Плотность вероятности равномерного распределения. Математика и информатика

Равномерное распределение. Случайная величина X имеет смысл координаты точки, выбранной наудачу на отрезке

[а, Ь. Равномерную плотность распределения случайной величины X (рис. 10.5, а) можно определить как:

Рис. 10.5. Равномерное распределение случайной величины: а - плотность распределения; б - функция распределения

Функция распределения случайной величины X имеет вид:

График функции равномерного распределения показан на рис. 10.5, б.

Преобразование Лапласа равномерного распределения вычислим по (10.3):

Математическое ожидание и дисперсия легко вычисляются непосредственно из соответствующих определений:

Аналогичные формулы для математического ожидания и дисперсии можно также получить с использованием преобразования Лапласа по формулам (10.8), (10.9).

Рассмотрим пример системы сервиса, которую можно описать равномерным распределением.

Движение транспорта на перекрестке регулируется автоматическим светофором, в котором 1 мин горит зеленый свет и 0,5 мин - красный. Водители подъезжают к перекрестку в случайные моменты времени с равномерным распределением, не связанным с работой светофора. Найдем вероятность того, что автомобиль проедет перекресток, не останавливаясь.

Момент проезда автомобиля через перекресток распределен равномерно в интервале 1 + 0,5 = 1,5 мин. Автомобиль проедет через перекресток, не останавливаясь, если момент проезда перекрестка попадает в интервал времени . Для равномерно распределенной случайной величины в интервале вероятность попадания в интервал равна 1/1,5=2/3. Время ожидания Г ож есть смешанная случайная величина. С вероятностью 2/3 она равна нулю, а с вероятностью 0,5/1,5 принимает любое значение между 0 и 0,5 мин. Следовательно, среднее время и дисперсия ожидания у перекрестка

Экспоненциальное (показательное) распределение. Для экспоненциального распределения плотность распределения случайной величины можно записать как:

где А называют параметром распределения.

График плотности вероятности экспоненциального распределения дан на рис. 10.6, а.

Функция распределения случайной величины с экспоненциальным распределением имеет вид

Рис. 10.6. Экспоненциальное распределение случайной величины: а - плотность распределения; б - функция распределения

График функции экспоненциального распределения показан на рис. 10.6, 6.

Преобразование Лапласа экспоненциального распределения вычислим по (10.3):

Покажем, что для случайной величины X, имеющей экспоненциальное распределение, математическое ожидание равно среднеквадратическому отклонению а и обратно параметру А,:

Таким образом, для экспоненциального распределения имеем: Можно также показать, что

т.е. экспоненциальное распределение полностью характеризуется средним значением или параметром X .

Экспоненциальное распределение обладает рядом полезных свойств, которые используются при моделировании систем сервиса. Например, оно не имеет памяти. Когда , то

Другими словами, если случайная величина соответствует времени, то распределение оставшейся длительности не зависит от времени, которое уже прошло. Данное свойство иллюстрирует рис. 10.7.

Рис. 10.7.

Рассмотрим пример системы, параметры функционирования которой можно описать экспоненциальным распределением.

При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время работы прибора Т от его включения до возникновения неисправности распределено по экспоненциальному закону с параметром X. При обнаружении неисправности прибор сразу поступает в ремонт, который продолжается время / 0 . Найдем плотность и функцию распределения промежутка времени Г, между двумя соседними неисправностями, математическое ожидание и дисперсию, а также вероятность того, что время Т х будет больше 2t 0 .

Так как ,то

Нормальное распределение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью

Из (10.48) следует, что нормальное распределение определяется двумя параметрами - математическим ожиданием т и дисперсией а 2 . График плотности вероятности случайной величины с нормальным распределением при т= 0, а 2 =1 показан на рис. 10.8, а.

Рис. 10.8. Нормальный закон распределения случайной величины при т = 0, ст 2 = 1: а - плотность вероятности; 6 - функция распределения

Функция распределения описывается формулой

График функции распределения вероятности нормально распределенной случайной величины при т = 0, а 2 = 1 показан на рис. 10.8, б.

