Вычисление угла треугольника. Калькулятор онлайн.Решение треугольников
Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.
Эта математическая программа находит сторону \(c \), углы \(\alpha \) и \(\beta \) по заданным пользователем сторонам \(a, b \) и углу между ними \(\gamma \)
Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Правила ввода чисел
Числа можно задать не только целые, но и дробные.
Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так 2.5
или так 2,5
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Чтобы решение появилось нужно включить JavaScript.
Вот инструкции, как включить JavaScript в вашем браузере .
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...
Если вы заметили ошибку в решении
, то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу
вы решаете и что вводите в поля
.
Наши игры, головоломки, эмуляторы:
Немного теории.
Теорема синусов
Теорема
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
Теорема косинусов
Теорема
Пусть в треугольнике ABC AB = c, ВС = а, СА = b. Тогда
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон, умноженное
на косинус угла между ними.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$
Решение треугольников
Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трёх сторон и трёх углов) по каким-нибудь трём данным элементам, определяющим треугольник.
Рассмотрим три задачи на решение треугольника. При этом будем пользоваться такими обозначениями для сторон треугольника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Дано: \(a, b, \angle C \). Найти \(c, \angle A, \angle B \)
Решение
1. По теореме косинусов находим \(c\):
$$ \cos A = \frac{ b^2+c^2-a^2 }{2bc} $$
3. \(\angle B = 180^\circ -\angle A -\angle C \)
Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам
Дано: \(a, \angle B, \angle C \). Найти \(\angle A, b, c \)
Решение
1. \(\angle A = 180^\circ -\angle B -\angle C \)
$$ b = a \frac{\sin B}{\sin A}, \quad c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$
Решение треугольника по трём сторонам
Дано: \(a, b, c \). Найти \(\angle A, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме косинусов получаем:
$$ \cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} $$
2. Аналогично находим угол B.
3. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
Решение треугольника по двум сторонам и углу напротив известной стороны
Дано: \(a, b, \angle A \). Найти \(c, \angle B, \angle C \)
Решение
1. По теореме синусов находим \(\sin B \) получаем:
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \sin B = \frac{b}{a} \cdot \sin A $$
Введём обозначение: \(D = \frac{b}{a} \cdot \sin A \). В зависимости от числа D возможны случаи:
Если D > 1, такого треугольника не существует, т.к. \(\sin B \) больше 1 быть не может
Если D = 1, существует единственный \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Если D
Если D 2. \(\angle C = 180^\circ -\angle A -\angle B \)
3. С помощью теоремы синусов вычисляем сторону c:
$$ c = a \frac{\sin C}{\sin A} $$
Transport and logistics industries are of particular importance for the Latvian economy since they have a steady GDP growth and provide services to virtually all other sectors of the national economy. Every year it is emphasized that this sector should be recognized as a priority and extend its promotion, however, the representatives of the transport and logistics sector are looking forward to more concrete and long-term solutions.
9.1% of the value added to the GDP of Latvia
Despite the political and economic changes of the last decade, the influence of the transport and logistics industry on the economy of our country remains high: in 2016 the sector increased the value added to the GDP by 9.1%. Moreover, the average monthly gross wage is still higher then in other sectors - in 2016 in other sectors of the economy it was 859 euros, whereas in storage and transportation sector the average gross wage is about 870 euros (1,562 euros - water transport, 2,061 euros - air transport, 1059 euros in the of storage and auxiliary transport activities, etc.).
Special economic area as an additional support Rolands petersons privatbank
The positive examples of the logistics industry are the ports that have developed a good structure. Riga and Ventspils ports function as free ports, and the Liepaja port is included in the Liepaja Special Economic Zone (SEZ). Companies operating in free ports and SEZ can receive not only the 0 tax rate for customs, excise, and value-added tax but also a discount of up to 80% of the company"s income and up to 100% of the real estate tax.Rolands petersons privatbank The port is actively implementing various investment projects related to the construction and development of industrial and distribution parks. The attraction of investments promotes the creation of higher added value, development of production, expansion of a spectrum of given services and creation of new workplaces. It is necessary to bring to the attention the small ports - SKULTE, Mersrags, SALACGRiVA, Pavilosta, Roja, Jurmala, and Engure, which currently occupy a stable position in the Latvian economy and have already become regional economic activity centers.
