Виды передаточных функций. Передаточная функция

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

Например, операторное уравнение

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Полученное выражение называется передаточной функцией.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

(2.4)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

где B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - полином числителя,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - полином знаменателя.

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

2.6.2 Примеры типовых звеньев

В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

усилительное,

инерционное (апериодическое 1-го порядка),

интегрирующие (реальное и идеальное),

дифференцирующие (реальное и идеальное),

апериодическое 2-го порядка,

колебательное,

запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функцияW(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления .

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 1.18).

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины:

; W(s) =

При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (см. рисунок 1.19):

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

Примером такого звена может служить емкость, наполняемая жидкостью. Входной параметр – расход поступающей жидкости, выходной - уровень. Изначально емкость пуста и при отсутствии расхода уровень равен нулю, но если включить подачу жидкости, уровень начинает равномерно увеличиваться.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид

W(s) =
.

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T . e - t / T .

Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора. Если напряжение на двигатель не подается, то ротор не двигается и угол его поворота можно принять равным нулю. При подаче напряжения ротор начинает раскручиваться, а угол его поворота сначала медленно вследствие инерции, а затем быстрее увеличиваться до достижения определенной скорости вращения.

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

; W(s) = K*s

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (-функцию): h(t) = K . (t).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид

W(s) =
.

Переходная характеристика:
.

Пример звена: электрогенератор. Входной параметр – угол поворота ротора, выходной – напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки.

4) Апериодическое (инерционное).

Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида

; W(s) =
.

Определим характер изменения выходной величины этого звена при подаче на вход ступенчатого воздействия величины х 0 .

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

Y(s) = W(s) X(s) =
= K x 0
.

Разложим дробь на простые:

=
+ =
= -
= -

Оригинал первой дроби по таблице: L -1 {} = 1, второй:

L -1 {} = .

Тогда окончательно получаем

y(t) = K x 0 (1 - ).

Постоянная Т называется постоянной времени .

Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (см. рисунок 1.22).

5) Звенья второго порядка

Звенья имеют ДУ и ПФ вида

W(s) =
.

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х 0 переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т 1  2Т 2) или колебательный (при Т 1 < 2Т 2).

В связи с этим выделяют звенья второго порядка:

апериодическое 2-го порядка (Т 1  2Т 2),

инерционное (Т 1 < 2Т 2),

консервативное (Т 1 = 0).

6) Запаздывающее.

Если при подаче на вход объекта некоторого сигнала он реагирует на этот сигнал не моментально, а спустя некоторое время, то говорят, что объект обладает запаздыванием.

Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.

Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием :

y(t) = x(t - ).

Передаточная функция звена:

W(s) = e -  s .

Примеры запаздываний: движение жидкости по трубопроводу (сколько жидкости было закачано в начале трубопровода, столько ее выйдет в конце, но через некоторое время, пока жидкость движется по трубе), движение груза по конвейеру (запаздывание определяется длиной конвейера и скоростью движения ленты) и т.д.

Например, операторное уравнение

3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

Полученное выражение называется передаточной функцией.

(2.4)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

где B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - полином числителя,

А(s) = a 0 + a 1 s + a 2 s 2 + … + a n s n - полином знаменателя.

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Примеры типовых звеньев

К простейшим типовым звеньям относятся:

· усилительное,

· инерционное (апериодическое 1-го порядка),

· интегрирующие (реальное и идеальное),

· дифференцирующие (реальное и идеальное),

· апериодическое 2-го порядка,

· колебательное,

· запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления .

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 1.18).

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины:

; W(s) =

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 1.20):

h(t) = K . (t – T) + K . T . e - t / T .

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию): h(t) = K . d(t).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Переходная характеристика: .

4) Апериодическое (инерционное).

Этому звену соответствуют ДУ и ПФ вида

; W(s) = .

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) = . Тогда изображение выходной величины:

Y(s) = W(s) X(s) = = K x 0 .

Разложим дробь на простые:

= + = = - = -

Оригинал первой дроби по таблице: L -1 { } = 1, второй:

Тогда окончательно получаем

y(t) = K x 0 (1 - ).

Постоянная Т называется постоянной времени .

5) Звенья второго порядка

Звенья имеют ДУ и ПФ вида

W(s) = .

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой х 0 переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т 1 ³ 2Т 2) или колебательный (при Т 1 < 2Т 2).

В связи с этим выделяют звенья второго порядка:

· апериодическое 2-го порядка (Т 1 ³ 2Т 2),

· инерционное (Т 1 < 2Т 2),

· консервативное (Т 1 = 0).

