Выравнивание временного ряда. Аналитическое выравнивание (сглаживание) временного ряда

После выявления структуры временного ряда, первым этапом эконометрического моделирования по данным временного ряда является моделирование тренда – систематической составляющей, зависящей только от времени. Этот этап получил название выравнивания временного ряда .

Для выравнивания временного ряда используются методы механического и аналитического выравнивания.

Методы механического выравнивания (метод скользящих средних , метод экспоненциального сглаживания и др.) подробно рассматриваются в курсе статистики.

В частности, метод скользящей средней основан на переходе от заданных уровней временного ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определœена заранее (такое преобразование принято называть фильтрованием ). При этом сам выбранный интервал времени “скользит” вдоль ряда. Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный, из-за усреднения отклонений ряда. Для выравнивания временного ряда методом скользящей средней в Exсel используется опция ʼʼЛинœейная фильтрация ʼʼ инструмента ʼʼПодбор линии тренда ʼʼ.

Метод скользящей средней (как и другие механические методы выравнивания) пригоден лишь для осреднения значений ряда и не должна быть использован для количественного прогнозирования. В то же время получение достаточно гладкой траектории дает возможность визуально оценить наличие тенденции в условиях сильной зашумленности ряда случайной компонентой, а также получить ответы на некоторые качественные вопросы относительно тренда.

В эконометрике основное внимание уделяется методу аналитического выравнивания, так как он дает количественную модель изменений временного ряда. При этом под аналитическим выравниванием временного ряда принято понимать построение аналитической функции для моделирования тренда.

Для построения трендов чаще всœего применяются следующие регрессионные уравнения:

· (линœейный тренд);

· (полиномиальный тренд);

· (гиперболический тренд);

· (экспоненциальный тренд).

Параметры модели определяются с помощью метода наименьших квадратов. При этом в качестве независимой переменной выступает переменная t , принимающая значения 1, 2, …, n , а в качестве зависимой переменной – уровни y 1 , y 2 , …, y n временного ряда. Стоит сказать, что для нелинœейных трендов

предварительно проводится процедура линœеаризации.

На стадии спецификации модели, ᴛ.ᴇ. при выборе аппроксимирующей функции , обычно отталкиваются либо от качественного анализа процесса, исходя из соображений экономической теории, либо от визуального анализа графика зависимости уровней ряда от времени. В большинстве случаев выбор наилучшего уравнения тенденции осуществляется путем перебора многих форм с последующим сравнением коэффициента детерминации для каждой из них. Предпочтение отдается той форме, для которой значение больше. Реализация такого подхода относительно проста при компьютерной обработке данных. В частности, для нахождения наиболее адекватного уравнения тренда в Exсel используется инструмент ʼʼПодбор линии трендаʼʼ из Мастера диаграмм .

Трендовую кривую, аппроксимирующую временной ряд, называют еще кривой роста .

Наиболее часто в практической работе используются кривые роста͵ которые позволяют описывать процессы трех базовых типов: без предела роста; с пределом роста без точки перегиба; с пределом роста и точкой перегиба.

Для описания процессов без предела роста чаще всœего служат функции: прямая (полином первой степени) , парабола (полином второй степени) , экспонента и другие. Процессы развития такого типа характерны в основном для абсолютных объёмных показателœей.

Для описания процессов с пределом роста применяется, как правило, модифицированная экспонента и гипербола . При этом в случае экспоненты прямая является горизонтальной асимптотой. Коэффициент подбирается исходя из свойств прогнозируемого процесса или на основании экспертных оценок. Процессы с пределом роста характерны для многих относительных показателœей (душевое потребление продуктов питания, внесение удобрений на единицу площади, затраты на одну денежную единицу произведенной продукции и т.п.).

Для описания процессов третьего типа (с пределом роста и точкой перегиба ) используются логистическая кривая (кривая Перла-Рида) и кривая Гомперца . Такой тип развития характерен для растущих рынков, в частности, для описания развития спроса на некоторые новые товары. На основании кривой Гомперца также описывается динамика показателœей уровня жизни; модификации этой кривой используются в демографии для моделирования показателœей смертности и т.д.

Параметры большинства кривых роста͵ как правило, оцениваются по методу наименьших квад­ратов, ᴛ.ᴇ. подбираются таким образом, чтобы график кри­вой роста располагался на минимальном удалении от точек исходных данных.

Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим содержательную интерпретацию. К числу таких моделœей, в первую очередь, относится линœейная модель роста .

Выравнивание временного ряда - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Выравнивание временного ряда" 2017, 2018.

