Вычисление определенных интегралов по формуле симпсона. Метод трапеций

Возникает задача о численном вычислении определенного интеграла, решаемая с помощью формул, носящих название квадратурных.

Напомним простейшие формулы численного интегрирования.

Вычислим приближенное численное значение . Интервал интегрирования [а, b] разобьем на п равных частей точками деления
, называемыми узлами квадратурной формулы. Пусть в узлах известны значения
:

Величина

называется интервалом интегрирования или шагом. Отметим, что в практике -вычислений число я выбирают небольшим, обычно оно не больше 10-20.На частичном интервале

подынтегральную функцию заменяют интерполяционным многочленом

который на рассматриваемом интервале приближенно представляет функцию f (х).

а) Удержим в интерполяционном многочлене только один первый член, тогда

Полученная квадратная формула

называется формулой прямоугольников.

б) Удержим в интерполяционном многочлене два первых члена, тогда

(2)

Формула (2) называется формулой трапеций.

в) Интервал интегрирования
разобьем на четное число 2n равных частей, при этом шаг интегрирования h будет равен. На интервале
длиной 2h подынтегральную функцию заменим интерполяционным многочленом второй степени, т. е. удержим в многочлене три первых члена:

Полученная квадратурная формула называется формулой Симпсона

(3)

Формулы (1), (2) и (3) имеют простой геометрический смысл. В формуле прямоугольников подынтегральная функция f(х) на интервале
заменяется отрезком прямой у = ук, параллельной оси абсцисс, а в формуле трапеций - отрезком прямой
и вычисляется соответственно площадь прямоугольника и прямолинейной трапеции, которые затем суммируются. В формуле Симпсона функция f(х) на интервале
длиной 2h заменяется квадратным трехчленом - параболой
вычисляется площадь криволинейной параболической трапеции, затем площади суммируются.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В завершении работы, хочется отметить ряд особенностей применения рассмотренных выше методов. Каждый способ приближённого решения определённого интеграла имеет свои преимущества и недостатки, в зависимости от поставленной задачи следует использовать конкретные методы.

Метод замены переменных является одним из основных методов вычисления неопределенных интегралов. Даже в тех случаях, когда мы интегрируем каким-либо другим методом, нам часто приходится в промежуточных вычислениях прибегать к замене переменных. Успех интегрирования зависит в значительной степени от того, сумеем ли мы подобрать такую удачную замену переменных, которая упростила бы данный интеграл.

По существу говоря изучение методов интегрирования сводится к выяснению того, какую надо сделать замену переменной при том или ином виде подынтегрального выражения.

Таким образом, интегрирование всякой рациональной дроби сводится к интегрированию многочлена и нескольких простейших дробей.

Интеграл от любой рациональной функции может быть выражен через элементарные функции в конечном виде, а именно:

через логарифмы- в случаях простейших дробей 1 типа;

через рациональные функции- в случае простейших дробей 2 типа

через логарифмы и арктангенсы- в случае простейших дробей 3 типа

через рациональные функции и арктангенсы- в случае простейших дробей 4 типа. Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.

Формула Ньютона – Лейбница представляет собой общий подход к нахождению определенных интегралов.

Что касается приемов вычисления определенных интегралов, то они практически ничем не отличаются от всех тех приемов и методов.

Точно так же применяются методы подстановки (замены переменной), метод интегрирования по частям, те же приемы нахождения первообразных для тригонометрических, иррациональных и трансцендентных функций. Особенностью является только то, что при применении этих приемов надо распространять преобразование не только на подинтегральную функцию, но и на пределы интегрирования. Заменяя переменную интегрирования, не забыть изменить соответственно пределы интегрирования.

Как следует из теоремы, условие непрерывности функции является достаточным условием интегрируемости функции. Но это не означает, что определенный интеграл существует только для непрерывных функций. Класс интегрируемых функций гораздо шире. Так, например, существует определенный интеграл от функций, имеющих конечное число точек разрыва.

Вычисление определенного интеграла от непрерывной функции с помощью формулы Ньютона-Лейбница сводится к нахождению первообразной, которая всегда существует, но не всегда является элементарной функцией или функцией, для которой составлены таблицы, дающие возможность получить значение интеграла. В многочисленных приложениях интегрируемая функция задается таблично и формула Ньютона - Лейбница непосредственно неприменима.

Если необходимо получить наиболее точный результат, идеально подходит метод Симпсона .

Из выше изученного можно сделать следующий вывод, что интеграл используется в таких науках как физика, геометрия, математика и других науках. При помощи интеграла вычисляют работу силы, находят координаты центр масс, путь пройденный материальной точкой. В геометрии используется для вычисления объема тела, нахождение длины дуги кривой и др.

