Корреляция индексов и валютных пар. Коэфф

Корреляционное отношение

Коэффициент корреляции является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако часто возникает необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при любой форме зависимости.

Для получения такого показателя вспомним правило сложения дисперсий (19)

где S 2 y -- общая дисперсия переменной

S " 2 iy -- средняя групповых дисперсий S у , или остаточная дисперсия --

Остаточной дисперсией измеряют ту часть колеблемости Y, которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X.

Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью X. Величина

получила название эмпирического корреляционного отношения Y по X. Чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной доказывает изменчивость X по сравнению с неучтенными факторами, тем выше з yx .

Величина з 2 ух , называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X. Аналогично вводится эмпирическое корреляционное отношение X по Y.

Отметим основные свойства корреляционных отношений (при достаточно большом объеме выборки п):

1. Корреляционное отношение есть неотрицательная величина, не превосходящая 1: 0?з? 1.

2. Если з = 0, то корреляционная связь отсутствует.

3. Если з= 1, то между переменными существует функциональная зависимость.

4. з xy ? з xy т.е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого r yx = r xy = r ) при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать независимой, а какую -- зависимой.

Эмпирическое корреляционное отношение з xy является показателем рассеяния точек корреляционного поля относительно эмпирической линии регрессии, выражаемой ломаной, соединяющей значения y i . Однако в связи с тем, что закономерное изменение у, нарушается случайными зигзагами ломаной, возникающими вследствие остаточного действия неучтенных факторов, R xy преувеличивает тесноту связи. Поэтому наряду с з xy рассматривается показатель тесноты связи R yx , характеризующий рассеяние точек корреляционного поля относительно линии регрессии у х.

Показатель R yx получил название теоретического корреляционного отношения или индекса корреляции Y по X

где дисперсии д 2 у и s " y 2 определяются по (20) - (22), в которых групповые средние y i , заменены условными средними у хi , вычисленными по уравнению регрессии. Подобно R yx вводится и индекс корреляции X по Y

Достоинством рассмотренных показателей з и R является то, что они могут быть вычислены при любой форме связи между переменными. Хотя з и завышает тесноту связи по сравнению с R, но для его вычисления не нужно знать уравнение регрессии. Корреляционные отношения з и R связаны с коэффициентом корреляции r следующим образом:

Покажем, что в случае линейной модели, т.е. зависимости

у х - у = b yx (x - х), индекс корреляции R xy равен коэффициенту корреляции r (по абсолютной величине): R yx = |r| (или R yx= |r|), для простоты n i = 1. По формуле (26)

(так как из уравнения регрессии y xi -y=b yx (x i -x)

Теперь, учитывая формулы дисперсии, коэффициентов регрессии и корреляции, получим:

Индекс корреляции

Коэффициент индекса корреляции показывает долю общей вариации зависимой переменной, обусловленной регрессией или изменчивостью объясняющей переменной. Чем ближе индекс корреляции к 1, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии, тем лучше регрессия описывает зависимость переменных.

Проверка значимости корреляционного отношения з основана на том, что статистика

(где т -- число интервалов по группировочному признаку) имеет F-распределение Фишера - Снедекора с к1=т- 1 и k 2 =n - т степенями свободы. Поэтому з значимо отличается от нуля, если F >F a,k1,k2 , где F a,k1,k2 - табличное значение F-критерия на уровне значимости б при числе степеней свободы к 1 = т - 1 и к 2 = п - т.

Индекс корреляции R двух переменных значим, если значение статистики:

больше табличного F a,k1,k2 , где к1=1 и k 2 = n - 2.

Коррелированность и зависимость случайных величин

Две случайные величины x и у называют коррелированными, если их корреляционный момент (или, что то же, коэффициент корреляции) отличен от нуля; X и у называют некоррелированными величинами, если их корреляционный момент равен нулю. Две коррелированные величины также и зависимы. Действительно, допустив противное, мы должны заключить, что K xy =0, а это противоречит условию, так как для коррелированных величин K xy ?0. Обратное предположение не всегда имеет место, т. е. если две величины зависимы, то они могут быть как коррелированными, так и некоррелированными. Другими словами, корреляционный момент двух зависимых величин может быть не равен нулю, но может и равняться нулю.

Итак, из коррелированности двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Введенный выше коэффициент корреляции, как уже отмечено, является полноценным показателем тесноты связи лишь в случае линейной зависимости между переменными. Однако часто возникает необходимость в достоверном показателе интенсивности связи при любой форме зависимости.

