Подведение функции под знак дифференциала. Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной)

§ 5. Интегралы и их приложения

.

5.1. Основные определения и формулы. Функция F (x ) является первообразной функции f (x ), если на некотором множестве X выполняется равенство F  (x )= f (x ). Совокупность всех первообразных для f (x ) называется неопределенным интегралом и обозначается . При этом, если F (x ) – какая-либо из первообразных f (x ), то
, константа C пробегает все множество действительных чисел. В таблице 2 приводятся основные формулы, в которых u = u (x ).

Таблица 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Если f (x ) – функция, непрерывная на отрезке [ a ; b ], то существует определенный интеграл от этой функции, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница :

, (5.1)

где F (x ) – какая-либо первообразная для f (x ). В отличие от неопределенного интеграла (представляющего собой множество функций) определенный интеграл – некоторое число.

И неопределенный, и определенный интегралы обладают свойством линейности (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов, а постоянный множитель можно выносить за знак интеграла):

.

Пример 5.1 . Найти: а)
; б)
.

Решение. В задании а) подынтегральную функцию сначала упрощаем, разделив почленно каждое слагаемое из числителя на знаменатель, затем используем свойство линейности и «табличные» формулы 1)-3):

В задании б), помимо линейности и «табличных» формул 3), 9), 1), используем формулу Ньютона-Лейбница (5.1):

5.2. Внесение под знак дифференциала и замена переменной. Можно заметить, что иногда часть подынтегральной функции образует дифференциал некоторого выражения, что позволяет применять табличные формулы.

Пример 5.2 Найти: а)
; б)
.

Решение. В примере а) можно заметить, что
, а затем воспользоваться формулой 5) при u =lnx :

В случае б)
, а потому в силу 11) при
получим:

Замечание 1. При внесении под знак дифференциала полезно, наряду с использованными выше, учитывать следующие соотношения:

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Замечание 2. Интегралы из примера 5.2. можно было найти и с помощью замены переменной. При этом в определенном интеграле следует менять и пределы интегрирования. Преобразования в 5.2.б) выглядели бы, например, так:

В общем случае выбор замены определяется видом подынтегральной функции. В некоторых случаях рекомендуются специальные замены. Например, если в выражении присутствует иррациональность вида
, то можно положить
или
.

Пример 5.3 Найти: а)
; б)
.

Решение. В случае а) имеем

(после замены применили табличную формулу 11 )).

При решении б) обязательно проводим замену пределов интегрирования.

5.3. Интегрирование по частям. В ряде случаев помогает «формула интегрирования по частям». Для неопределенного интеграла она имеет вид

, (5.2)

для определенного

, (5.3)

При этом важно учитывать следующее.

1) Если подынтегральная функция содержит произведение многочлена от x на функции
, то в качестве u выбирается многочлен, а оставшееся под знаком интеграла выражение относится к dv .

2) Если подынтегральная функция содержит обратные тригонометрические ( ) или логарифмические (
) функции, то в качестве u выбирается одна из них.

Пример 5.4. Найти: а)
; б)
.

Решение. В случае а) применяем формулу (5.2) и второе правило . Именно, полагаем
. Тогда
. Далее,
, а потому
. Следовательно, . В полученном интеграле выделим целую часть подынтегральной функции (так поступают, когда степень числителя не меньше степени знаменателя):

.

Окончательно решение выглядит так:

В примере б) используем (5.3) и первое из правил .

5.4. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен . Основные идеи заключаются в выделении в квадратном трехчлене полного квадрата и в проведении линейной замены, позволяющей свести исходный интеграл к табличным вида 10 )-16 ).

Пример 5.5. Найти: а)
; б)
; в)
.