В этом методе предлагается подынтегральную функцию на частичном отрезке аппроксимировать параболой, проходящей через точки
(x j , f (x j )), где j = i -1; i -0.5; i , то есть подынтегральную функцию аппроксимируем интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:

(10.14)

Проведя интегрирование, получим:

(10.15)

Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На отрезке
[a, b ] формула Симпсона примет вид

(10.16)

Графическое представление метода Симпсона показано на рис. 2.4.

Рис. 10.4. Метод Симпсона

Избавимся в выражении (2.16) от дробных индексов, переобозначив переменные:

(10.17)

Тогда формула Симпсона примет вид

(10.18)

Погрешность формулы (2.18) оценивается следующим выражением:

, (10.19)

где h·n = b - a , . Таким образом, погрешность формулы Симпсона пропорциональна O (h 4 ).

Замечание. Следует отметить, что в формуле Симпсона отрезок интегрирования обязательно разбивается на четное число интервалов.

10.5. Вычисление определенных интегралов методами
Монте–Карло

Рассматриваемые ранее методы называются детерминированными , то есть лишенными элемента случайности.

Методы Монте–Карло (ММК) – это численные методы решения математических задач с помощью моделирования случайных величин. ММК позволяют успешно решать математические задачи, обусловленные вероятностными процессами. Более того, при решении задач, не связанных с какими-либо вероятностями, можно искусственно придумать вероятностную модель (и даже не одну), позволяющую решать эти задачи. Рассмотрим вычисление определенного интеграла

(10.20)

При вычислении этого интеграла по формуле прямоугольников интервал [a, b ] разбиваем на N одинаковых интервалов, в серединах которых вычислялись значения подынтегральной функции. Вычисляя значения функции в случайных узлах, можно получить более точный результат:

(10.21)

(10.22)

Здесь γ i - случайное число, равномерно распределенное на интервале
. Погрешность вычисления интеграла ММК ~ , что значительно больше, чем у ранее изученных детерминированных методов.

На рис. 2.5 представлена графическая реализация метода Монте-Карло вычисления однократного интеграла со случайными узлами (2.21) и (2.22).

(2.23)

Рис. 10.6. Интегрирование методом Монте-Карло (2-й случай)

Как видно на рис. 2.6, интегральная кривая лежит в единичном квадрате, и если мы сумеем получать пары случайных чисел, равномерно распределенных на интервале , то полученные значения (γ 1, γ 2) можно интерпретировать как координаты точки в единичном квадрате. Тогда, если этих пар чисел получено достаточно много, можно приблизительно считать, что
. Здесь S – число пар точек, попавших под кривую, а N – общее число пар чисел.

Пример 2.1. Вычислить следующий интеграл:

Поставленная задача была решена различными методами. Полученные результаты сведены в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Замечание. Выбор табличного интеграла позволил нам сравнить погрешность каждого метода и выяснить влияние числа разбиений на точность вычислений.

11 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ
И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Навигация по странице.

Метод парабол (Симпсона) - суть метода, формула, оценка погрешности, иллюстрация.

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и нам требуется вычислить определенный интеграл .

Разобьем отрезок на n элементарных отрезков длины точками . Пусть точки являются серединами отрезков соответственно. В этом случае все "узлы" определяются из равенства .

Суть метода парабол.

На каждом интервале подынтегральная функция приближается квадратичной параболой , проходящей через точки . Отсюда и название метода - метод парабол.

Это делается для того, чтобы в качестве приближенного значения определенного интеграла взять , который мы можем вычислить по формуле Ньютона-Лейбница. В этом и заключается суть метода парабол .

Геометрически это выглядит так:

Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона).

Красной линией изображен график функции y=f(x) , синей линией показано приближение графика функции y=f(x) квадратичными параболами на каждом элементарном отрезке разбиения.

Вывод формулы метода Симпсона (парабол).

В силу пятого свойства определенного интеграла имеем .

Для получения формулы метода парабол (Симпсона) нам осталось вычислить .

Пусть (мы всегда можем к этому прийти, проведя соответствующее геометрическое преобразования сдвига для любого i = 1, 2, ..., n ).

Сделаем чертеж.

Покажем, что через точки проходит только одна квадратичная парабола . Другими словами, докажем, что коэффициенты определяются единственным образом.