Для получения такого показателя вспомним правило сложения дисперсий:

где - общая дисперсия переменной

Средняя групповых дисперсий, или остаточная дисперсия

Межгрупповая дисперсия

Остаточной дисперсией измеряют ту часть колеблемости Y, которая возникает из-за изменчивости неучтенных факторов, не зависящих от X. Межгрупповая дисперсия выражает ту часть вариации Y, которая обусловлена изменчивостью X. Величина

получила название эмпирического корреляционного отношения Y по X. Чем теснее связь, тем большее влияние на вариацию переменной Y оказывает изменчивость X по сравнению с неучтенными факторами, тем выше. Величина, называемая эмпирическим коэффициентом детерминации, показывает, какая часть общей вариации Y обусловлена вариацией X. Аналогично вводится эмпирическое корреляционное отношение X по Y:

Отметим основные свойства корреляционных отношений (при достаточно большом объеме выборки n).

• 1. Корреляционное отношение есть неотрицательная величина, не превосходящая единицу: 0
• 2. Если = 0, то корреляционная связь отсутствует.
• 3. Если = 1, то между переменными существует функциональная зависимость.

4. ? т.е. в отличие от коэффициента корреляции r (для которого) при вычислении корреляционного отношения существенно, какую переменную считать независимой, а какую - зависимой.

Эмпирическое корреляционное отношение является показателем рассеяния точек корреляционного поля относительно эмпирической линии регрессии, выражаемой ломаной, соединяющей значения. Однако в связи с тем, что закономерное изменение нарушается случайными зигзагами ломаной, возникающими вследствие остаточного действия неучтенных факторов, преувеличивает тесноту связи. Поэтому наряду с рассматривается показатель тесноты связи, характеризующий рассеяние точек корреляционного поля относительно линии регрессии (1.3). Показатель получил название теоретического корреляционного отношения или индекса корреляции Y по X

где дисперсии и определяются по формулам (1.54)--(1.56), в которых групповые средние у заменены условными средними у, вычисленными по уравнению регрессии (1.16).

Подобно вводится и индекс корреляции X по Y:

Достоинством рассмотренных показателей и R является то, что они могут быть вычислены при любой форме связи между переменными. Хотя и завышает тесноту связи по сравнению с R, но для его вычисления не нужно знать уравнение регрессии. Корреляционные отношения и R связаны с коэффициентом корреляции r следующим образом.

Исторически первым показателем тесноты связи был парный коэффициент корреляции, предложенный К. Пирсоном. Он основан на показателе ковариации, который представляет собой среднее значение произведения отклонений индивидуальных значений результативного и факторного признаков от своих средних значений. Показатель ковариации оценивает совместное изменение двух признаков, результата и фактора:

где - значение признака-результата у i-й единицы совокупности; - значение признака-фактора у i-й единицы совокупности; - среднее значение признака-результата; - среднее значение признака-фактора.

Показатель ковариации содержательно сложно интерпретировать. Нормированное значение показателя ковариации – это и есть показатель парной корреляции Пирсона.

, (53)

или после преобразований:

, (54)

где - стандартное отклонение признака-результата; - стандартное отклонение признака-фактора.

Достоинством коэффициента корреляции является то, что он имеет пределы изменения, следовательно, его величина легко может быть интерпретирована. Значения показателя изменяются от -1 до +1. Близость коэффициента к нулю свидетельствует об отсутствии корреляционной зависимости. Близость к единице – о тесной корреляционной зависимости. Знак коэффициента корреляции указывает на прямую, либо обратную зависимость. Величина конкретных значений интерпретируется следующим образом:

- связь практически отсутствует;

- связь заметная;

- связь умеренная;

- связь тесная.

Парный коэффициент корреляции – симметричный показатель, т.е. . Это означает, что высокое значение коэффициента корреляции не может свидетельствовать о наличии причинно-следственной связи, а говорит лишь о наличии параллельной вариации признаков (показателей). Что есть фактор, а что есть результат, не имеет значения. Наличие причинно-следственной связи обосновывается теоретическим анализом изучаемого объекта на основе положений экономической теории.

