Время ожидания в очередях. Основная модель расчета среднего времени ожидания

1. Интенсивность нагрузки .
ρ = λ t обс = 120 1/60 = 2
Интенсивность нагрузки ρ=2 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.
3. Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 12% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t пр = 7.1 мин.
Вероятность того, что обслуживанием:
занят 1 канал:
p 1 = ρ 1 /1! p 0 = 2 1 /1! 0.12 = 0.24
заняты 2 канала:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2 /2! 0.12 = 0.24
заняты 3 канала:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0.12 = 0.16
4. Доля заявок, получивших отказ .

Значит, 3% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.
5. Вероятность обслуживания поступающих заявок .
В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:
p отк + p обс = 1
Относительная пропускная способность: Q = p обс.
p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0311 = 0.97
Следовательно, 97% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 90%.
6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием .
n з = ρ p обс = 2 0.97 = 1.9 каналов
Среднее число простаивающих каналов .
n пр = n - n з = 3 - 1.9 = 1.1 каналов
7. Коэффициент занятости каналов обслуживанием .

Следовательно, система на 60% занята обслуживанием.
8. Абсолютная пропускная способность .
A = p обс λ = 0.97 120 = 116.3 заявок/час.
.
t пр = p отк t обс = 0.0311 0.0166 = 0 час.
10. Среднее число заявок, находящихся в очереди .

ед.
(среднее время ожидания обслуживания заявки в очереди).
час.
12. Среднее число обслуживаемых заявок .
L обс = ρ Q = 2 0.97 = 1.94 ед.
13. Среднее число заявок в системе .
L CMO = L оч + L обс = 0.51 + 1.94 = 2.45 ед.
13. Среднее время пребывания заявки в СМО .
час.
Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ p 1 = 4 заявок в час.
Номинальная производительность СМО: 3 / 0.0166 = 181 заявок в час.
Фактическая производительность СМО: 116.3 / 181 = 64% от номинальной производительности.

1. Одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди. На практике довольно часто встречаются одноканальные СМО с очередью (врач, обслуживающий пациентов; кассир, выдающий зарплату). В теории массового обслуживания одноканальные СМО с очередью также занимают особое место: именно к таким СМО относится большинство полученных до сих пор аналитических формул для немарковских систем.

Рассмотрим одноканальную СМО, на вход которой поступает простейший поток заявок с интенсивностью λ . Предположим, что поток обслуживаний также простейший с интенсивностью μ . Это означает, что непрерывно занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени. Заявка, поступившая в СМО в момент, когда канал занят, в отличие от СМО с отказами, не покидает систему, а становится в очередь и ожидает обслуживания.

Далее предполагаем, что в данной системе имеется ограничение на длину очереди, под которой понимается максимальное число мест в очереди, а именно, предполагаем, что в очереди могут находиться максимум m ≥1 заявок. Поэтому заявка, пришедшая на вход СМО, в момент, когда в очереди уже стоят m заявок, получает отказ и покидает систему необслуженной.

Таким образом, рассматриваемая СМО относится к системам смешанного типа с ограничением на длину очереди.

Пронумеруем состояния СМО по числу заявок, находящихся в системе, т.е. под обслуживанием и в очереди:

S 0 – канал свободен (следовательно, очереди нет);

S 1 – канал занят и очереди нет, т.е. в СМО находится (под обслуживанием) одна заявка;

S 2 – канал занят и в очереди стоит одна заявка;

……………………………………………………..

S m +1 – канал занят и в очереди m заявок.

Граф состояний данной СМО представлен на рис. 6 и совпадает с графом, описывающим процесс гибели и размножения, с тем отличием, что при наличии только одного канала обслуживания все интенсивности потоков обслуживаний равны μ .

Рис. 6. Схема состояний в одноканальной системе с очередью

Для описания предельного режима работы СМО можно воспользоваться изложенными правилами и формулами. Запишем сразу выражения, определяющие предельные вероятности состояний:

где ρ = λ/μ – интенсивность нагрузки канала.

Если λ = μ , то получаем .