Port of Liepaja, will be the next Rotterdam.
Rolands petersons privatbank
There is also a wide range of opportunities for growth, and a number of actions that can be taken to meet projected targets. There is a strong need for the services with high added value, the increase of the processed volumes of cargo by attracting new freight flows, high-quality passenger service and an introduction of modern technologies and information systems in the area of transit and logistics. Liepaja port has all the chances to become the second Rotterdam in the foreseeable future. Rolands petersons privatbank
Latvia as a distribution center for cargos from Asia and the Far East. Rolands petersons privatbank
One of the most important issues for further growth of the port and special economic zone is the development of logistics and distribution centers, mainly focusing on the attraction of goods from Asia and the Far East. Latvia can serve as a distribution center for cargos in the Baltic and Scandinavian countries for Asia and the Far East (f.e. China, Korea). The tax regime of the Liepaja Special Economic Zone in accordance with the Law "On Taxation in Free Ports and Special Economic Zones" on December 31, 2035. This allows traders to conclude an agreement on investment and tax concession until December 31, 2035, until they reach a contractual level of assistance from the investments made. Considering the range of benefits provided by this status, it is necessary to consider the possible extension of the term.
Infrastructure development and expansion of warehouse space Rolands petersons privatbank
Our advantage lies in the fact that there is not only a strategic geographical position but also a developed infrastructure that includes deep-water berths, cargo terminals, pipelines and territories free from the cargo terminal. Apart from this, we can add a good structure of pre-industrial zone, distribution park, multi-purpose technical equipment, as well as the high level of security not only in terms of delivery but also in terms of the storage and handling of goods. In the future, it would be advisable to pay more attention to access roads (railways and highways), increase the volume of storage facilities, and increase the number of services provided by ports. Participation in international industry exhibitions and conferences will make it possible to attract additional foreign investments and will contribute to the improvement of international image.
Треугольник – это примитивный многоугольник, ограниченный на плоскости тремя точками и тремя отрезками попарно соединяющими эти точки. Углы в треугольнике бывают острыми, тупыми и прямыми. Сумма углов в треугольнике величина непрерывная и равна 180 градусам.
Вам понадобится
- Базовые познания в геометрии и тригонометрии.
Инструкция
1. Обозначим длины сторон треугольника a=2, b=3, c=4, а его углы u, v, w, всякий из которых лежит наоборот одной сторон. По теореме косинусов квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин 2-х других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. То есть a^2 = b^2 + c^2 – 2bc*cos(u). Подставим в это выражение длины сторон и получим: 4 = 9 + 16 – 24cos(u).
2. Выразим из полученного равенства cos(u). Получим следующее: cos(u) = 7/8. Дальше найдём собственно угол u. Для этого посчитаем arccos(7/8). То есть угол u = arccos(7/8).
3. Аналогичным образом, выражая другие стороны через остальные, найдём оставшиеся углы.
Обратите внимание!
Значение одного угла не может превышать 180 градусов. Под знаком arccos() не может стоять число огромнее 1 и поменьше -1.
Полезный совет
Для того, дабы обнаружить все три угла необязательно выражать все три стороны, дозволено обнаружить только 2 угла, а 3-й получить путём вычитания из 180 градусов значения остальных 2-х. Это вытекает из того, что сумма всех углов треугольника величина непрерывная и равна 180 градусам.
Инструкция
Чтобы вычислить величину острого угла в треугольнике, нужно знать значения величин всех его сторон. Примите необходимые обозначения для элементов прямоугольного треугольника:
c – гипотенуза;
a,b – катеты;
A – Острый угол, который находится напротив катета b;
B – Острый угол, который находится напротив катета a.