Решение. В случае а) действуем следующим образом:

поэтому (с учетом 13) )

При решении примера б) потребуются дополнительные преобразования, связанные с присутствием переменной в числителе подынтегральной функции. Выделив полный квадрат в знаменателе (), получим:

Для второго из интегралов в силу 11) (табл.2) имеем:
. В первом интеграле проведем внесение под знак дифференциала:

Таким образом, собирая все вместе и возвращаясь к переменной x , получаем:

В примере в) также предварительно выделяем полный квадрат:

5.5. Интегрирование простейших тригонометрических функций. При интегрировании выражений вида
(где m и n – натуральные числа) рекомендуется принимать во внимание следующие правила.

1) Если обе степени четные, то применяются формулы «понижения степени»: ; .

2) Предположим, что какое-либо из чисел m и n – нечетное. Например, n =2 k +1. В этом случае одну из степеней функции cosx «отщепляют», чтобы внести под знак дифференциала (т.к. ). В оставшемся выражении
с помощью основного тригонометрического тождества
выражают через
(). После преобразования подынтегрального выражения (и с учетом свойства линейности) получается алгебраическая сумма интегралов вида
, каждый из которых можно найти с помощью формулы 2) из таблицы 2:
.

Кроме того, в некоторых случаях полезны также формулы

Пример 5.6. Найти: а)
; б)
; в)
.

Решение. а) В подынтегральную функцию входит нечетная (5-я) степень sinx , поэтому действуем по второму правилу , учитывая, что .

В примере б) воспользуемся формулой (5.4 ), линейностью неопределенного интеграла, равенством
и табличной формулой 4):

В случае в) последовательно понижаем степень , учитываем линейность, возможность внесения константы под знак дифференциала и нужные табличные формулы:

5.6. Приложения определенного интеграла. Как известно, криволинейной трапецией, соответствующей неотрицательной и непрерывной на отрезке [ a ; b ] функции f (x ), называется область, ограниченная графиком функции y = f (x ), осью OX и двумя вертикальными прямыми x = a , x = b . Коротко это можно записать так: (см. рис.3 ). и, где

При решении некоторых типов интегралов выполняется преобразование, как говорят внесение под знак дифференциала . Это делается, чтобы получить интеграл табличного вида и легко его взять. Для этого применяется формула: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Хочется отметить такой важный нюанс, над которым задумываются студенты. Чем же отличается этот метод от способа замены переменной (подстановки)? Это то же самое, только в записях выглядит по-разному. И то и другое верно.

Формула

Если в подынтегральной функции прослеживается произведение двух функций, одна из которых является дифференциалом другой, тогда внесите под знак дифференциала нужную функцию. Выглядит это следующим образом:

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x) $$

Подведение основных функций

Для того, чтобы успешно использовать такой способ решения, необходимо знать таблицы производных и интегрирования. Из них вытекают следующие формулы:

Примеры решений

Итак, в статье разобрали как решаются некоторые виды интегралов методом занесения под знак дифференциала. Вспомнили дифференциалы часто распространенных элементарных функций. Если не получается или не хватает времени решить задачи контрольных работ самостоятельно, то мы окажем Вам свою помощь в кратчайшие сроки. Достаточно заполнить форму заказа и мы свяжемся с Вами.

Интегральное исчисление

1.1 Первообразная, неопределенный интеграл

Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на множестве X, если для всех .

Выражение F(x)+C представляет собой семейство всех первообразных функции f(x). (C=const).

Определение. Если F(x) – одна из первообразных функции f(x), то выражение F(x)+C называется неопределенным интегралом.

Обозначается .

Простейшие свойства.

1)

2)

3)

Таблица основных интегралов

1) .	10) .
2) .	11) .
3) .	12) .
4) .	13) .
5) .	14) .
6) .	15) .
7) .	16) .
8) .	17) .
9) .

В частности:

; ; .

Из определения и свойств неопределенного интеграла следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями: производная правой части в каждой формуле равна подынтегральной функции. Проверим, например, формулу 2.

Примеры:

Методы интегрирования

Метод подведения под знак дифференциала (устная замена переменной)

Если относительно данной переменной интеграл не является табличным, то в некоторых случаях его можно привести к табличному относительно новой переменной с помощью подведения под знак дифференциала нужной функции.