Определим вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу (а, р):

где - функция Лапласа, и вероятность того,

что абсолютное значение отклонения меньше положительного числа 6:

В частности, при т = 0 справедливо равенство:

Как видно, случайная величина с нормальным распределением может принимать как положительные значения, так и отрицательные. Поэтому для вычисления моментов необходимо использовать двустороннее преобразование Лапласа

Однако этот интеграл не обязательно существует. Если он существует, вместо (10.50) обычно используют выражение

которое называют характеристической функцией или производящей функцией моментов.

Вычислим по формуле (10.51) производящую функцию моментов нормального распределения:

После преобразования числителя подэкспоненциального выражения к виду получим

Интеграл

так как является интегралом нормальной плотности вероятности с параметрами т + so 2 и а 2 . Следовательно,

Дифференцируя (10.52), получим

Из данных выражений можно найти моменты:

Нормальное распределение широко распространено на практике, так как, согласно центральной предельной теореме, если случайная величина представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то имеет распределение, близкое к нормальному.

Рассмотрим пример системы, параметры которой можно описать нормальным распределением.

Предприятие изготовляет деталь заданного размера. Качество детали оценивается путем измерения ее размера. Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением а - Юмкм. Найдем вероятность того, что ошибка измерения не будет превышать 15 мкм.

По (10.49) находим

Для удобства использования рассмотренных распределений сведем полученные формулы в табл. 10.1 и 10.2.

Таблица 10.1. Основные характеристики непрерывных распределений

Таблица 10.2. Производящие функции непрерывных распределений

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

• 1. Какие распределения вероятностей относят к непрерывным?
• 2. Что такое преобразование Лапласа-Стилтьеса? Для чего оно используется?
• 3. Как вычислить моменты случайных величин с использованием преобразования Лапласа-Стилтьеса?
• 4. Чему равно преобразование Лапласа суммы независимых случайных величин?
• 5. Как вычислить среднее время и дисперсию времени перехода системы из одного состояния в другое с использованием сигнальных графов?
• 6. Дайте основные характеристики равномерного распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.
• 7. Дайте основные характеристики экспоненциального распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.
• 8. Дайте основные характеристики нормального распределения. Приведите примеры его использования в задачах сервиса.

С помощью которого моделируются многие реальные процессы. И самый такой распространённый пример – это график движения общественного транспорта. Предположим, что некий автобус (троллейбус / трамвай) ходит с интервалом в 10 минут, и вы в случайный момент времени подошли к остановке. Какова вероятность того, что автобус подойдёт в течение 1 минуты? Очевидно, 1/10-я. А вероятность того, что придётся ждать 4-5 минут? Тоже . А вероятность того, что автобус придётся ждать более 9 минут? Одна десятая!

Рассмотрим некоторый конечный промежуток, пусть для определённости это будет отрезок . Если случайная величина обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно . При этом функция плотности будет строго определённой:

И в самом деле, если длина отрезка (см. чертёж) составляет , то значение неизбежно равно – дабы получилась единичная площадь прямоугольника, и было соблюдено известное свойство :


Проверим его формально:
, ч.т.п. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина достоверно примет одно из значений отрезка …, эх, становлюсь потихоньку занудным старикашкой =)

Суть равномерности состоит в том, что какой бы внутренний промежуток фиксированной длины мы ни рассмотрели (вспоминаем «автобусные» минуты) – вероятность того, что случайная величина примет значение из этого промежутка будет одной и той же. На чертеже я заштриховал троечку таких вероятностей – ещё раз заостряю внимание, что они определяются площадями , а не значениями функции !

Рассмотрим типовое задание:

Пример 1

Непрерывная случайная величина задана своей плотностью распределения:

Найти константу , вычислить и составить функцию распределения. Построить графики . Найти

Иными словами, всё, о чём только можно было мечтать:)

Решение : так как на интервале (конечном промежутке) , то случайная величина имеет равномерное распределение, и значение «цэ» можно отыскать по прямой формуле . Но лучше общим способом – с помощью свойства:

…почему лучше? Чтобы не было лишних вопросов;)

Таким образом, функция плотности:

Выполним чертёж. Значения невозможны , и поэтому жирные точки ставятся внизу:


В качестве экспресс-проверки вычислим площадь прямоугольника:
, ч.т.п.

Найдём математическое ожидание , и, наверное, вы уже догадываетесь, чему оно равно. Вспоминаем «10-минутный» автобус: если случайным образом подходить к остановке много-много дней упаси, то в среднем его придётся ждать 5 минут.