Так как - точки параболы, то справедливо каждое из уравнений системы

Записанная система уравнений есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных переменных . Определителем основной матрицы этой системы уравнений является определитель Вандермонда , а он отличен от нуля для несовпадающих точек . Это указывает на то, что система уравнений имеет единственное решение (об этом говорится в статье ), то есть, коэффициенты определяются единственным образом, и через точки проходит единственная квадратичная парабола.

Перейдем к нахождению интеграла .

Очевидно:

Используем эти равенства, чтобы осуществить последний переход в следующей цепочке равенств:

Таким образом, можно получить формулу метода парабол:

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид
.

Оценка абсолютной погрешности метода Симпсона.

Абсолютная погрешность метода Симпсона оценивается как .

Примеры приближенного вычисления определенных интегралов методом Симпсона (парабол).

Разберем применение метода Симпсона (парабол) при приближенном вычислении определенных интегралов.

Обычно встречается два типа заданий:

Возникает логичный вопрос: "С какой степенью точности проводить промежуточные вычисления"?

Ответ прост - точность промежуточных вычислений должна быть достаточной. Промежуточные вычисления следует проводить с точностью на 3-4 порядка выше, чем порядок . Также точность промежуточных вычислений зависит от числа n - чем больше n , тем точнее следует проводить промежуточные вычисления.

Пример.

Вычислите определенный интеграл методом Симпсона, разбив отрезок интегрирования на 5 частей.

Решение.

Из условия мы знаем, что a = 0; b = 5; n = 5 ; .

Формула метода Симпсона (парабол) имеет вид . Для ее применения нам требуется вычислить шаг , определить узлы и вычислить соответствующие значения подынтегральной функции .

Промежуточные вычисления будем проводить с точностью до четырех знаков (округлять на пятом знаке).

Итак, вычисляем шаг .

Переходим к узлам и значениям функции в них:

Для наглядности и удобства результаты сведем в таблицу:

Подставляем полученные результаты в формулу метода парабол:

Мы специально взяли определенный интеграл, который можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, чтобы сравнить результаты.

Результаты совпадают с точностью до сотых.

Пример.

Вычислите определенный интеграл методом Симпсона с точностью до 0.001 .

Решение.

В нашем примере a = 0 , .

Первым делом нам нужно определить n . Для этого обратимся к неравенству для оценки абсолютной погрешности метода Симпсона . Можно сказать, что если мы найдем n , для которого будет выполняться неравенство , то при использовании метода парабол для вычисления исходного определенного интеграла абсолютная погрешность не превысит 0.001 . Последнее неравенство можно переписать в виде .

Выясним, какое наибольшее значение принимает модуль четвертой производной подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

есть интервал , а отрезок интегрирования содержит точки экстремума, поэтому .

Подставляем найденное значение в неравенство и решим его:

Так как n является натуральным числом (это же количество отрезков, на которые разбивается отрезок интегрирования), то можно брать n = 5, 6, 7, … Чтобы не делать лишних вычислений, возьмем n = 5 .

Теперь действуем как в предыдущем примере. В промежуточных вычислениях округление будем проводить на шестом порядке.

Вычисляем шаг .

Находим узлы и значения подынтегральной функции в них:

Результаты вычислений объединяем в таблицу:

Подставляем значения в формулу метода парабол:

Таким образом, по методу Симпсона получено приближенное значение определенного интеграла с точностью до 0.001 .

Действительно, вычислив исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, получаем

Замечание.

Нахождение во многих случаях затруднительно. Можно обойтись без этого, применив альтернативный подход к использованию метода парабол. Его принцип описан в разделе метод трапеций , так что не будем повторяться.

Какой же метод применять при численном интегрировании?

Точность метода Симпсона (парабол) выше точности метода прямоугольников и трапеций для заданного n (это видно из оценки абсолютной погрешности), так что его использование предпочтительнее.

Следует помнить о влиянии вычислительной погрешности на результат при больших n , что может отдалить приближенное значение от точного.

Суть метода Симпсона заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени p2(x), т.е. приближение графика функции на отрезке параболой. Для интерполирования подынтегральной функции используются три точки.