При этом удобно пользоваться следующими формулами, которые получаются из формул дифференцирования при прочтении их в обратном порядке:

…
, n ≠-1

Примеры (см. задание 1а)

Метод письменной замены переменной (подстановки)

1. Вводим новую переменную (подстановку)

2. Дифференцируем подстановку.

3. Вводим новую переменную в подынтегральное выражение.

4. Вычисляем интеграл.

5. Возвращаемся к старой переменной.

Примеры (см. задание 1а):

Метод интегрирования по частям

Этот метод применяют для интегралов вида:

а) , , ;

б) , , , , ;

где - многочлен.

Формула интегрирования по частям имеет вид:

.

1) Для интегралов типа а) принимают U =P(x), все остальное равно dV.

2) Для интегралов типа б) принимают dV =P(x)dx .

3) для интегралов типа в) за U принимают любую функцию, метод применяют дважды.

Примеры (см. задание 1б):

.

4) можно решение записать иначе:

Получили первоначальный интеграл, обозначим его за y

Определенный интеграл

Задача о площади.

Вычислим площадь плоской фигуры, ограниченной графиком непрерывной, неотрицательной функции y=f(x) , прямыми x=a, x=b , отрезком [a ,b ]. Такая фигура называется криволинейной трапецией.

1) Разобьем отрезок [a, b ] произвольным образом на n частей точками . Получим n маленьких отрезков с длинами ; .

2) Через точки деления проведем вертикальные прямые. Трапеция разобьется на n трапеций. На каждом из элементарных отрезков выберем произвольным образом по точке .

Найдем значения функции в этих точках

Примем эти ординаты за высоты прямоугольников.

3) Посчитаем, что площади маленьких криволинейных трапеций приближенно равны площадям прямоугольников с основаниями и высотами . Тогда

Чем мельче отрезки деления, тем точнее это равенство. За точное значение площади трапеции примем предел, к которому стремятся площади ступенчатых фигур при неограниченном увеличении числа отрезков деления и стремлении к нулю наибольшей из длин этих отрезков.

.

Свойства определенного интеграла

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

6) Если , то ;

Если , то .

Следствие. Если , то .

7) Если f(x) непрерывна на [a, b ], m, M - ее соответственно наименьшее и наибольшее значение на [a, b ], то справедлива оценка

8) (Теорема о среднем) . Если f(x) непрерывна на [a, b ], то существует хотя бы одна точка такая, что

Формула Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) – непрерывна на [a, b ], F(x) – первообразная функции f(x) на [a,b ], тогда определенный интеграл равен приращению первообразной (т.е. неопределенного интеграла) на этом отрезке:

Примеры

Интегрирование по частям

(см. интегрирование по частям в разделе "Неопределенный интеграл")

Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид

Пример .

Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть f(x) непрерывна на [a, b ], введем подстановку . Если

1) непрерывны при ,

2) при изменении t от до , функция изменяется от a до b , , то справедлива формула замены переменной:

Пример (см. задание 2):

Основные понятия

1. Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее производные:

2. Наивысший порядок производной искомой функции, входящей в ДУ, называется порядком ДУ .

3. Решить ДУ – это значит найти все функции, которые ему удовлетворяют, т. е. при подстановке их в уравнение, оно обращается в тождество.

4. Нахождение решений ДУ называется интегрированием ДУ , график решения ДУ называется интегральной кривой .

Однородные функции

Функция f(x,y) называется однородной k -ой степени однородности, если выполняется равенство:

В частности, если

– функция однородная нулевой степени однородности.

Примеры

1) .

– однородная функция второй степени однородности.

2) .

– однородная функция нулевой степени однородности.

Коэффициентами

Это уравнения вида

где – константы.

Общее решение такого уравнения имеет вид

где – произвольные постоянные

Общее решение однородного уравнения,

Линейно независимые частные решения уравнения (1).

Определение. Функции и называются линейно независимыми (зависимыми) на (a, b) , если при

Решение уравнения (1) сводится к решению алгебраического уравнения

,

(2)

называемого характеристическим, в котором степень k равна порядку производной в уравнении (1).