Расчет коэффициента корреляции, как и большинства статистических показателей, рассчитываемых по ограниченному объему совокупности, сопровождается оценкой его значимости (существенности). Необходимо подтвердить, что полученное значение коэффициента – не результат действия случайных факторов. Для оценки значимости рассчитывается t-статистика, как отношение оцениваемой характеристики (в данном случае - r) к ее стандартной ошибке (). Иными словами, осуществляется проверка гипотезы об отсутствии корреляционной зависимости между изучаемыми переменными, т.е. предполагается, что коэффициент корреляции в генеральной совокупности равен нулю ():

(55)

При условии справедливости нулевой гипотезы, распределение t-статистики соответствует закону распределения вероятностей Стьюдента с n-2 степенями свободы. Исходя из этого, находится табличное значение t-статистики, соответствующее заданному аналитиком уровню вероятности и полученному числу степеней свободы. Если расчетное значение t окажется больше табличного, то гипотеза об отсутствии связи должна быть отвергнута (с вероятностью ошибки =1- принятый уровень вероятности) и принята альтернативная гипотеза о значимости полученного коэффициента корреляции, т.е. о наличии статистически значимой связи между изучаемыми признаками.

В практике экономических исследований и анализа часто приходится изучать множественную корреляционную зависимость, т.е. оценивать влияние двух и более факторов на признак-результат. Теснота связи между комплексом факторов и зависимой переменной оценивается с помощью множественного коэффициента корреляции (). При двухфакторной зависимости множественный коэффициент корреляции рассчитывается следующим образом:

где - парные коэффициенты корреляции результата и каждого из факторов, - коэффициент корреляции между факторами.

Множественный коэффициент корреляции изменяется от нуля до единицы, не может быть отрицательным. Интерпретация конкретных значений множественного коэффициента корреляции аналогична интерпретации значений парного коэффициента с той только разницей, что оценивается теснота корреляционной зависимости между результативным признаком и всей совокупностью анализируемых факторов.

Квадрат коэффициента корреляции (r 2 ; ) – это показатель, который называется коэффициентом детерминации. Он характеризует долю объясненной (факторной) дисперсии результативного признака в общей дисперсии результативного признака.

При изучении множественной корреляционной зависимости рассчитываются также частные коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту связи между результатом и одним признаком-фактором, при условии элиминирования влияния других факторов, включенных в анализ. Элиминирование выполняется путем закрепления значений факторов (кроме оцениваемого) на неизменном уровне (как правило, на среднем).

При двухфакторной корреляционной зависимости рассчитывается два частных коэффициента корреляции:

, (57)

- данный частный коэффициент характеризует степень тесноты корреляционной зависимости между результатом (y) и фактором x 1 при элиминировании фактора x 2.

, (58)

Этот коэффициент характеризует тесноту зависимости признака-результата (y) от признака- фактора x 2 при элиминировании фактора x 1.

Коэффициенты корреляции, в большей степени, пригодны для оценки линейной зависимости между изучаемыми признаками. Если связь нелинейная, то следует отдать предпочтение универсальному показателю, который называется корреляционное отношение() . Оно может быть:

Ø Эмпирическое, рассчитанное по данным аналитической группировки, как отношение межгрупповой дисперсии () к общей ():

. (59)

Ø Теоретическое, рассчитанное по результатам регрессионного анализа, как отношение факторной дисперсии () к общей ():

. (60)

Корреляционное отношение изменяется так же от нуля до единицы и интерпретируется аналогично коэффициенту корреляции. Квадрат корреляционного отношения () - коэффициента детерминации.

Для понимания сути корреляционного отношения и коэффициента детерминации, следует сформулировать правило сложения дисперсий в терминах регрессионного анализа. Оно звучит так: общая дисперсия признака-результата есть сумма факторной и остаточной дисперсий:

. (61)

Факторная дисперсия () – это аналог межгрупповой дисперсии. Показатель характеризует вариацию признака-результата, обусловленную вариацией признаков-факторов, включенных в анализ.

Остаточная дисперсия( ) – аналог внутригрупповой дисперсии. Характеризует вариацию признака-результата, обусловленную вариацией факторов, не включенных в анализ, т.е. оставшихся за пределами внимания аналитика.

Общая дисперсияпризнака-результата () обусловлена вариацией всех факторов, объективно влияющих на результат (зависимую переменную).

Коэффициент детерминации ( , )– это важный аналитический показатель, характеризующий долю факторной дисперсии в общей дисперсии результативного признака, т.е. долю объясненной вариации зависимой переменной, которую удается объяснить вариацией факторов, включенных в анализ.

Величина коэффициента детерминации реагирует на число факторов, включенных в уравнение регрессии. Поэтому для ответа на вопрос, какую часть дисперсии результативного признака удается объяснить в каждом конкретном случае, исходят из величины скорректированного коэффициента детерминации. Корректировка коэффициента осуществляется с учетом числа степеней свободы, т.е. с учетом объема изучаемой совокупности и числа факторов, включенных в анализ:

, (62)

где - коэффициента детерминации, скорректированный с учетом числа степеней свободы; n – объем изучаемой совокупности; k – число факторов, включенных в анализ.