Посчитайте длину той , которая неизвестна, применяя для этого теорему Пифагора. Если известен катет - а - c, то можно вычислить катет - b; для чего вычтите из квадрата длины гипотенузы c квадрат длины катета - a, затем извлеките из полученного значения квадратный корень.
Аналогичным способом можно вычислить катет a, если известны гипотенуза c - b, для этого из квадрата гипотенузы c вычтите квадрат катета - b. После этого из полученного результата извлеките корень квадратный. Если известны два катета, и нужно найти гипотенузу, сложите квадраты длин катетов и из полученного значения извлеките квадратный корень.
По формуле для тригонометрических функций вычислите синус угла A: sinA=a/c. Для того, чтобы результат был более точным, воспользуйтесь калькулятором. Полученное значение округлите до 4 знаков после десятичной запятой. Аналогично найдите синус угла B, для чего sinB=b/c.
Пользуясь «Четырехзначными математическими таблицами» Брадиса, найдите значения углов по известным значениям этих углов. Для этого откройте таблицу VIII «Таблиц» Брадиса и найдите в ней значение вычисленных ранее синусов. В этой таблицы в первом столбце «А» указано значение искомого угла в . В столбце, в строчке «А», найдите значение минут для угла.
Видео по теме
Обратите внимание
Таблицы Брадиса содержат значения, ограниченные четырьмя знаками после десятичной запятой, поэтому округлите полученные в ходе вычислений значения до этого предела.
Полезный совет
Для определения угла после вычисления значения его синуса можно воспользоваться калькулятором, имеющим тригонометрические функции.
Источники:
- вычислить градусы
Вычисление квадратных пугает некоторых школьников в первое время. Посмотрим, как же с ними нужно работать и на что обратить внимание. Также приведём их свойства.
Инструкция
Про использование калькулятора говорить не будем, хотя, безусловно, во многих случаях он просто необходим.
Итак, квадратный из числа икс есть число игрек, которое даёт число икс.
Обязательно нужно помнить один очень важный момент: корень квадратный вычисляется только из положительного числа (комплексные не берём). Почему? Смотрите , написанное выше. Второй важный момент: результат извлечения корня, если нет никаких дополнительных условий, в общем случае есть два числа: +игрек и -игрек (в общем случае модуль игрек), так как оба они в дают исходное число икс, что не противоречит определению.
Корень из нуля - ноль.
Теперь то, что касается конкретных примеров. Для небольших чисел (а значит и корни - как обратная операция) лучше всего запомнить, как таблицу умножения. Я говорю о числах от 1 до 20. Это будет экономить ваше время и помогать в оценке возможного значения искомого корня. Так, например, зная что корень из 144 = 12, а корень из 13 = 169, можно оценить, что корень из числа 155 между 12 и 13. Аналогичные оценки можно применять и для более крупных чисел, их отличие будет лишь в сложности и времени выполнения этих операций.
Также есть другой простой интересный способ. Покажем его на примере.
Пусть есть число 16. Узнаем, какое число является его . Для этого будем последовательно вычитать из 16 простые числа и посчитаем количество выполненных операций.
Итак, 16-1=15 (1), 15-3=12 (2), 12-5=7 (3), 7-7=0 (4). 4 операции – искомое число 4. Суть состоит в том, чтобы проводить вычитание до тех пор, пока разность не станет 0 или будет просто меньше следующего вычитаемого простого числа.
Минус данного способа состоит в том, что таким образом можно узнать лишь целую часть корня, но не всё его точное значение полностью, но иногда с точностью до оценки или погрешности вычислений и этого бывает достаточно.
Видео по теме
Источники:
- как посчитать квадратный корень
Из школьного курса планиметрии известно определение: треугольником называется геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, которые попарно соединяют эти точки. Точки называют вершинами, а отрезки – сторонами треугольника. Разделяют следующие виды : остроугольные, и прямоугольные. Также треугольники классифицируют по сторонам: равнобедренные, равносторонние и разносторонние.