Пусть теперь
. Выражение дляp 0 можно в данном случае записать проще, пользуясь тем, что в знаменателе стоит сумма m + 2 членов геометрической прогрессии со знаменателем ρ :

.

Заметим, что при m = 0 мы переходим к уже рассмотренной одноканальной СМО с отказами. В этом случае .

Определим основные характеристики одноканальной СМО с ожиданием: относительную и абсолютную пропускные способности, вероятность отказа, а также среднюю длину очереди и среднее время ожидания заявки в очереди.

Поступившая на вход СМО заявка получает отказ тогда и только тогда, когда канал занят и в очереди ожидают m заявок, т.е. когда система находится в состоянии S m +1 . Поэтому вероятность отказа определяется вероятностью появления состояния S m +1 :

Относительная пропускная способность, или доля обслуживаемых заявок, поступающих в единицу времени, определяется выражением:

Заметим, что относительная пропускная способность Q совпадает со средней долей принятых (т.е. не получивших отказ) в систему заявок среди всех поступивших, поскольку заявка, попавшая в очередь, непременно будет обслужена.

Абсолютная пропускная способность системы

.

Среднее число заявок L оч , стоящих в очереди на обслуживание, определяется как математическое ожидание дискретной случайной величины k – числа заявок, стоящих в очереди:

.

Случайная величина k принимает значения 0, 1, 2, … , m , вероятности которых определяются вероятностями состояний системы p k . Таким образом, закон распределения дискретной случайной величины k имеет следующий вид:

Поэтому по определению математического ожидания дискретной случайной величины (с учетом формул для вероятностей состояний) получаем:

(16)

Предположим, что ρ ≠ 1 . Очевидно, имеем:

Но сумма представляет собой сумму первых m членов геометрической прогрессии

. (17)

Подставив выражение (17) в (16), найдем:

или, используя равенство
(полученное приρ ≠ 1 ), имеем

Если же ρ = 1 , то из равенства (16)
а учитывая, что в этом случае
и
(суммаm членов арифметической прогрессии), окончательно получаем

.

Тогда среднее число заявок в очереди

(18)

Важной характеристикой СМО с ожиданием является среднее время ожидания заявки в очереди
. Пусть T оч – непрерывная случайная величина, представляющая собой время ожидания заявки в очереди. Среднее время ожидания заявки в очереди вычислим как математическое ожидание этой случайной величины:

.

Для вычисления математического ожидания воспользуемся формулой полного математического ожидания: если об условиях опыта можно сделать n (попарно) несовместных гипотез
то полное математическое ожидание случайной величиныX может быть вычислено по формуле

где M (X | H k ) – условное математическое ожидание величины X при гипотезе H k .

Рассмотрим m + 2 несовместных гипотез H k , k = 0,1,..., m + 1 , состоящих в том, что СМО находится соответственно в состояниях S k , k = 0,1,..., m + 1 . Вероятности этих гипотез p (H k ) = p k , k = 0,1,..., m +1 .

Если заявка поступает в СМО при гипотезе H 0 S 0 , в котором канал свободен, то заявке не придется стоять в очереди и, следовательно, условное математическое ожидание M (
| H 0 ) случайной величины
при гипотезе H 0 ,совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе H 0 , равно нулю.

Для заявки, поступившей в СМО при гипотезе H 1 , т.е. когда СМО находится в состоянии S 1 , в котором канал занят, но очереди нет, условное математическое ожидание M (
| H 1 ) случайной величины
при гипотезе H 1 , совпадающее со средним временем ожидания заявки в очереди при гипотезе H 1 , будет равно среднему времени обслуживания одной заявки
.

Условное математическое ожидание M (
| H 2 ) случайной величины
при гипотезе H 2 , т.е. при условии, что заявка поступила в СМО, находящуюся в состоянии S 2 , в котором канал занят и в очереди уже ждет одна заявка, равно 2/ μ (удвоенному среднему времени обслуживания, поскольку нужно обслужить две заявки: ту, которая находится в канале обслуживания, и ту, которая ждет в очереди). И так далее.

