доказательство вторым способом

Найдем производную вторым способом, исходя из определения производной функции в точке :
.
Введем обозначение:
.
Тогда и предыдущая формула принимает вид:
.

Воспользуемся тем, что функция имеет обратную функцию , в окрестности точки .
Введем обозначения:
; ;
; .
Разделим числитель и знаменатель дроби на :
.
При , . Тогда
.

Правило доказано.

Производные высших порядков

Чтобы найти производные высших порядков, надо выполнять дифференцирование несколько раз. Допустим, нам надо найти производную второго порядка от функции, заданной параметрическим способом, следующего вида:
(1)

По формуле (2) находим первую производную, которая также определяется параметрическим способом:
(2)

Обозначим первую производную, посредством переменной :
.
Тогда, чтобы найти вторую производную от функции по переменной , нужно найти первую производную от функции по переменной . Зависимость переменной от переменной также задана параметрическим способом:
(3)
Сравнивая (3) с формулами (1) и (2), находим:

Теперь выразим результат через функции и . Для этого подставим и применим формулу производной дроби :
.
Тогда
.

Отсюда получаем вторую производную функции по переменной :

Она также задана в параметрическом виде. Заметим, что первую строку также можно записать следующим образом:
.

Продолжая процесс, можно получить производные функции от переменной третьего и более высоких порядков.

Заметим, что можно не вводить обозначение для производной . Можно записать так:
;
.

Пример 1

Найдите производную от функции, заданной параметрическим способом:

Решение

Находим производные и по .
Из таблицы производных находим:
;
.
Применяем :

.
Здесь .

.
Здесь .

Искомая производная:
.

Ответ

Пример 2

Найдите производную от функции, выраженной через параметр :

Решение

Раскроим скобки, применяя формулы для степенных функций и корней :
.

Находим производную :

.

Находим производную . Для этого введем переменную и применим формулу производной сложной функции .

.

Находим искомую производную:
.

Ответ

Пример 3

Найдите производные второго и третьего порядков от функции, заданной параметрическим способом в примере 1:

Решение

В примере 1 мы нашли производную первого порядка:

Введем обозначение . Тогда функция является производной по . Она задана параметрическим способом:

Чтобы найти вторую производную по , нам надо найти первую производную по .

Дифференцируем по .
.
Производную по мы нашли в примере 1:
.
Производная второго порядка по равна производной первого порядка по :
.

Итак, мы нашли производную второго порядка по в параметрическом виде:

Теперь находим производную третьего порядка. Введем обозначение . Тогда нам нужно найти производную первого порядка от функции , которая задана параметрическим способом:

Находим производную по . Для этого перепишем в эквивалентном виде:
.
Из
.

Производная третьего порядка по равна производной первого порядка по :
.

Замечание

Можно не вводить переменные и , которые являются производными и , соответственно. Тогда можно записать так:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Ответ

В параметрическом представлении, производная второго порядка имеет следующий вид:

Производная третьего порядка.

Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y = f (x) . Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар (х; у) ,которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку (а; b) . Для решения системы x = 3 · cos t y = 3 · sin t с 0 ≤ t < 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Определение параметрической функции

Отсюда имеем, что x = φ (t) , y = ψ (t) определены на при значении t ∈ (a ; b) и имеют обратную функцию t = Θ (x) для x = φ (t) , тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y = ψ (Θ (x)) .

Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х. Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида y x " = ψ " (t) φ " (t) , поговорим о производной 2 и n -ого порядка.

Вывод формулы производной параметрически заданной функции

Имеем, что x = φ (t) , y = ψ (t) , определенные и дифферецируемые при значении t ∈ a ; b , где x t " = φ " (t) ≠ 0 и x = φ (t) , тогда существует обратная функция вида t = Θ (x) .

Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) , где имеется аргумент x .

Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

Отсюда видно, что t = Θ (x) и x = φ (t) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ " (x) = 1 φ " (t) , тогда y " x = ψ " Θ (x) · Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Перейдем к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

Пример 1

Найти производную для функции x = t 2 + 1 y = t .

Решение

По условию имеем, что φ (t) = t 2 + 1 , ψ (t) = t , отсюда получаем, что φ " (t) = t 2 + 1 " , ψ " (t) = t " = 1 . Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Ответ: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

При работе с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t , чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка на полученной функции, тогда получаем, что

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Пример 2

Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x = cos (2 t) y = t 2 .