Оценка корреляционной зависимости может быть также дана на основе индекса корреляции ( - «ро»), который рассчитывается с использованием величины остаточной дисперсии по следующей формуле:

. Суть данного показателя также вытекает из правила сложения дисперсий, т.е. - аналог коэффициента корреляции, а - коэффициента детерминации.

Коэфф. (индекс) множественной корреляции

R = –

Свойства R:

R ху = R ух.

1 . До 0,3 связь слабая 2 . 0,3-0,5 связь умеренная

3 . 0,5-0,7 связь заметная 4. 0,7-0,9 связь высокая

5

R 2 скорр =

R 2 скорр всегда больше, чем R 2 факт.

22. Показатели частной корреляции

Корень из R 2 = R = корень из (SS R / SS T)= корень из (1 - SS E / SS T);

R = – чем ближе к 1, тем теснее связь (а в парной = [-1; 1]).

Свойства R:

R - стандартизованный коэффициент регрессии;

Если связи между х и у нет, то R = 0; НО если R = 0, то нет только линейной связи;

R ху = R ух.

Шкала значения коэфф. корреляции:

1 . До 0,3 связь слабая 2 . 0,3-0,5 связь умеренная

3 . 0,5-0,7 связь заметная 4. 0,7-0,9 связь высокая

5 . 0,9-1,0 связь весьма высокая, близкая к функциональной.

Скорректированный (нормированный) коэфф. детерминации R 2 скорр:

По R 2 можно сравнивать модели, НО необходимо пересчитать его на число степеней свободы, т.к. модели м. иметь разный набор факторов и разные числовые наблюдения.

R 2 скорр = 1 – (SS E: (n-m-1) / SS T: (n-1)) = 1 – (1- R 2) * ((n-1) / (n-m-1))

R 2 скорр всегда больше, чем R 2 факт.

Показатели частной корреляции о снованы на соотношении сокращения остаточной вариации за счет дополнительно включенного в модель фактора к остаточной вариации до включения в модель соответствующего фактора.

Частные коэфф. корреляции (рекуррентные формулы - выражающие каждый член последовательности через предыдущих членов):

r yx 2. x 1 = корень из ((SS E yx 1 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 1) = к. из ((1 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 1), х 2 зафиксирован;

r yx 1. x 2 = корень из ((SS E yx 2 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 2) = к. из ((1 – SS E yx 1 x 2) / SS E yx 2), х 1 зафиксирован.

!!! Матрица частных коэфф. корреляции м.б. использована для отбора факторов в модель.

23. Оценка значимости уравнения множественной регрессии и его параметров

Значение коэфф. детерминации R 2 может отражать истинную зависимость, а может – стечение обстоятельств, т.к. при построении уравнения используются выборочные данные. Поэтому необходимо определить, насколько выборочные показатели (оценки) достоверны, значимы. Для этого используют вероятностные оценки стат. гипотез.

Статистическая гипотеза (Н) - предположение о свойстве генеральной совокупности, которое можно проверить, опираясь на данные выборки.

Этапы проверки статистических гипотез :

1. формулируется задача исследования в виде стат. гипотезы;

2 . выбирается статистическая характеристика гипотезы;

3. выдвигаются испытуемая и альтернативная Н 0 и Н 1 ;

4. определяется ОДЗ, критическая область и критическое значение статистического критерия;

5. вычисляется фактическое значение статистического критерия;

6. испытуемая Н 1 проверяется на основе сравнения значений фактического и критического критерия, и в зависимости от результатов проверки Н 1 либо отклоняется, либо принимается.

Критическая область – область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к отклонению Н 0 . Вероятность попадания значения критерия в эту область равна уровню значимости (1 минус доверительная вероятность).

ОДЗ - область, попадание значения статистического критерия в которую приводит к принятию Н 0 .

I. Статистическая оценка достоверности регрессионной модели:

А. 1 . выдвигается H 0: r 2 в генеральной совокупности = 0;

2. выдвигается H 1: r 2 в генеральной совокупности не = 0;

3. определяется ОДЗ или уровень значимости;

4. рассчитывается критерий Фишера F (n – число единиц совокупности, m – число факторов):

F = MS R / MS E = (Σ(y с крыш – y ср) 2 / m) / (Σ(y– y с крыш) 2 / (n-m-1))

F = R 2 /(1-R 2) * (n-m-1)/m = R 2 / (1-R 2) * (n-2) ;

5 . определяется табличное значение критерия Фишера F табл;

6 . фактическое значение сравнивается с табличным.

а. Если F>Fтабл.

б. Если F