Если заявка поступит в систему при гипотезе H m , т.е. когда канал занят и в очереди ждут m − 1 заявок, то M (
| H m ).

Наконец, заявка, пришедшая в СМО при гипотезе H m +1 , т.е. когда канал занят, m заявок стоят в очереди, и свободных мест в очереди больше нет, получает отказ и покидает систему. Поэтому в этом случае M (
| H m +1 ) = 0.

Следовательно, по формуле полного математического ожидания среднее время ожидания заявки в очереди

Подставляя сюда выражения для вероятностей p k (k =1,2,...,m ), получаем:
(19)

Если интенсивность нагрузки канала ρ ≠ 1 , то из равенства (19) с учетом формул (17), (18), а также выражения для p 0 находим:

Если же ρ = 1 , то, подставляя в равенство (19) выражение p 0 = 1/(m +2), значение суммы
, используя формулу (18) приρ = 1 и учитывая, что в данном случае μ = λ , будем иметь

Итак, для любого ρ получаем формулу для среднего времени пребывания заявки в очереди, которая называется формулой Литтла:
т.е. среднее время ожидания заявки в очереди
равно среднему числу заявок в очереди L оч , деленному на интенсивность λ входящего потока заявок.

Пример. На автозаправочной станции (АЗС) имеется одна колонка. Площадка при станции, на которой машины ожидают заправку, может вместить не более трех машин одновременно, если она занята, то очередная машина, прибывшая к станции, в очередь не становится, а проезжает на соседнюю АЗС. В среднем машины прибывают на станцию каждые 2 мин. Процесс заправки одной машины продолжается в среднем 2,5 мин. Определить основные характеристики системы.

Решение. Математической моделью данной АЗС является одноканальная СМО с ожиданием и ограничением на длину очереди (m = 3). Предполагается, что поток машин, подъезжающих к АЗС для заправки, и поток обслуживаний – простейшие.

Поскольку машины прибывают в среднем через каждые 2 мин, то интенсивность входящего потока равна λ =1/2 = 0,5 (машин в минуту). Среднее время обслуживания одной машины
= 2,5 мин, следовательно, интенсивность потока обслуживаний μ =1/2,5 = 0,4 (машины в минуту).

Определяем интенсивность нагрузки канала: ρ = λ/μ = 0,5/0,4 = 1,25.

Вычисляем вероятность отказа
откуда относительная пропускная способность и абсолютная пропускная способность A = λ Q ≈ 0,5⋅0,703 ≈ 0,352.

Среднее число машин, ожидающих в очереди на заправку

Среднее время ожидания машины в очереди находим по формуле Литтла
= L оч /λ ≈1,559/0,5 = 3,118.

Таким образом, из анализа работы СМО следует, что из каждых 100 подъезжающих машин 30 получают отказ (P отк ≈ 29,7%), т.е. обслуживаются 2/3 заявок. Поэтому необходимо либо сократить время обслуживания одной машины (увеличить интенсивность потока обслуживаний), либо увеличить число колонок, либо увеличить площадку для ожидания.

Система массового обслуживания называется системой с ожиданием, если заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал.

Если время ожидания заявки в очереди ничем не ограничено, то система называется «чистой системой с ожиданием». Если оно ограничено какими-то условиями, то система называется «системой смешанного типа». Это промежуточный случай между чистой системой с отказами и чистой системой с ожиданием.

Для практики наибольший интерес представляют именно системы смешанного типа.

Ограничения, наложенные на ожидание, могут быть различного типа. Часто бывает, что ограничение накладывается на время ожидания заявки в очереди; считается, что оно ограничено сверху каким-то сроком , который может быть как строго определенным, так и случайным. При этом ограничивается только срок ожидания в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца, независимо от того, сколько времени продолжалось ожидание (например, клиент в парикмахерской, сев в кресло, обычно уже не уходит до конца обслуживания). В других задачах естественнее наложить ограничение не на время ожидания в очереди, а на общее время пребывания заявки в системе (например, воздушная цель может пробыть в зоне стрельбы лишь ограниченное время и покидает ее независимо от того, кончился обстрел или нет). Наконец, можно рассмотреть и такую смешанную систему (она ближе всего к типу торговых предприятий, торгующих предметами не первой необходимости), когда заявка становится в очередь только в том случае, если длина очереди не слишком велика. Здесь ограничение накладывается на число заявок в очереди.