Решение

По условию получаем, что φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Тогда после преобразования

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) · 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Отсюда следует, что y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Получим, что вид производной 1 порядка x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 · sin (2 t) - t · cos (2 t) · (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) · 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 · sin (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = (2 t) " = 2

Отсюда получаем, что

y "" x = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 · - 2 sin (2 t) - 2 t · (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Ответ: y "" x = sin (2 t) - 2 t · cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Логарифмическое дифференцирование

Производные элементарных функций

Основные правила дифференцирования

Дифференциал функции

Главная линейная часть приращения функции A Dx в определении дифференцируемости функции

Df=f (x ) - f (x 0)=A (x - x 0)+o (x – x 0), x®x 0

называется дифференциалом функции f (x ) в точке x 0 и обозначается

df (x 0)=f¢ (x 0)Dx= A Dx.

Дифференциал зависит от точки x 0 и от приращения Dx. На Dx при этом смотрят, как на самостоятельное переменное, так что в каждой точке дифференциал представляет собой линейную функцию от приращения Dx.

Если в качестве функции рассмотреть f (x )=x , то получим dx= Dx, dy=Adx . Это согласуется с обозначением Лейбница

Геометрическая интерпретация дифференциала как приращения ординаты касательной.

Рис. 4.3

1) f= const, f¢= 0, df= 0Dx= 0.

2) f=u+v, f¢=u¢+v¢, df = du+dv.

3) f=uv, f¢=u¢v+v¢u, df = u dv + v du.

Следствие. (cf (x ))¢=cf¢ (x ), (c 1 f 1 (x )+…+c n f n (x ))¢= c 1 f¢ 1 (x )+…+ c n f¢ n (x )

4) f=u/v, v (x 0)¹0 и производная существует, то f¢= (u¢v-v ¢u )/v 2 .

Для краткости будем обозначать u=u (x ), u 0 =u (x 0), тогда

Переходя к пределу при Dx® 0 получим требуемое равенство.

5) Производная сложной функции.

Теорема. Если существуют f¢ (x 0), g¢ (x 0) и x 0 =g (t 0), то в некоторой окрестности t 0 определена сложная функция f (g (t )), она дифференцируема в точке t 0 и

Доказательство .

f (x ) - f (x 0)=f¢ (x 0)(x-x 0)+ a(x )(x-x 0), x ÎU (x 0).

f (g (t ))- f (g (t 0))= f¢ (x 0)( g (t )- g (t 0))+ a( g (t ))( g (t )- g (t 0)).

Поделим обе части этого равенства на (t - t 0) и перейдем к пределу при t®t 0 .

6) Вычисление производной обратной функции.

Теорема. Пусть f непрерывна и строго монотонна на [a,b ]. Пусть в точке x 0 Î(a,b ) существует f¢ (x 0)¹ 0, тогда обратная функция x=f -1 (y ) имеет в точке y 0 производную, равную

Доказательство . Считаем f строго монотонно возрастающей, тогда f -1 (y ) непрерывна, монотонно возрастает на [f (a ),f (b )]. Положим y 0 =f (x 0), y=f (x ), x - x 0 =Dx,

y - y 0 =Dy . В силу непрерывности обратной функции Dy ®0 Þ Dx ®0, имеем

Переходя к пределу, получим требуемое равенство.

7) Производная четной функции нечетна, производная нечетной функции четна.

Действительно, если x® - x 0 , то -x® x 0 , поэтому

Для четной функции для нечетной функции

1) f= const, f¢ (x )=0.

2) f (x )=x, f¢ (x )=1.

3) f (x )=e x , f¢ (x )= e x ,

4) f (x )=a x , (a x )¢ = a x ln a.

5) ln a.

6) f (x )=ln x ,

Следствие. (производная четной функции нечетна)

7) (x m )¢= mx m -1 , x >0, x m =e m ln x .

8) (sin x )¢= cos x,

9) (cos x )¢=- sin x, (cos x )¢= (sin(x+ p/2))¢= cos(x+ p/2)=-sin x.

10) (tg x )¢= 1/cos 2 x.

11) (ctg x )¢= -1/sin 2 x.

16) sh x, ch x .

f(x), , откуда следует, что f¢ (x )=f (x )(ln f (x ))¢ .

Ту же формулу можно получить иначе f (x )=e ln f (x ) , f¢=e ln f (x ) (ln f (x ))¢.

Пример. Вычислить производную функции f=x x .

=x x = x x = x x = x x (ln x + 1).

Геометрическое место точек на плоскости

будем называть графиком функции, заданной параметрически . Говорят также о параметрическом задании функции.