Одним из наиболее распространенных способов моделирования тенденции временного ряда является построение аналитической функции (тренда, либо тренда с циклической или (и) сезонной компонентой) , характеризующей зависимость уровней ряда от времени. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Для решения этой задачи вначале необходимо выбрать вид функции . Наиболее часто используются следующие функции:

· линейная -

· полиномиальная -

· экспоненциальная -

· логистическая -

· Гомперца -

Это весьма ответственный этап исследования. При выборе соответствующей функции используют содержательный анализ (который может установить характер динамики процесса), визуальные наблюдения (на основе графического изображения временного ряда). При выборе полиномиальной функции может быть применен метод последовательных разностей (состоящий в вычислении разностей первого порядка , второго порядка и т.д.), и порядок разностей, при котором они будут примерно одинаковыми, принимается за степень полинома.

Из двух функций предпочтение обычно отдается той, при которой меньше сумма квадратов отклонений фактических данных от расчетных на основе этих функций. Но этот принцип нельзя доводить до абсурда: так, для любого ряда из точек можно подобрать полином -ой степени, проходящей через все точки, и соответственно с минимальной – нулевой – суммой квадратов отклонений, но в этом случае, очевидно, не следует говорить о выделении основной тенденции, учитывая случайный характер этих точек. Поэтому при прочих равных условиях предпочтение следует отдавать более простым функциям.

Параметры основной тенденции можно определить, используя метод наименьших квадратов. При этом, значения временного ряда рассматриваются как зависимая переменная, а время - как объясняющая:

где – возмущения, удовлетворяющие основным предпосылкам регрессионного анализа, т.е. представляющие независимые и одинаково распределенные случайные величины, распределение которых предполагаем нормальным.

Согласно методу наименьших квадратов параметры прямой находятся из системы нормальных уравнений (2.5), в которой в качестве берем :

(7.10)

Учитывая, что значения переменной образуют натуральный ряд чисел от 1 до , суммы можно выразить через число членов ряда по известным в математике формулам:

(7.11)

В рассмотренном примере 2 на странице 79 система нормальных уравнений имеет вид:

,

откуда и уравнение тренда , т.е. спрос ежегодно увеличивается в среднем на 25,7 ед.

Проверим значимость полученного уравнения тренда по F -критерию на 5%-ном уровне значимости вычислим с помощью формулы (3.40) суммы квадратов:

а) обусловленную регрессией –

б) общую –

в) остаточную

Найдем значение статистики:

.

Так как , то уравнение тренда значимо.

Другим методом выравнивания (сглаживания) временного ряда, т.е. выделения неслучайной составляющей, является метод скользящих средних. Он основан на переходе от начальных значений членов ряда к их средним значениям на интервале времени, длина которого определена заранее. При этом сам выбранный интервал времени «скользит» вдоль ряда.

Получаемый таким образом ряд скользящих средних ведет себя более гладко, чем исходный ряд, из-за усреднения отклонений ряда.

Аналитическое выравнивание уровней динамического ряда не дает хороших результатов при прогнозировании, если уровни ряда имеют резкие периодические колебания. В этих случаях для определения тенденции развития явления используется сглаживание динамического ряда методом скользящих средних.

Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития.

Методы сглаживания можно условно разделить на два класса, опирающиеся на различные подходы:

Аналитический подход;

Алгоритмический подход.

Аналитический подход основан на допущении, что исследователь может задать общий вид функции, описывающей регулярную, неслучайную составляющую.

При использовании алгоритмического подхода отказываются от ограничения, свойственного аналитическому. Процедуры этого класса не предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предполагают описание динамики неслучайной составляющей с помощью единой функции, они предоставляют исследователю лишь алгоритм расчета неслучайной составляющей в любой данный момент времени . Методы сглаживания временных рядов с помощью скользящих средних относятся к этому подходу.

Иногда скользящие средние применяют как предварительный этап перед моделированием тренда с помощью процедур, относящихся к аналитическому подходу.

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса и поэтому служат важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующего алгоритма.

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующее среднее значение

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

а скользящая средняя определяется по формуле

,

где − фактические значение -го уровня;

− значение скользящей средней в момент ;

− длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно использовать четырех- и двенадцатичленную скользящую среднюю.

При четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

Тогда для сглаживания колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

,

.

Рассмотрим применение скользящей средней по данным общей площади жилых помещений, приходящихся в среднем на 1 жителя по Хабаровскому краю (таблица 2.1.1).