В системах с ожиданием существенную роль играет так называемая «дисциплина очереди». Ожидающие заявки могут вызываться на обслуживание как в порядке очереди (раньше прибывший раньше и обслуживается), так и в случайном, неорганизованном порядке. Существуют системы массового обслуживания «с преимуществами», где некоторые заявки обслуживаются предпочтительно перед другими («генералы и полковники вне очереди»).

Каждый тип системы с ожиданием имеет свои особенности и свою математическую теорию. Многие из них описаны, например, в книге В. В. Гнеденко «Лекции по теории массового обслуживания».

Здесь мы остановимся только на простейшем случае смешанной системы, являющемся естественным обобщением задачи Эрланга для системы с отказами. Для этого случая мы выведем дифференциальные уравнения, аналогичные уравнениям Эрланга, и формулы для вероятностей состояний в установившемся режиме, аналогичные формулам Эрланга.

Рассмотрим смешанную систему массового обслуживания с каналами при следующих условиях. На вход системы поступает простейший поток заявок с плотностью . Время обслуживания одной заявки - показательное, с параметром . Заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь и ожидает обслуживания; время ожидания ограничено некоторым сроком ; если до истечения этого срока заявка не будет принята к обслуживанию, то она покидает очередь и остается необслуженной. Срок ожидания будем считать случайным и распределенным по показательному закону

где параметр - величина, обратная среднему сроку ожидания:

; .

Параметр полностью аналогичен параметрам и потока заявок и «потока освобождений». Его можно интерпретировать, как плотность «потока уходов» заявки, стоящей в очереди. Действительно, представим себе заявку, которая только и делает, что становится в очередь и ждет в ней, пока не кончится срок ожидания , после чего уходит и сразу же снова становится в очередь. Тогда «поток уходов» такой заявки из очереди будет иметь плотность .

Очевидно, при система смешанного типа превращается в чистую систему с отказами; при она превращается в чистую систему с ожиданием.

Заметим, что при показательном законе распределения срока ожидания пропускная способность системы не зависит от того, обслуживаются ли заявки в порядке очереди или в случайном порядке: для каждой заявки закон распределения оставшегося времени ожидания не зависит от того, сколько времени заявка уже стояла в очереди.

Благодаря допущению о пуассоновском характере всех потоков событий, приводящих к изменениям состояний системы, процесс, протекающий в ней, будет марковским. Напишем уравнения для вероятностей состояний системы. Для этого, прежде всего, перечислим эти состояния. Будем их нумеровать не по числу занятых каналов, а по числу связанных с системой заявок. Заявку будем называть «связанной с системой», если она либо находится в состоянии обслуживания, либо ожидает очереди. Возможные состояния системы будут:

Ни один канал не занят (очереди нет),

Занят ровно один канал (очереди нет),

Занято ровно каналов (очереди нет),

Заняты все каналов (очереди нет),

Заняты все каналов, одна заявка стоит в очереди,

Заняты все каналов, заявок стоят в очереди,

Число заявок , стоящих в очереди, в наших условиях может быть сколь угодно большим. Таким образом, система имеет бесконечное (хотя и счетное) множество состояний. Соответственно, число описывающих ее дифференциальных уравнений тоже будет бесконечным.

Очевидно, первые дифференциальных уравнений ничем не будут отличаться от соответствующих уравнений Эрланга:

Отличие новых уравнений от уравнений Эрланга начнется при . Действительно, в состояние система с отказами может перейти только из состояния ; что касается системы с ожиданием, то она может перейти в состояние не только из , но и из (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди).