Да, именно так – матожидание должно находиться ровно посерединке «событийного» промежутка:
, как и предполагалось.

Дисперсию вычислим по формуле . И вот тут нужен глаз да глаз при вычислении интеграла:

Таким образом, дисперсия :

Составим функцию распределения . Здесь ничего нового:

1) если , то и ;

2) если , то и:

3) и, наконец, при , поэтому:

В результате:

Выполним чертёж:


На «живом» промежутке функция распределения растёт линейно , и это ещё один признак, что перед нами равномерно распределённая случайная величина. Ну, ещё бы, ведь производная линейной функции – есть константа.

Требуемую вероятность можно вычислить двумя способами, с помощью найденной функции распределения:

либо с помощью определённого интеграла от плотности:

Кому как нравится.

И здесь ещё можно записать ответ : ,
, графики построены по ходу решения.

…«можно», потому что за его отсутствие обычно не карают. Обычно;)

Для вычисления и равномерной случайной величины существуют специальные формулы, которые я предлагаю вам вывести самостоятельно:

Пример 2

Непрерывная случайная величина задана плотностью .

Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Результаты максимально упростить (формулы сокращённого умножения в помощь) .

Полученные формулы удобно использовать для проверки, в частности, проверьте только что прорешанную задачу, подставив в них конкретные значения «а» и «б». Краткое решение внизу страницы.

И в заключение урока мы разберём парочку «текстовых» задач:

Пример 3

Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что погрешности округлений распределены равномерно, найти вероятность того, что при очередном измерении она не превзойдёт 0,04.

Для лучшего понимания решения представим, что это какой-нибудь механический прибор со стрелкой, например, весы с ценой деления 0,2 кг, и нам предстоит взвесить кота в мешке. Но не в целях выяснить его упитанность – сейчас будет важно, ГДЕ между двумя соседними делениями остановится стрелка.

Рассмотрим случайную величину – расстояние стрелки от ближайшего левого деления. Или от ближайшего правого, это не принципиально.

Составим функцию плотности распределения вероятностей:

1) Так как расстояние не может быть отрицательным, то на интервале . Логично.

2) Из условия следует, что стрелка весов с равной вероятностью может остановиться в любом месте между делениями* , включая сами деления, и поэтому на промежутке :

* Это существенное условие. Так, например, при взвешивании кусков ваты или килограммовых пачек соли равномерность будет соблюдаться на куда более узких промежутках.

3) И поскольку расстояние от БЛИЖАЙШЕГО левого деления не может быть больше, чем 0,2, то при тоже равна нулю.

Таким образом:

Следует отметить, что о функции плотности нас никто не спрашивал, и её полное построения я привёл исключительно в познавательных цепях. При чистовом оформлении задачи достаточно записать только 2-й пункт.

Теперь ответим на вопрос задачи. Когда погрешность округления до ближайшего деления не превзойдёт 0,04? Это произойдёт тогда, когда стрелка остановится не далее чем на 0,04 от левого деления справа или не далее чем на 0,04 от правого деления слева . На чертеже я заштриховал соответствующие площади:

Осталось найти эти площади с помощью интегралов . В принципе, их можно вычислить и «по-школьному» (как площади прямоугольников), но простота не всегда находит понимание;)

По теореме сложения вероятностей несовместных событий :

– вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,04 (40 грамм для нашего примера)

Легко видеть, что максимально возможная погрешность округления составляет 0,1 (100 грамм) и поэтому вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,1 равна единице.

Ответ : 0,4

В других источниках информации встречаются альтернативные объяснения / оформление этой задачи, и я выбрал вариант, который показался мне наиболее понятным. Особое внимание нужно обратить на то, что в условии речь может идти о погрешностях НЕ округлений, а о случайных погрешностях измерений, которые, как правило (но не всегда) , распределены по нормальному закону . Таким образом, всего лишь одно слово может в корне изменить решение! Будьте начеку и вникайте в смысл.

И коль скоро всё идёт по кругу, то ноги нас приносят на ту же автобусную остановку:

Пример 4

Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности случайной величины – времени ожидании очередного автобуса пассажиром, который наудачу подошёл к остановке. Найти вероятность того, что он будет ждать автобус не более трёх минут. Найти функцию распределения и пояснить её содержательный смысл.