Замечание 1. Если x, y непрерывны на [a,b ] и x (t ) строго монотонна на отрезке (например, строго монотонно возрастает), то на [a,b ] , a=x (a), b=x (b) определена функция f (x )=y (t (x )), где t (x ) – обратная к x(t) функция. График этой функции совпадает с графиком функции

Если область определения параметрически заданной функции можно разбить на конечное число отрезков , k= 1,2,…,n, на каждом из которых функция x (t ) строго монотонна, то параметрически заданная функция распадается на конечное число обычных функций f k (x )=y (t -1 (x )) с областями определения [x (a k ), x (b k )] для участков возрастания x (t ) и с областями определения [x (b k ), x (a k )] для участков убывания функции x (t ). Полученные таким образом функции называются однозначными ветвями параметрически заданной функции.

На рисунке показан график параметрически заданной функции

При выбранной параметризации область определения разбивается на пять участков строгой монотонности функции sin(2t ), именно: t Î t Î , t Î , t Î , и, соответственно, график распадется на пять однозначных ветвей, соответствующих этим участкам.

Рис. 4.4

Рис. 4.5

Можно выбрать другую параметризацию того же геометрического места точек

В этом случае таких ветвей будет только четыре. Они будут соответствовать участкам строгой монотонности t Î , t Î , t Î , t Î функции sin(2t ).

Рис. 4.6

Четыре участка монотонности функции sin(2t ) на отрезке длинной.

Рис. 4.7

Изображение обоих графиков на одном рисунке позволяет приблизительно изобразить график параметрически заданной функции, используя участки монотонности обеих функций.

Рассмотрим для примера первую ветвь, соответствующую отрезку t Î . На концах этого участка функция x= sin(2t ) принимает значения -1 и 1 , поэтому эта ветвь будет определена на [-1,1] . После этого нужно смотреть на участки монотонности второй функции y= cos(t ), у нее на два участка монотонности . Это позволяет сказать, что у первой ветви имеется два участка монотонности. Найдя концевые точки графика можно соединить их прямыми для того, чтобы обозначить характер монотонности графика. Проделав это с каждой ветвью, получим участки монотонности однозначных ветвей графика (на рисунке они выделены красным цветом)

Рис. 4.8

Первая однозначная ветвь f 1 (x )=y (t (x )) , соответствующая участку будет определена для x Î[-1,1]. Первая однозначная ветвь t Î , x Î[-1,1].

Все остальные три ветви будут иметь областью определения тоже множество [-1,1].

Рис. 4.9

Вторая ветвь t Î x Î[-1,1].

Рис. 4.10

Третья ветвь t Î x Î[-1,1]

Рис. 4.11

Четвертая ветвь t Î x Î[-1,1]

Рис. 4.12

Замечание 2. Одна и та же функция может иметь различные параметрические задания. Различия могут касаться, как самих функций x (t ), y (t ) , так и области определения этих функций.

Пример различных параметрических заданий одной и той же функции

и t Î[-1, 1].

Замечание 3. Если x,y непрерывны на , x (t)- строго монотонна на отрезке и существуют производные y¢ (t 0), x¢ (t 0)¹0, то существует f¢ (x 0)= .

Действительно, .

Последнее утверждение распространяется и на однозначные ветви параметрически заданной функции.

4.2 Производные и дифференциалы высших порядков

Старшие производные и дифференциалы. Дифференцирование функций, заданных параметрически. Формула Лейбница.

Рассмотрим задание линии на плоскости, при котором переменные x, y являются функциями третьей переменной t (называемой параметром):

Для каждого значения t из некоторого интервала соответствуют определенные значения x и y, а , следовательно, определенная точка M (x, y) плоскости. Когда t пробегает все значения из заданного интервала, то точка M (x, y ) описывает некоторую линию L . Уравнения (2.2) называются параметрическими уравнениями линии L .

Если функция x = φ(t) имеет обратную t = Ф(x), то подставляя это выражение в уравнение y = g(t), получим y = g(Ф(x)), которое задает y как функцию от x . В этом случае говорят, что уравнения (2.2) задают функцию y параметрически.

Пример 1. Пусть M (x, y) – произвольная точка окружности радиуса R и с центром в начале координат. Пусть t – угол между осью Ox и радиусом OM (см. рис. 2.3). Тогда x, y выражаются через t:

Уравнения (2.3) являются параметрическими уравнениями окружности. Исключим из уравнений (2.3) параметр t. Для этого каждое из уравнений возведем в квадрат и сложим, получим: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) или x 2 + y 2 = R 2 – уравнение окружности в декартовой системе координат. Оно определяет две функции: Каждая из этих функций задается параметрическими уравнениями (2.3), но для первой функции , а для второй .

Пример 2 . Параметрические уравнения

задают эллипс с полуосями a, b (рис. 2.4). Исключая из уравнений параметр t , получим каноническое уравнение эллипса:

Пример 3 . Циклоидой называется линия, описанная точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения по прямой (рис. 2.5). Введем параметрические уравнения циклоиды. Пусть радиус катящейся окружности равен a , точка M , описывающая циклоиду, в начале движения совпадала с началом координат.