Составим дифференциальное уравнение для . Зафиксируем момент и найдем - вероятность того, что система в момент будет в состоянии . Это может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время не вышла из него (не пришла ни одна заявка и ни один из каналов не освободился);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии (все каналы заняты, одна заявка стоит в очереди), а за время перешла в (либо освободился один канал и стоящая в очереди заявка заняла его, либо стоящая в очереди заявка ушла в связи с окончанием срока).

Вычислим теперь при любом - вероятность того, что в момент все каналов будут заняты и ровно заявок будут стоять в очереди. Это событие снова может осуществиться тремя способами:

1) в момент система уже была в состоянии , а за время это состояние не изменилось (значит, ни одна заявка не пришла, ни один капал не освободился и ни одна из стоящих в очереди заявок не ушла);

2) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (т. е. пришла одна заявка);

3) в момент система была в состоянии , а за время перешла в состояние (для этого либо один из каналов должен освободиться, и тогда одна из стоящих в очереди заявок займет его, либо одна из стоящих в очереди заявок должна уйти в связи с окончанием срока).

Следовательно:

Таким образом, мы получили для вероятностей состояний систему бесконечного числа дифференциальных уравнений:

(19.10.1)

Уравнения (19.10.1) являются естественным обобщением уравнений Эрланга на случай системы смешанного типа с ограниченным временем ожидания. Параметры в этих уравнениях могут быть как постоянными, так и переменными. При интегрировании системы (19.10.1) нужно учитывать, что хотя теоретически число возможных состояний системы бесконечно, но на практике вероятности при возрастании становятся пренебрежимо малыми, и соответствующие уравнения могут быть отброшены.

Выведем формулы, аналогичные формулам Эрланга, для вероятностей состояний системы при установившемся режиме обслуживания (при ). Из уравнений (19.10.1), полагая все постоянными, а все производные - равными нулю, получим систему алгебраических уравнений:

(19.10.2)

К ним нужно присоединить условие:

Найдем решение системы (19.10.2).

Для этого применим тот же прием, которым мы пользовались в случае системы с отказами: разрешим первое уравнение относительно подставим во второе, и т. д. Для любого , как и в случае системы с отказами, получим:

Перейдем к уравнениям для . Тем же способом получим:

,

,

и вообще при любом

. (19.10.5)

В обе формулы (19.10.4) и (19.10.5) в качестве сомножителя входит вероятность . Определим ее из условия (19.10.3). Подставляя в него выражения (19.10.4) и (19.10.5) для и , получим:

,

. (19.10.6)

Преобразуем выражения (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6), вводя в них вместо плотностей и «приведенные» плотности:

(19.10.7)

Параметры и выражают соответственно среднее число заявок и среднее число уходов заявки, стоящей в очереди, приходящиеся на среднее время обслуживания одной заявки.

В новых обозначениях формулы (19.10.4), (19.10.5) и (19.10.6) примут вид:

; (19.10.9)

. (19.10.10)

Подставляя (19.10.10) в (19.10.8) и (19.10.9), получим окончательные выражения для вероятностей состояний системы:

; (19.10.11)

. (19.10.12)

Зная вероятности всех состояний системы, можно легко определить другие интересующие нас характеристики, в частности, вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной. Определим ее из следующих соображений: при установившемся режиме вероятность того, что заявка покинет систему необслуженной, есть не что иное, как отношение среднего числа заявок, уходящих из очереди в единицу времени, к среднему числу заявок, поступающих в единицу времени. Найдем среднее число заявок уходящих из очереди в единицу времени. Для этого сначала вычислим математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди:

. (19.10.13)

Чтобы получить , нужно умножить на среднюю «плотность уходов» одной заявки и разделить на среднюю плотность заявок , т. е. умножить на коэффициент

Рассмотрим n - канальную систему массового обслуживания с ожиданием.

Интенсивность потока обслуживания равна μ. Длительность обслуживания – случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживаний является простейшим пуассоновским потоком событий.

Размер очереди допускает нахождение в ней m заявок.

Для нахождения предельных вероятностей можно использовать следующие выражения.

(0‑1)

где.