Распределение вероятностей непрерывной случайной величины X , принимающей все значения из отрезка , называется равномерным , если её плотность вероятности на этом отрезке постоянна, а вне его равна нулю. Таким образом, плотность вероятности непрерывной случайной величины X , распределённой равномерно на отрезке , имеет вид:

Определим математическое ожидание , дисперсию и для случайной величины с равномерным распределением.

, , .

Пример. Все значения равномерно распределённой случайной величины лежат на отрезке . Найти вероятность попадания случайной величины в промежуток (3;5) .

a=2, b=8, .

Биномиальное распределение

Пусть производится n испытаний, причём вероятность появления события A в каждом испытании равна p и не зависит от исхода других испытаний (независимые испытания). Так как вероятность наступления события A в одном испытании равна p , то вероятность его ненаступления равна q=1-p .

Пусть событие A наступило в n испытаниях m раз. Это сложное событие можно записать в виде произведения:

.

Тогда вероятность того, что при n испытаниях событие A наступит m раз , вычисляется по формуле:

или (1)

Формула (1) называется формулой Бернулли .

Пусть X – случайная величина, равная числу появлений события A в n испытаниях, которая принимает значения с вероятностями:

Полученный закон распределения случайной величины называется законом биномиального распределения .

Математическое ожидание , дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайных величин, распределённых по биномиальному закону, определяются по формулам:

, , .

Пример. По мишени производятся три выстрела, причём вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,8. Рассматривается случайная величина X – число попаданий в мишень. Найти её закон распределения, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

p=0,8 , q=0,2 , n=3 , , , .

- вероятность 0 попаданий;

Вероятность одного попадания;

Вероятность двух попаданий;

- вероятность трёх попаданий.

Получаем закон распределения:

Задачи

1. Монету бросают 7 раз. Найти вероятность того, что 4 раза она упадёт гербом вверх.

2. Монету бросают 8 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет не более трёх раз.

3. Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия p=0,6. Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

4. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причём вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

В качестве примера непрерывной случайной величины рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на интервале (a; b). Говорят, что случайная величина X равномерно распределена на промежутке (a; b), если ее плотность распределения непостоянна на этом промежутке:

Из условия нормировки определим значение константы c . Площадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице, но в нашем случае - это площадь прямоугольника с основанием (b - α) и высотой c (рис. 1).

Рис. 1 Плотность равномерного распределения
Отсюда находим значение постоянной c:

Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна

Найдем теперь функцию распределения по формуле:
1) для
2) для
3) для 0+1+0=1.
Таким образом,

Функция распределения непрерывна и не убывает (рис. 2).

Рис. 2 Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины по формуле:

Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по формуле и равна

Пример №1 . Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2 . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0.04 ; б) большая 0.02
Решение. Ошибка округления есть случайная величина, равномерно распределенная на промежутке между соседними целыми делениями. Рассмотрим в качестве такого деления интервал (0; 0,2) (рис. а). Округление может проводиться как в сторону левой границы - 0, так и в сторону правой - 0,2, значит, ошибка, менее либо равная 0,04, может быть сделана два раза, что необходимо учесть при подсчете вероятности:



P = 0,2 + 0,2 = 0,4

Для второго случая величина ошибки может превышать 0,02 также с обеих границ деления, то есть она может быть либо больше 0,02, либо меньше 0,18.


Тогда вероятность появления такой ошибки:

Пример №2 . Предполагалось, что о стабильности экономической обстановки в стране (отсутствии войн, стихийных бедствий и т. д.) за последние 50 лет можно судить по характеру распределения населения по возрасту: при спокойной обстановке оно должно быть равномерным . В результате проведенного исследования, для одной из стран были получены следующие данные.

Решение проводим с помощью калькулятора Проверка гипотез . Таблица для расчета показателей.

Решение:
1. Найдем оценки параметров a * и b * равномерного распределения по формулам:


2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
f(x) = 1/(b * - a *) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.0121
3. Найдем теоретические частоты:
n 1 = n*f(x)(x 1 - a *) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1
n 8 = n*f(x)(b * - x 7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17
Остальные n s будут равны:
n s = n*f(x)(x i - x i-1)