При этом возможны следующие случаи:

1. При уравнение (2) имеет действительные различные корни , тогда частные решения ДУ (1) имеют вид , (в чем можно убедится непосредственной подстановкой).

Они линейно независимы (смотри определение). Тогда общее решение (1) имеет вид:

2. При характеристическое уравнение (2) имеет два действительных равных корня , тогда частными решениями Д.У. (1) являются функции , общее решение (1) имеет вид

3. Если , то характеристическое уравнение (2) не имеет действительных корней, но имеет комплексные корни вида .

Тогда частные решения

Общее решение (1) имеет вид

Примеры (см. задание 5):

1) , составим характеристическое уравнение:

; ; .

2) , составим характеристическое уравнение

;

;

3)

Ряды

Ряд, сходимость, сумма.

Пусть дана последовательность чисел

Числовым рядом называется выражение

. (1)

Сумма первых членов называется частичной суммой .

Частичные суммы образуют в свою очередь последовательность , которая для одних рядов сходится, для других – расходится.

Ряд (1) называется сходящимся , если существует конечный предел последовательности частичных сумм .

S называется суммой ряда. Если этот предел не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся .

Расходящиеся ряды суммы не имеют.

Знакопеременные ряды

Признак Лейбница.

Если в знакочередующемся ряде

1) абсолютные величины членов ряда убывают ;

то знакочередующийся ряд сходится и его сумма не превосходит модуля первого члена.

Следствие. Пусть знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. Если сумму этого ряда заменить суммой n первых членов, то погрешность, допускаемая при этом не превосходит модуля первого отброшенного члена.

Рассмотрим знакочередующийся ряд и ряд, составленный из абсолютных его величин. Если ряд, составленный из абсолютных величин, сходится, то знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся рядом. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин, расходится, то знакопеременный ряд называется условно сходящимся .

Пример. Исследовать на условную и абсолютную сходимость ряд.

Это знакочередующийся ряд. Применим признак Лейбница.

1) ;

2) . => ряд сходится по признаку Лейбница.

Исследуем ряд на условную и абсолютную сходимость. Для этого рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда.

– это обобщенный гармонический ряд, он сходится, так как k =3>1, тогда знакочередующийся ряд является абсолютно сходящимся рядом.

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида:

где – постоянные величины, коэффициенты ряда, число a – центр ряда.

При a =0 имеем

При степенной ряд (1) принимает вид

Это уже числовой ряд. он может сходиться или расходиться.

Если ряд (2) сходится, то – точка сходимости степенного ряда (1). Если ряд (2) расходится, то – точка расходимости . Совокупность точек сходимости называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля. Для любого степенного ряда (1) существует интервал , внутри которого ряд сходится абсолютно, вне его расходится, а на границах может иметь различный характер сходимости.

– радиус интервала сходимости.

– интервал сходимости.

Если R =0, то точка x =0 – единственная точка сходимости.

Если R =¥, то ряд сходится на всей числовой оси.

Пример.

1) Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда. Исследовать сходимость ряда на концах интервала.

Тогда (-5; 5) – интервал, внутри которого ряд сходится абсолютно. Исследуем характер сходимости ряда на границах.

1) x =–5, тогда степенной ряд примет вид

Это знакочередующийся ряд. Для него применим признак Лейбница:

– не выполнено первое условие признака Лейбница, тогда ряд

расходится, точка – точка расходимости.

2) x =5; – ряд расходится по следствию из необходимого признака, тогда x =5 – точка расходимости.

(-5; 5) – область сходимости данного степенного ряда.

.

– интервал сходимости данного степенного ряда. Исследуем на границах:

1) , тогда степенной ряд примет вид:

– это знакочередующийся ряд. Проверим два условия:

1) ;

2) , тогда ряд сходится по признаку Лейбница, точка – есть точка сходимости первоначального степенного ряда, она входит в область сходимости.

2) . Сравним этот ряд с гармоническим , который, как известно, расходится.