Вероятность отказа в обслуживании заявки (отказ произойдет в случае, если все каналы заняты и в очереди находятся m заявок):

(0‑2)

Относительная пропускная способность .

(0‑3)

Абсолютная пропускная способность .

(0‑4)

Среднее число занятых каналов.

Для СМО с очередью среднее число занятых каналов не совпадает (в отличие от СМО с отказами) со средним числом заявок в системе. Отличие равно числу заявок, ожидающих в очереди.

Обозначим среднее число занятых каналов. Каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок в единицу времени, а СМО в целом – А заявок в единицу времени. Разделив А на μ получим

(0‑5)

Среднее число находящихся в очереди заявок.

Для нахождения среднего числа ожидающих в очереди заявок в случае, если χ≠1, можно использовать выражение:

(0‑6)

(0‑7)

где = .

Среднее число находящихся в системе заявок.

(0‑8)

Среднее время ожидания заявки в очереди .

Среднее время ожидания заявки в очереди можно найти из выражения (χ≠1).

(0‑9)

Среднее время пребывания заявки в системе.

Так же как и в случае с одноканальной СМО имеем:

(0‑10)

Содержание работы .

Подготовка инструментария эксперимента .

Выполняется в соответствии с общими правилами.

Расчет на аналитической модели .

1. В приложение Microsoft Excel подготовьте таблицу следующего вида.

2. В столбцах для параметров СМО таблицы запишите свои исходные данные, которые определяются по правилу:

n =1,2,3

m=1,3,5

Для каждой комбинации { n ,m} необходимо найти теоретические и экспериментальные значения показателей СМО для таких пар значений:

= <порядковый номер в списке группы>

3. В столбцы с показателями аналитической модели впишите соответствующие формулы.

Эксперимент на имитационной модели .

1. Установите режим запусков с экспоненциально распределенным временем обслуживания, задав значение соответствующего параметра равным 1.

2. Для каждой комбинации n, m, и осуществите запуск модели.

Результаты запусков внесите в таблицу.

3. Внесите в соответствующие столбцы таблицы формулы для расчета среднего значения показателя Pотк, q и А.

Анализ результатов .

1. Проанализируйте результаты, полученные теоретическим и экспериментальным способами, сравнив результаты между собой.

2. Для одной из комбинаций {n,m} постройте на одной диаграмме графики зависимости Pотк от на теоретически и экспериментально полученных данных.

Оптимизация параметров СМО .

Решите задачу оптимизации размера числа мест в очереди m для двух приборов со средним временем обслуживания = с точки зрения получения максимальной прибыли. В качестве условий задачи возьмите:

- доход от обслуживания одной заявки равным 80у.е./час,

- стоимость содержания одного прибора - 1у.е./час,

- стоимость содержания одного места в очереди – 0.2у.е./час.

1. Для расчетов целесообразно создать таблицу:

Первый столбец заполняется значениями числа приборов n =1.

Второй столбец заполняется значениями чисел натурального ряда (1,2,3…).

Все клетки третьего и четвертого столбцов заполняются значениями.

В клетки столбцов с пятого по четырнадцатый переносятся формулы для столбцов таблицы раздела 0.

В столбцы с исходными данными разделов Доход, Расход, Прибыль внесите значения (см. выше).

В столбцах с вычисляемыми значениями разделов Доход, Расход, Прибыль запишите расчетные формулы:

- число заявок в единицу времени

N r =A

- суммарный доход в единицу времени

I S = I r *N r

- суммарный расход в единицу времени

E S =E s *n + E q *m

- прибыль в единицу времени

P = I S - E S

где

I r - доход от одной заявки ,

E s - расход на один прибор ,

E q - расход на одно место в очереди

2. Заполните строки таблицы для n=2 и n=3.

Найдите m опт для n =1 ,2,3.

3. Постройте на одной диаграмме графики зависимости C(m) для n=1,2,3.

Отчет по работе :

Отчет по работе должен включать:

- исходные данные,

- результаты расчетов и экспериментов с программной моделью,

Графики для P отк ,

- таблицу с данными для нахождения наилучшего m и значение m опт,

- графики зависимости прибыли в единицу времени от m для n=1,2,3.