Определим координаты x , y точки M после того, как окружность повернулась на угол t
(рис. 2.5), t = ÐMCB . Длина дуги MB равна длине отрезка OB, так как окружность катится без скольжения, поэтому

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – cost).

Итак, получены параметрические уравнения циклоиды:

При изменении параметра t от 0 до 2π окружность поворачивается на один оборот, при этом точка M описывает одну арку циклоиды. Уравнения (2.5) задают y как функцию от x . Хотя функция x = a(t – sint) имеет обратную функцию, но она не выражается через элементарные функции, поэтому функция y = f(x) не выражается через элементарные функции.

Рассмотрим дифференцирование функции, заданной параметрически уравнениями (2.2). Функция x = φ(t) на некотором интервале изменения t имеет обратную функцию t = Ф(x) , тогда y = g(Ф(x)) . Пусть x = φ(t) , y = g(t) имеют производные, причем x"t≠0 . По правилу дифференцирования сложной функции y"x=y"t×t"x. На основании правила дифференцирования обратной функции , поэтому:

Полученная формула (2.6) позволяет находить производную для функции, заданной параметрически.

Пример 4. Пусть функция y , зависящая от x , задана параметрически:

Решение . .
Пример 5. Найти угловой коэффициент k касательной к циклоиде в точке M 0 , соответствующей значению параметра .
Решение. Из уравнений циклоиды: y" t = asint, x" t = a(1 – cost), поэтому

Угловой коэффициент касательной в точке M 0 равен значению при t 0 = π/4:

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

Пусть функция в точке x 0 имеет производную. По определению:
поэтому по свойствам предела (разд. 1.8) , где a – бесконечно малая при Δx → 0 . Отсюда

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

При Δx → 0 второе слагаемое в равенстве (2.7) является бесконечно малой высшего порядка, по сравнению с , поэтому Δy и f " (x 0)×Δx – эквивалентные, бесконечно малые (при f "(x 0) ≠ 0).

Таким образом, приращение функции Δy состоит из двух слагаемых, из которых первое f "(x 0)×Δx является главной частью приращения Δy, линейной относительно Δx (при f "(x 0)≠ 0).

Дифференциалом функции f(x) в точке x 0 называется главная часть приращения функции и обозначается: dy или df (x 0) . Следовательно,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Пример 1. Найти дифференциал функции dy и приращение функции Δy для функции y = x 2 при:
1) произвольных x и Δx ; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Решение

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2 , dy = 2xΔx.

2) Если x 0 = 20, Δx = 0,1, то Δy = 40×0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40×0,1= 4.

Запишем равенство (2.7) в виде:

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Приращение Δy отличается от дифференциала dy на бесконечно малую высшего порядка, по сравнению с Δx, поэтому в приближенных вычислениях пользуются приближенным равенством Δy ≈ dy, если Δx достаточно мало.

Учитывая, что Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), получаем приближенную формулу:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Пример 2 . Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим:

Используя формулу (2.10), получим:

Значит, ≈ 2,025.

Рассмотрим геометрический смысл дифференциала df(x 0) (рис. 2.6).

Проведем к графику функции y = f(x) касательную в точке M 0 (x0, f(x 0)), пусть φ – угол между касательной KM0 и осью Ox, тогда f"(x 0) = tgφ. Из ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Но PN является приращением ординаты касательной при изменении x от x 0 до x 0 + Δx.

Следовательно, дифференциал функции f(x) в точке x 0 равен приращению ординаты касательной.

Найдем дифференциал функции
y = x. Так как (x)" = 1, то dx = 1×Δx = Δx. Будем считать, что дифференциал независимой переменной x равен ее приращению, т.е. dx = Δx.

Если x – произвольное число, то из равенства (2.8) получаем df(x) = f "(x)dx, откуда .
Таким образом, производная для функции y = f(x) равна отношению ее дифференциала к дифференциалу аргумента.

Рассмотрим свойства дифференциала функции.

Если u(x), v(x) – дифференцируемые функции, то справедливы следующие формулы:

Для доказательства этих формул используются формулы производных для суммы, произведения и частного функции. Докажем, например, формулу (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Рассмотрим дифференциал сложной функции: y = f(x), x = φ(t), т.е. y = f(φ(t)).

Тогда dy = y" t dt, но y" t = y" x ×x" t , поэтому dy =y" x x" t dt. Учитывая,

что x" t = dx, получаем dy = y" x dx =f "(x)dx.

Таким образом, дифференциал сложной функции y = f(x), где x =φ(t), имеет вид dy = f "(x)dx, такой же, как в том случае, когда x является независимой переменной. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциал а.