– конечное число, тогда по следствию из признака сравнения ряды ведут себя одинаково, т. е. оба расходятся, поэтому точка – точка расходимости начального степенного ряда.

– область сходимости степенного ряда.

Теория вероятностей

Вероятность события

Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всевозможных элементарных исходов испытания, т. е. , где m – число элементарных исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие исходы), n – число всех возможных исходов данного испытания. Это классическое определение вероятности события.

1) Пусть U – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению U , т. е. m=n , тогда

P (U )=1.

2) V – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. m= 0, тогда

P (V )=0.

3) А – случайное событие, 0<m <n , тогда , т. е.

0<P (A )<1.

Пример . Монету бросаем два раза. Определить вероятность того, что герб появится не менее одного раза.

Пусть А – событие, состоящее в появлении герба не менее одного раза. Элементарные исходы такие ГГ, ГЦ, ЦГ, ЦЦ, всего четыре исхода, из них благоприятствующих появлению события А – три, тогда .

Элементы комбинаторики

1. Пусть имеем три элемента a, b, c . Образуем из них комбинации (выборки) по два элемента: ab, ba, ac, ca, bc, cb – их шесть штук. Они отличаются друг от друга или элементами, или порядком следования элементов. Такие выборки называются размещениями , обозначаются .

2. Выборки, отличающиеся друг от друга только порядком расположения элементов, называются перестановками , обозначаются .

3. Выборки, отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом, называются сочетаниями , обозначаются .

,

.

Следует помнить, что .

Пример. Среди 20 студентов группы, в которой 6 девушек, разыгрываются пять билетов. Определить вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся две девушки.

5 билетов среди 20 человек можно распределить способами. 3 билета среди 14 юношей можно распределить способами, 2 билета среди 6 девушек можно распределить способами. Каждая пара девушек может сочетаться с любой тройкой юношей, т. е. число благоприятных исходов , а число всех возможных исходов . Тогда

.

Основные теоремы.

Теоремы сложения

1. Вероятность наступления хотя бы одного из несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P (A+B )=P (A )+P (B ).

2. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

P (A+B )=P (A )+P (B )–P (AB ).

Теоремы умножения

Определения.

1) События называются независимыми , если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или не произошло.

2) События называются зависимыми , если вероятность наступления одного из них зависит от того, произошло другое или нет.

3) Вероятность события А , вычисленная при условии, что событие В уже произошло, называется условной вероятностью , обозначается (читается: «Р от А при условии, что В произошло»).

Теорема 1. Вероятность совместного наступления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, что первое событие уже произошло.

.

Теорема 2. Вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Задача . Из колоды в 36 карт наудачу одну за другой вынимают две карты. найти вероятность того, что будут вынуты два валета.

Пусть А – событие, состоящее в том, что первая карта – валет;

В – событие, состоящее в том, что вторая карта – валет;

С – событие, состоящее в том, что вынуты два валета.

Тогда . События А и В – зависимые, тогда .

Полная группа событий

Если сумма событий есть достоверное событие (т. е., в результате испытания хотя бы одно из них непременно произойдет), то события образуют полную группу событий. Если эти события попарно несовместны, то образуют полную группу попарно несовместных событий.

Теорема. Если образуют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей этих событий равна 1. .

Определение. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными .

Или: противоположным событию А называется событие , состоящее в ненаступлении А (читается «не А »).

Теорема. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна 1: .

Если , то p+q= 1 .

Вероятность наступления хотя бы одного события

Теорема. Пусть А – событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий . – независимые в совокупности события. Тогда .

Задача. Три станка работают независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение часа выйдет из строя, равна 0,015, для второго и третьего станков эти вероятности равны 0,02 и 0,025. Найти вероятность того, что в течение часа хотя бы один станок выйдет из строя.

А Пусть выполнены все условия предыдущей теоремы. Но пусть уже известно, что событие А – произошло. Тогда вероятность гипотезы после опыта определяется по формуле:

.

P (A ) находим по формуле полной вероятности.