Поскольку период сглаживания не обосновать, расчеты начинают с 3-членной скользящей средней. Первый сглаженный уровень получим для 1993 г.:

.

Последовательно сдвигая на один год начало периода скольжения, находим сглаженные уровни для последующих лет.

Для 1994 г. скользящая средняя составит

,

для 1995 г. , и т.д.

Так как скользящая средняя относится к середине интервала, за который она рассчитана, то динамический ряд сглаженных уровней сокращается на уровень при нечетном периоде скольжения и на уровней при четном периоде скольжения. Поэтому в нашем примере сглаженный ряд стал короче на два члена для трехчленной средней и на четыре – для пятичленной (таблица 2.1.1).

При расчете по четным скользящим средним (в нашем примере 4-членная скользящая средняя) вычисления производятся следующим образом:

Для 1994 г. ;

1995 г. ;

1996 г. .

Таблица 2.1.1 – Результаты сглаживания по методу скользящих средних

Как видно из таблицы 2.1.1, трехчленная скользящая средняя демонстрирует выравненный динамический ряд с однонаправленной тенденцией движения уровней. Сглаживание по трехчленной скользящей средней дало более сглаженный ряд, так как для трехчленной скользящей средней оказалась меньше сумма квадратов отклонений фактических данных () от сглаженных () ( = 0,179) (таблица 2.1.1). Иными словами, трехчленная скользящая средняя лучше всего представляет закономерность движения уровней динамического ряда.

Министерство образования Российской Федерации

Всероссийский заочный финансово – экономический институт

Ярославский филиал

Кафедра статистики

Курсовая работа

по дисциплине:

«Статистика»

задание № 19

Студент: Курашова Анастасия Юрьевна

Специальность «Финансы и кредит»

3 курс, периферия

Руководитель: Сергеев В.П.

Ярославль, 2002 г.

1. Введение……………………………………………………………3 стр.

2. Теоретическая часть…………………………………………… …4 стр.

2.1 Основные понятия о рядах динамики…………………………...4 стр.

2.2 Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов……………………………………………………………….6 стр.

2.2.1 Методы «механического сглаживания»………………………6 стр.

2.2.2 Методы «аналитического» выравнивания…………………. 8 стр.

3. Расчетная часть……………………………………………… ……11 стр.

4. Аналитическая часть……………………………………………. .16 стр.

5. Заключение ………………………………………………………. 25 стр.

6. Список литературы……………………………………………… 26 стр.

7. Приложения………………………………………………………. 27 стр.

Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Вся информация, имеющая народнохозяйственную значимость, в конечном счете, обрабатывается и анализируется с помощью статистики.

Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.

Овладение статистической методологией - одно из условий познания конъюнктуры рынка, изучения тенденций и прогнозирования, принятия оптимальных решений на всех уровнях деятельности.

Сложной, трудоемкой и ответственной является заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязь между изучаемыми явлениями и процессами.

На всех стадиях исследования статистика использует различные методы. Методы статистики - это особые приемы и способы изучения массовых общественных явлений.

I. Теоретическая часть.

1.1 Основные понятия о рядах динамики.

Ряды динамики – статистические данные, отображающие развитие во времени изучаемого явления. Их также называют динамическими рядами, временными рядами.

В каждом ряду динамики имеется два основных элемента:

1) показатель времени t ;

2) соответствующие им уровни развития изучаемого явления y;

В качестве показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты), либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку (меру) развития во времени изучаемого явления. Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.

Ряды динамики различаются по следующим признакам:

1) По времени. В зависимости от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам. В соответствии с этим ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени. Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников магазина в 1991 году (таб. 1):

Таблица 1

Списочная численность работников магазина в 1991 году

Особенностью моментного ряда динамики является то, что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Хотя и в моментном ряду есть интервалы – промежутки между соседними в ряду датами, -- величина того или иного конкретного уровня не зависит от продолжительности периода между двумя датами. Так, основная часть персонала магазина, составляющая списочную численность на 1.01.1991 , продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов. Поэтому при суммировании уровней моментного ряда может возникнуть повторный счет.

Посредством моментных рядов динамики в торговле изучаются товарные запасы, состояние кадров, количество оборудования и других показателей, отображающих состояние изучаемых явлений на отдельные даты (моменты) времени.

Интервальные ряды динамики отражают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.

Примером интервального ряда могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1987 – 1991 гг. (таб. 2):

Таблица 2

Объем розничного товарооборота магазина в 1987 - 1991 гг.