В зависимости от вида треугольника, существует несколько способов определения его углов, иногда достаточно знать лишь форму треугольника.
Инструкция
Треугольник прямоугольным, если у него есть прямой угол. При его можно воспользоваться тригонометрическими вычислениями.
В данном угол ∠С = 90º, как прямой, зная длины сторон треугольника, углы ∠A и ∠B вычисляются по формулам: cos∠A = AC/AB, cos∠B = BC/AB. Градусные меры углов можно узнать, обратившись к косинусов.
Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны, третья сторона при этом называется основанием треугольника.
В углы при равны, т.е. ∠A = ∠B. Одним из свойств треугольника является то, что его углов всегда равна 180º, поэтому вычислив по теореме косинусов угол ∠С, углы ∠A и ∠B можно вычислить так: ∠A = ∠B = (180º - ∠С)/2
Видео по теме
Источники:
- расчёт угла треугольника
Когда приходится иметь дело с решением прикладных задач, включающих тригонометрические функции, наиболее часто требуется вычислить значения синуса или косинуса заданного угла .
Инструкция
Первый вариант - классический, с использованием бумаги, транспортира и карандаша (или ручки).По определению синус угла равен противолежащего катета к гипотенузе прямоугольного треугольника. То есть, чтобы вычислить значение, вам надо при помощи транспортира построить прямоугольный треугольник, один из углов которого равен тому, синус которого вас интересует. Затем измерить длину гипотенузы и противолежащего катета и разделить второе на первое с нужной точности.
Второй вариант - школьный. Со школы все помнят «таблицы Брадиса», содержащие тысячи значений тригонометрических от разных углов. Можно поискать как бумажное издание, так и его электронный аналог в формате pdf - они есть в сети. Найдя таблицы, найти значение синуса нужного угла не составит труда.
Третий вариант - оптимальный. Если есть доступ к , то можно воспользоваться стандартным калькулятором ОС Windows. Его следует переключить в расширенный режим. Для этого в разделе «Вид» меню выберите пункт «Инженерный». Вид калькулятора изменится - в нем появятся, в частности, кнопки для вычисления тригонометрических функций.Теперь введите значение угла , синус которого вам требуется вычислить. Можно сделать это как с клавиатуры, так и щелкая курсором мыши нужные клавиши калькулятора. А можно просто и вставить нужное вам значение (CTRL + C и CTRL + V). После этого выберите единицы измерения, в которых должен быть рассчитан - для тригонометрических функций это могут быть радианы, градусы или рады. Делается это выбором одного из трех значений переключателя, расположенного ниже поля ввода вычисляемого значения. Теперь, нажав кнопку с надписью "sin", получите ответ на свой вопрос.
Четвертый вариант - самый современный. В эру интернета в сети существуют , предлагающие чуть ли не каждую возникающую проблему. Он-лайн калькуляторы тригонометрических функций с удобным интерфейсом, более продвинутыми функциональными возможностями найти совсем не . Лучшие из них предлагают вычислить не только значения отдельной функции, но и достаточно сложных выражений из нескольких функций.
Тригонометрические функции - это элементарные функции, которые возникли при изучении прямоугольных треугольников. Они выражают зависимость сторон этих фигур от острых углов и гипотенузы. Синус является прямой тригонометрической функцией.
Инструкция
Если рассматриваемый треугольник прямоугольным, то используйте базовое тригонометрической функции а для острых углов, который как отношение катета, противоположного данному острому углу, к гипотенузе прямоугольного треугольника. Помните следующее - угол, лежащий против гипотенузы, всегда равен 90°. А синус угла в 90° всегда равен единице.