Задача. Два автомата производят одинаковые детали, которые собираются на общий конвейер. Производительность первого автомата в два раза больше второго. Первый производит в среднем 60% деталей отличного качества, второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что она изготовлена вторым автоматом.

– событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь изготовлена первым автоматом, – вторым. А – событие, состоящее в том, что наудачу взятая деталь отличного качества.

Формула Бернулли

Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с вероятностью P (A )=p , причем . Последовательность появления события А не имеет значения. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие А наступает ровно m раз вычисляется по формуле:

,

где – число сочетаний из n элементов по m (см. выше).

Задача. Орудие стреляет по цели пять раз. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность того, что орудие попадает два раза.

Случайные величины

Случайной величиной называют такую величину, которая в результате испытания принимает одно и только одно из возможных своих значений, заранее неизвестное и зависящее от случайных обстоятельств, которые не всегда можно учесть. Обозначается X, Y, Z,

Тогда закон распределения этой случайной величины принимает вид:

Контроль:

Числовые характеристики

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений возможных значений случайной величины на вероятности этих возможных значений. Обозначается:

Математическое ожидание – это число, центр распределения случайной величины, – ее возможные значения расположены на оси левее и правее математического ожидания.

Дисперсией дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от своего математического ожидания.

Можно доказать, что

Этой формулой удобно пользоваться в расчетах. Дисперсия характеризует меру рассеяния возможных значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

Средним квадратическим отклонением называется .

Пример . (см. задание 8). Дан ряд распределения случайной величины. Найти .

Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве ∫ f (g (x)) d (g (x)) = F (g (x)) + C . Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f (g (x)) d (g (x)) . Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

Таблица первообразных

Пример 1

Найдите неопределенный интеграл ∫ sin (x 2) d (x 2) .

Решение

Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, ∫ sin x d x = - cos x + C , значит, ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C .

Ответ: ∫ sin (x 2) d (x 2) = - cos (x 2) + C

Пример 2

Найдите множество первообразных функции y = ln 3 x x .

Решение

Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ∫ ln 3 x x d x . Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, d x x = d ln x , значит, ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) . Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln 4 x 4 + C .

Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z = ln x и получить ∫ ln 3 x x d x = ∫ ln 3 x d (ln x) = ln x = z = ∫ z 3 d z . Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что ∫ z 3 d z = z 4 4 + C . Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z 4 4 + C = z = ln x = ln 4 x 4 + C .

Ответ: ∫ ln 3 x x d x = ln 4 x 4 + C .

С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

Пример 3

Найдите интеграл тангенса ∫ t g x d x .

Решение

∫ t g x d x = ∫ sin x d x cos x

Поскольку sin x d x = - d (cos x) , то можно подвести ∫ sin x d x cos x = - ∫ d (cos x) cos x . Берем таблицу первообразных и находим, что - ∫ d (cos x) cos x = - ln cos x + C 1 = - ln cos x + C , где C = - C 1 .

Ответ: ∫ t g x d x = - ln cos x + C .

Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала. Умение быстро делать это приходит с опытом.

Пример 4

Вычислите неопределенный интеграл ∫ x 2 d x 1 + x 6 .

Решение

Согласно таблице производных, d (x 3) = 3 x 2 d x , значит, x 2 d x = 1 3 d (x 3) . Используем таблицу основных интегралов и находим, что ∫ d x 1 + x 2 = a r c r g x + C . Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

∫ x 2 d x 1 + x 6 = ∫ 1 3 d (x 3) 1 + x 3 2 = x 3 = t = = 1 3 ∫ d t 1 + t 2 = 1 3 a r c t g (t) + C = x 3 = t = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Ответ: ∫ x 2 d x 1 + x 6 = 1 3 a r c t g (x 3) + C

Пример 5

Вычислите неопределенный интеграл ∫ d x x 2 + 2 x + 4 .

Решение

Начнем с преобразования подкоренного выражения.

x 2 + 2 x + 4 = x 2 + 2 x + 1 - 1 + 4 = x 2 + 2 x + 1 + 3 = x + 1 2 + 3

После этого можно записать, что ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ∫ d x x + 1 2 + 3 .