Контрольные вопросы :

1) Дайте краткое описание многоканальной модели СМО с ограниченной очередью.

2) Какими показателями характеризуется функционирование многоканальной СМО с ограниченной очередью?

3) Как рассчитываются предельные вероятности многоканальной СМО с ограниченной очередью?

4) Как найти вероятность отказа обслуживания заявки?

5) Как найти относительную пропускную способность?

6) Чему равна абсолютная пропускная способность?

7) Как подсчитывается среднее число заявок в системе?

8) Приведите примеры многоканальной СМО с ограниченной очередью.

Задачи .

1) На автозаправочной станции установлены 3 колонки и площадка на 3 автомобиля для ожидания заправки. В среднем на станцию прибывает одна машина каждые 4 минуты. Среднее время обслуживания одной машины - 2,8 мин. Определить характеристики работы автозаправочной станции.

2) На станцию технического осмотра автомобилей, имеющего 3 смотровых поста, в среднем поступает 1 автомобиль за 0,4 часа. Стоянка во дворе вмещает 3 машины. Среднее время работы одного поста - 0,5 часа. Определить характеристики работы СТО.

3) В магазин осуществляется завоз товаров автомобилями. В течение дня прибывают в среднем 6 машин. Подсобные помещения для подготовки товаров к продаже позволяют обрабатывать и хранить товар, привезенный двумя машинами. В магазине работают посменно три фасовщика товаров, каждый из которых в среднем может обрабатывать товар одной машины в течение 5 часов. Продолжительность рабочего дня фасовщиков составляет 12 часов. Определить характеристики работы магазина, а также, какова должна быть емкость подсобных помещений, чтобы вероятность полной обработки товаров была больше 0,96.

4) В магазине работают три кассы. Среднее время обслуживания одного покупателя - 3 мин. Интенсивность потока покупателей - 7 человек в минуту. Число покупателей, стоящих в очереди к кассе, не может превышать 5 человек. Покупатель, пришедший в магазин, в котором в каждой очереди в кассу 5 человек, не ждет, а уходит из магазина. Определить характеристики работы магазина.

5) Оптовый склад производит отпуск товаров клиентам. Погрузку автомашины осуществляют три бригады грузчиков, каждая из которых состоит из 4 человек. Склад одновременно вмещает 5 автомашин и, если в это время прибывает новая автомашина, то она не обслуживается. Интенсивность входящего потока составляет 5 автомашин в час. Интенсивность по грузки составляет 2 автомашины в час. Дайте оценку работы склада и вариант его реорганизации.

6) Таможня располагает тремя терминалами. Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 30 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 3 часа. Если в очереди на прохождение таможенного контроля стоят 5 автомашин, то приезжающие автомашины уезжают на другую таможню. Найти показатели эффективности работы таможни.

7) На строительную площадку в среднем через 40 мин прибывают автомашины со строительным материалом. Среднее время разгрузки одной автомашины составляет 1,8 часа. В разгрузке принимают участие две бригады грузчиков. На территории строительной площадки может находиться в очереди на разгрузку не более 5 автомашин. Определить показатели эффективности работы строительной площадки.

8) На мойку, имеющую три рабочих места, в среднем в час приезжает 12 автомашин. Если в очереди уже находится 6 автомашин, вновь приезжающие автомобили не встают в очередь, а покидают мойку. Среднее время мойки автомашины составляет 20 мин, средняя стоимость услуг мойки - 150 руб. Определить показатели эффективности работы мойки и среднюю величину потери выручки в течение рабочего дня (с 9 до 19 часов).

9) Интенсивность потока автомашин, перевозящих грузы и подлежащих прохождению таможенного контроля, составляет 50 шт. в сутки. Среднее время таможенной обработки на терминале одной автомашины составляет 2,8 часа. Максимальная очередь на прохождение таможенного контроля должна быть не более 8 автомашин. Определить, какое количество терминалов надо открыть на таможне, чтобы вероятность простоя автомашин была минимальна.