Рассмотрим произвольный интеграл. Воспользуемся заменой переменной таким образом, чтобы границы отрезка интегрирования вместо стали [-1,1]. Для этого введем переменную z:

Рассмотрим задачу интерполирования подынтегральной функции, используя в качестве узлов три равноудаленные узловые точки z = -1, z = 0, z = +1 (шаг равен 1, длина отрезка интегрирования равна 2). Обозначим соответствующие значения подынтегральной функции в узлах интерполяции:

Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома, проходящего через три точки (-1, f-1), (0, f0) и(1, f-+1) примет вид:

Коэффициенты легко могут быть получены:

Вычислим теперь значение интеграла от интерполяционного многочлена:

Путем обратной замены переменной вернемся к исходному интегралу. Учтем, что:

соответствует

Получим формулу Симпсона для произвольного интервала интегрирования:

Полученное значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x = x0, x = x2 и параболой, проходящей через точки

При необходимости, исходный отрезок интегрирования может быть разбит на N сдвоенных отрезков, к каждому из которых применяется формула Симпсона. Шаг интерполирования при этом составит:

Для первого отрезка интегрирования узлами интерполирования будут являться точки a, a+h, a+2h, для второго a+2h, a+3h, a+4h, третьего a+4h, a+5h, a+6h и т.д. Приближенное значение интеграла получается суммированием N площадей:

интегрирование численный метод симпсон

В данную сумму входят одинаковые слагаемые (для внутренних узлов с четным значением индекса - 2i). Поэтому можно перегруппировать слагаемые в этой сумме таким образом:

Приняв во внимание то, что получаем:

Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у функции на отрезкесуществуют непрерывные производные. Составим разность:

Применяя к этой разнице последовательно теорему о среднем и дифференцируя R(h) получаем погрешность метода Симпсона:

Погрешность метода уменьшается пропорционально длине шага интегрирования в четвертой степени, т.е. при увеличении числа интервалов вдвое ошибка уменьшается в 16 раз.

Преимущества и недостатки

Формулы Симпсона и Ньютона-Котеса являются хорошим аппаратом для вычисления определенного интеграла достаточное число раз непрерывно дифференцируемой функции. Так, при условии, что четвертая производная не слишком велика, метод Симпсона позволяет получить достаточно высокую точность. В то же время, ее алгебраический порядок точности 3, и формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей.

Также методы Ньютона-Котеса и в частности метод Симпсона будут наиболее эффективными в случаях, когда априорная информация о гладкости подынтегральной функции отсутствует, т.е. когда подынтегральная функция задана таблично.

Разобьем отрезок интегрирования [а , b ] на четное число n равных частей с шагом h . На каждом отрезке [х 0, х 2], [х 2, х 4],..., [x i-1, x i+1],..., [x n-2, x n] подынтегральную функцию f (х ) заменим интерполяционным многочленом второй степени:

Коэффициенты этих квадратных трехчленов можно найти из условий равенства многочлена в точках соответствующим табличным данным . В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, проходящий через точки :

Сумму элементарных площадей и (рис. 3.3) можно вычислить с помощью определенного интеграла. Учитывая равенства получаем

Рис. 3.3. Иллюстрация к методу Симпсона

Проведя такие вычисления для каждого элементарного отрезка , просуммируем полученные выражения:

Данное выражение для S принимается в качестве значения определенного интеграла:

(3.35)

Полученное соотношение называется формулой Симпсона или формулой парабол .

Эту формулу можно получить и другими способами, например двукратным применением метода трапеций при разбиениях отрезка [а , b ] на части с шагами h и 2h или комбинированием формул прямоугольников и трапеций (см. разд. 3.2.6).

Иногда формулу Симпсона записывают с применением полуцелых индексов. В этом случае число отрезков разбиения п произвольно (не обязательно четно), и формула Симпсона имеет вид

(3.36)

Легко видеть, что формула (3.36) совпадет с (3.35), если формулу (3.35) применить для числа отрезков разбиения 2n и шага h /2.

Пример . Вычислить по методу Симпсона интеграл

Значения функции при n = 10, h = 0.1 приведены в табл. 3.3. Применяя формулу (3.35), находим

Результат численного интегрирования с использованием метода Симпсона оказался совпадающим с точным значением (шесть значащих цифр).

Один из возможных алгоритмов вычисления определенного интеграла по методу Симпсона показан на рис. 3.4. В качестве исходных данных задаются границы отрезка интегрирования [а , b ],погрешность ε, а также формула для вычисления значений подынтегральной функции у = f (x ) .

Рис. 3.4. Алгоритм метода Симпсона

Первоначально отрезок разбивается на две части с шагом h =(b - a)/2. Вычисляется значение интеграла I 1. Потом число шагов удваивается, вычисляется значение I 2 с шагом h /2. Условие окончание счета принимается в виде . Если это условие не выполнено, происходит новое деление шага пополам и т.д.

Отметим, что представленный на рис. 3.4 алгоритм не является оптимальным: при вычислении каждого приближения I 2 не используются значения функции f (x ), уже найденные на предыдущем этапе. Более экономичные алгоритмы будут рассмотрены в разд. 3.2.7.