Поскольку d (x + 1) = d x , то ∫ d x x + 1 2 + 3 = ∫ d x (x + 1) x + 1 2 + 3 = x + 1 = z = ∫ d z z 2 + 3 .

Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

∫ d z z 2 + 3 = ln z + z 2 + 3 + C = z = x + 1 = ln x + 1 + (x + 1) 2 + 3 + C = = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Ответ: ∫ d x x 2 + 2 x + 4 = ln x + 1 + x 2 + 2 x + 4 + C

Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

Пример 6

Найдите множество первообразных функции ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 .

Решение

Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = ∫ x d x 4 x 2 1 2 x + 1 4 = ∫ x d x 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 = = 1 2 ∫ x d x x 2 + 1 2 x + 1 16 - 1 16 + 1 4 = 1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16

Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

Поскольку d x + 1 4 2 + 3 16 = x + 1 4 2 + 3 16 " d x = 2 · x + 1 4 2 d x = 2 x d x + d x 2 ,то:

2 x d x = d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 2 ⇒ x d x = 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4

Следовательно, мы можем записать, что:

1 2 ∫ x d x x + 1 4 2 + 3 16 = 1 2 ∫ 1 2 d x + 1 4 2 + 3 16 - d x 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16

Исходя из d x = d x + 1 4 , можно преобразовать выражение так:

1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x x + 1 4 2 + 3 16 = = 1 4 ∫ d x + 1 4 2 + 3 16 x + 1 4 2 + 3 16 - 1 8 ∫ d x + 1 4 x + 1 4 2 + 3 16 = = x + 1 4 2 + 3 16 = z x + 1 4 = t = 1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16

В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

1 4 ∫ z - 1 2 d z - 1 8 ∫ d t t 2 + 3 16 = 1 4 · 1 - 1 2 + 1 z - 1 2 + 1 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 z 1 2 - 1 8 ln t + t 2 + 3 16 + C = = 1 2 x + 1 4 2 + 3 16 1 2 - 1 8 ln x + 1 4 + x + 1 4 2 + 3 16 + C = = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Ответ: ∫ x d x 4 x 2 + 2 x + 1 = 1 2 x 2 + 1 2 x + 1 4 - 1 8 ln x + 1 4 + x 2 + 1 2 x + 1 4 + C

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Метод подведения под знак дифференциала редко приводится в литературе, поэтому вначале покажем, почему он выгоден.

Нередко в подынтегральной функции можно увидеть 2 фрагмента, один из которых похож на производную другого. Например,

а) в интеграле числительx похож на производную от :
;

б) интеграл
можно представить как
, где
;

в) функция
в интеграле
– это
.

Подобные интегралы часто предлагают находить, заменив новой переменной функцию, производная которой обнаружена. Так, для указанных интегралов

а) если
, то
, тогда
и
, откуда

б) поскольку
, то
, тогда
и
, поэтому

Более подробно метод замены изложен в § 4.

Однако вычисление 3-го интеграла при помощи замены уже связано с трудностями. Пусть, заметив, что
, мы заменили
.

Тогда
и
. Выразить
черезt можно так:

(
, поэтому
). Подставим:

В результате громоздких действий практически всё сократилось и получился простой табличный интеграл. Возникает вопрос, нельзя ли было прийти к нему быстрее, если почти ни одно выражение не понадобилось.

Действительно, есть более короткое решение:

тогда, заменив
, сразу получаем интеграл

Таким же образом можно было найти интегралы

Здесь действия показаны очень подробно, и половину из них можно пропустить. Особенно коротким сделает решение следующая

Таблица основных дифференциалов

Примеры подведения под знак дифференциала

3) ;

ПД1. Найдите интегралы

1) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

2) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

3) а)
; б)
; в)
; г)
; д)

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

4) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
;

5) а)
; б)
; в)
; г)
; д)
;

е)
; ж)
; з)
; и)
; к)
.