Каждый уровень интервального ряда уже представляет собой сумму уровней за более короткие промежутки времени. При этом единица совокупности, входящая в состав одного уровня, не входит в состав других уровней.

Особенностью интервального ряда динамики является то, что каждый его уровень складывается из данных за более короткие интервалы (субпериоды) времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а суммируя товарооборот за четыре квартала, получают его величину за год, и т. д. При прочих равных условиях уровень интервального ряда тем больше, чем больше длина интервала, к которому этот уровень относится.

Свойство суммирования уровней за последовательные интервалы времени позволяет получить ряды динамики более укрупненных периодов.

Посредством интервальных рядов динамики в торговле изучают изменения во времени поступления и реализации товаров, суммы издержек обращения и других показателей, отображающих итоги функционирования изучаемого явления за отдельные периоды.

Структура ряда динамики:

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению или снижению его уровней) ;

2) циклические (периодические колебания, в том числе сезонные);

случайные колебания.

1. 2. Методы сглаживания и выравнивания динамических рядов.

Исключение случайных колебаний значений уровней ряда осуществляется с помощью нахождения «усредненных» значений. Способы устранения случайных факторов делятся на две больше группы:

1. Способы «механического» сглаживания колебаний путем усреднения значений ряда относительно других, расположенных рядом, уровней ряда.

2. Способы «аналитического» выравнивания, т. е. определения сначала функционального выражения тенденции ряда, а затем новых, расчетных значений ряда.

1.2. 1 Методы «механического» сглаживания.

Сюда относятся:

а. Метод усреднения по двум половинам ряда, когда ряд делится на две части. Затем, рассчитываются два значения средних уровней ряда, по которым графически определяется тенденция ряда. Очевидно, что такой тренд не достаточно полно отражает основную закономерность развития явления.

б. Метод укрупнения интервалов, при котором производится увеличение протяженности временных промежутков, и рассчитываются новые значения уровней ряда.

в. Метод скользящей средней. Данный метод применяется для характеристики тенденции развития исследуемой статистической совокупности и основан на расчете средних уровней ряда за определенный период. Последовательность определения скользящей средней:

Устанавливается интервал сглаживания или число входящих в него уровней. Если при расчете средней учитываются три уровня, скользящая средняя называется трехчленной, пять уровней – пятичленной и т.д. Если сглаживаются мелкие, беспорядочные колебания уровней в ряду динамики, то интервал (число скользящей средней) увеличивают. Если волны следует сохранить, число членов уменьшают.

Исчисляют первый средний уровень по арифметической простой:

y1 = Sy1/m, где

y1 – I-ый уровень ряда;

m – членность скользящей средней.

Первый уровень отбрасывают, а в исчисление средней включают уровень, следующий за последним уровнем, участвующем в первом расчете. Процесс продолжается до тех пор, пока в расчет y будет включен последний уровень исследуемого ряда динамики y n .

По ряду динамики, построенному из средних уровней, выявляют общую тенденцию развития явления.

Отрицательной стороной использования метода скользящей средней является образование сдвигов в колебаниях уровней ряда, обусловленных «скольжением» интервалов укрупнения. Сглаживание с помощью скользящей средней может привести к появлению «обратных» колебаний, когда выпуклая «волна» заменяется на вогнутую.

В последнее время стала рассчитываться адаптивная скользящая средняя. Ее отличие состоит в том, что среднее значение признака, рассчитываемое также как описано выше, относится не к середине ряда, а к последнему промежутку времени в интервале укрупнения. Причем предполагается, что адаптивная средняя зависит от предыдущего уровня в меньшей степени, чем от текущего. То есть., чем больше промежутков времени между уровнем ряда и средним значением, тем меньшее влияние оказывает значение этого уровня ряда на величину средней.

г. Метод экспоненциальной средней. Экспоненциальная средняя – это адаптивная скользящая средняя, рассчитанная с применением весов, зависящих от степени «удаленности» отдельных уровней ряда от среднего значения. Величина веса убывает по мере удаления уровня по хронологической прямой от среднего значения в соответствии с экспоненциальной функцией, поэтому такая средняя называется экспоненциальной. На практике применяется многократное экспоненциальное сглаживания ряда динамики, которое используется для прогнозирования развития явления.

Вывод: способы, включенные в первую группу, ввиду применяемых методик расчета предоставляют исследователю очень упрощенное, неточное, представление о тенденции в ряду динамики. Однако корректное применение этих способов требует от исследователя глубины знаний о динамике различных социально - экономических явлений.