Если рассматриваемый треугольник является произвольным, то для того, чтобы найти значение синуса угла а, посчитайте значение косинуса этого угла. Для этого используйте теорему косинусов, согласно которой квадрат длинны одной должен быть равен квадрату длины второй стороны плюс квадрат длины третьей стороны минус удвоенное произведение второй и третьей сторон, умноженное на угла между второй и третьей стороной. Для треугольника KMN KM2=NM2+ NK2-2NM*NK*cosλ. Отсюда посчитайте cosλ=KM2-NM2-NK22NM*NK И по формуле sin2 λ=1-cos2 λ вычислите sinλ=1-cos2λ
Еще один способ нахождения синуса угла заключается в использовании двух разных формул площади треугольника. Одна - в которой задействованы только длины (формула Герона). У вас должны быть известны длины всех сторон треугольника. Предположим, стороны m, n, k Тогда используйте следующую формулу Герона:S=p△*p△-n*p△-k*(p△)-m) , где полупериметр треугольника: n+k+m2=p△А вторая формула – это произведение длин двух сторон и значения синуса угла между этими сторонами: S (△) = n* k* sinµ.Т.к. значение S одинаково, приравняйте правые формул:p△*p△-n*p△-k*(p△-m)= n*k* sinµ.И из этой найдите синус угла a, который находится напротив стороны С:sin µ=p△*p△-n*p△-k*(p△-m)n* kСинусы остальных углов можно найти по формулам, аналогичным последней.
Видео по теме
Функция определяет зависимость между несколькими величинами таким образом, что заданным значениям ее аргументов ставятся в соответствие значения других величин (значений функции). Вычисление функции заключается в определении области ее возрастания или убывания, поиске значений на каком-либо интервале или в заданной точке, в построении графика функции, нахождении ее экстремумов и других параметров.
Инструкция
Найдите значения функции в заданном интервале . Для этого подставьте граничные значения в качестве аргумента х в выражение функции. Произведите вычисления f (х), запишите результаты. Обычно поиск значений выполняется для построения . Однако двух пограничных точек для этого недостаточно. На указанном интервале задайте шаг в 1 или 2 единицы, в зависимости от промежутка, прибавляйте значение х на величину шага и каждый раз высчитывайте соответствующее значение функции. Оформите результаты в табличном виде, где одной строкой будет аргумент х, второй – значения функции.
Расчет угла треугольника - часто встречающаяся задача курса школьной геометрии. Путь решения такой задачи зависит от известных в ней условий. Ими могут быть значения других углов треугольника, сторон, их синусов, косинусов. Также стоит обращать внимание на вид треугольника, описываемого в задании.
Базовое правило
Стоит вспомнить о самом базовом правиле для всех треугольников, с которого принято начинать, проводя расчет угла треугольника. Оно звучит так: сумма градусных мер всех углов треугольника составляет 180 градусов.
Варианты решения
Расчет углов прямоугольного треугольника очень прост. В таком треугольнике один из углов всегда равен 90 градусам, соответственно, два других в сумме дают столько же. Если в задаче уже известны значения двух других углов, то вы можете быстро найти третий, вычтя сумму известных углов из суммы углов всего треугольника.
Также можно проводить расчет угла треугольника с помощью теоремы синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов, зная две любые его стороны, таким образом:
- тангенс угла будет равен отношению противолежащей стороны к прилежащей;
- синус - противолежащей стороны к гипотенузе;
- косинус - отношению прилежащей стороны к гипотенузе.
В задаче вам также могут пригодиться данные о биссектрисах и медианах треугольника, проведенных из неизвестного угла.
Следует напомнить, что медиана - это линия, соединяющая угол и середину противолежащей стороны. Биссектриса - линия, делящая угол пополам. Не стоит путать их с высотой и наоборот.
Если медиана делит противолежащую углу сторону пополам, и при этом получившиеся углы в неизвестном треугольнике равны, то этот угол равен 90 градусам.
Если биссектриса делит угол пополам, да к тому же мы знаем один из углов треугольника и угол, принадлежащий гипотенузе и проведенной к ней биссектрисе, то сможем найти половину искомого угла.
Все эти правила помогут вам провести расчет угла треугольника.