§ 3. Интегралы от функций, содержащих квадратичное выражение

При интегрировании функций, содержащих выражение
, поможет формула
. Например,

б)
;

Полученную скобку удобно обозначить новой буквой и перейти к интегралу по этой переменной (дифференциалы новой и старой переменных совпадут).

Коэффициент перед квадратом лучше выносить за скобку:

,

а затем, если возможно, и за знак интеграла. Так,

Цель замены – перейти к интегралу без линейного слагаемого
, поскольку интегралы, содержащие только
, находятся проще, и часто – по таблице. При этом важно помнить, что
,
, и т.п.

А именно (см. § 2),

где a – любое число, и число
. Кроме того, при

где
.

Замечание 1. После замены часто появляются интегралы
,
или
. Их можно найти так:

аналогично во 2-м и в 3-м случае.

Однако интегралы вида
достаточно сложны. Воспользуйтесь готовыми формулами

(проверьте дифференцированием, что это действительно так).

КИ1. Найдите при помощи равенства
и замены
:

Пример 1 (для краткости
обозначено как
.

При поиске
и
учли, что
и
соответственно, и применили основное правило табличного интегрирования.

КИ2. Найдите интегралы, разложив каждый на сумму интегралов, один из которых – табличный, а другой аналогичен найденным в задании КИ1:

Пример 2. Найдём интеграл
, разложив на сумму двух:

Ответ: (модуль не нужен, поскольку всегда
).

Пример 3. Возьмём таким же образом интеграл
:

Рациональнее всего найти интегралы так:

где учли, что
;

Тогда , где
.

Ответ: .

Замечание 2. В дальнейшем часто придётся разбивать интеграл на 2 или 3 интеграла, в каждом из которых появляется константа (
, и т.д.). Для краткости будем подразумевать (но не указывать) константы в каждом отдельном вспомогательном интеграле (или указывать, но не сопровождать номером), а записывать будем лишь общую константуC в ответе. При этом всегда C – некая линейная комбинация .

КИ3. Получив в знаменателе полный квадрат и сделав замену, найдите

Пример 4.
Заметив, что

заменяем
, тогда
и.

Подставим в интеграл:

Пример 5.

Поскольку , можно сделать замену
, при которой
и
. Подставим:

Пример 6.

Здесь , заменяем
, откуда
и
. Подставим:

где
. Разобьём интеграл на два:

.

Так же, как в предыдущих примерах,

а 2-й интеграл – табличный:
.

Итак, , где
. Тем самым

Пример 7.

Теперь , замена
, поэтому
и
.

Переходим к интегралу от новой переменной:

где
.

Найдём отдельно

в)
(табличный интеграл).

Умножим 2-й результат на 7, 3-й на 10, соберём подобные слагаемые и вернёмся к старой переменной:

КИ4. Найдите интегралы от иррациональных функций:

Пример 8. Найдём
. Похожий интеграл без корня уже найден выше (пример 6), и достаточно на соответствующем шаге добавить корень:

,

где
. Разбиваем

и находим

б)
.

Таким образом, , где
.

Ответ: .

Пример 9.
Полный квадрат удобно получить так:

где
. Тогда

.

Заменим
. При этом
и
:

Действуем так же, как в примере 8:

Ответ: .

Замечание 3. Нельзя из-под корня выносить знак «–» или любой отрицательный общий множитель:
;, и т.д. В примере 9 показан единственно возможный правильный способ действий.

Пример 10. Посмотрим, что изменится, если в примере 9 поставить квадрат: найдём
. Теперь после тех же замен окажется, что

Как обычно,

и 2-й и 3-й интегралы находятся так же, как в примере 9:

;

.

Согласно указаниям на стр. 19, 1-й интеграл можно преобразовать так:

где снова
, а

Новый интеграл находят или тригонометрической подстановкой
, или повторным интегрированием по частям, взяв
и
. Воспользуемся готовой формулой
(стр. 19):

Умножим все интегралы на соответствующие им коэффициенты и соберём вместе:

в ответе приведём подобные слагаемые.