6) Запаздывающее.

Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.

Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием t:

y(t) = x(t - t).

Передаточная функция звена:

W(s) = e - t s .

Соединения звеньев

Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну передаточную функцию объекта. Вид передаточной функции объекта зависит от последовательности соединения звеньев:

1) Последовательное соединение.

W об = W 1 . W 2 . W 3 …

При последовательном соединении звеньев их передаточные функции перемножаются .

2) Параллельное соединение.

W об = W 1 + W 2 + W 3 + …

При параллельном соединении звеньев их передаточные функции складываются .

3) Обратная связь

Передаточная функция по заданию (х):

«+» соответствует отрицательной ОС,

«-» - положительной.

Для определения передаточных функций объектов, имеющих более сложные соединения звеньев, используют либо последовательное укрупнение схемы, либо преобразуют по формуле Мезона .

Передаточные функции АСР

Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор» (см. рисунок 1.27). Практически все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры.

В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.

Если выход системы у не подавать на ее вход, то получается разомкнутая система регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:

W ¥ = W p . W y

(W p - ПФ регулятора, W y - ПФ объекта управления).

Рисунок 1.28

То есть последовательность звеньев W p и W y может быть заменена одним звеном с W ¥ . Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W ¥ :

Данная передаточная функция Ф з (s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию).

Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:

Ф e (s) = = - по ошибке,

Ф в (s) = = - по возмущению,

где W у.в. (s) – передаточная функция объекта управления по каналу передачи возмущающего воздействия.

В отношении учета возмущения возможны два варианта:

Возмущение оказывает аддитивное влияние на управляющее воздействие (см. рисунок 1.29,а);

Возмущение влияет на измерения регулируемого параметра (см. рисунок 1.29,б).

Примером первого варианта может быть влияние колебаний напряжения в сети на напряжение, подаваемое регулятором на нагревательный элемент объекта. Пример второго варианта: погрешности при измерениях регулируемого параметра вследствие изменения температуры окружающей среды. W у.в. – модель влияния окружающей среды на измерения.

Рисунок 1.30

Параметры K 0 = 1, K 1 = 3, K 2 = 1,5, K 4 = 2, K 5 = 0,5.

В структурной схеме АСР звенья, соответствующие регулирующему устройству, стоят перед звеньями объекта управления и генерируют управляющее воздействие на объект u. По схеме видно, что к схеме регулятора относятся звенья 1, 2 и 3, а к схеме объекта – звенья 4 и 5.

Учитывая, что звенья 1, 2 и 3 соединены параллельно, получаем передаточную функцию регулятора как сумму передаточных функций звеньев:

Звенья 4 и 5 соединены последовательно, поэтому передаточная функция объекта управления определяется как произведение передаточных функций звеньев:

Передаточная функция разомкнутой системы:

откуда видно, что числитель В(s) = 1,5 . s 2 + 3 . s + 1, знаменатель (он же характеристический полином разомкнутой системы) А(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s. Тогда характеристический полином замкнутой системы равен:

D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5 . s 2 + 3 . s + 1 = 2 . s 3 + 4,5 . s 2 + 4 . s + 1.

Передаточные функции замкнутой системы:

по заданию ,

по ошибке .

При определении передаточной функции по возмущению принимается W у.в. = W оу. Тогда

. ¨

После несложных преобразований получим

(3.54)

Правило: передаточная функция системы с отрицательной обратной связью равна дроби, в числителе которой стоит передаточная функция прямого канала , а знаменатель представляет собой сумму единицы и произведения передаточных функций прямого и обратного каналов системы.

В случае положительной обратной связи формула (3.54) принимает вид

(3.55)

На практике обычно встречаются системы с отрицательной обратной связью, для которых передаточная функция находится по соотношению (3.54).

3.3.4. Правило переноса

В некоторых случаях для получения общей передаточной функции системы с помощью структурных преобразований удобнее было бы перенести точку приложения сигнала через звено ближе к выходу или входу. При таком преобразовании структурной схемы следует придерживаться правила: передаточная функция системы должна оставаться неизменной.

Рассмотрим ситуацию, когда точка приложения сигнала переносится через звено ближе к выходу. Исходная структура системы показана на рис. 3.31. Определим для нее результирующую передаточную функцию

Перенесем точку приложения сигнала через звено с передаточной функцией добавив в этот канал некоторую передаточную функцию Получим структурную схему преобразованной системы (рис. 3 32).

Рис. 3.32 . Структурная схема преобразованной системы.

Для нее передаточная функция имеет вид

Поскольку при преобразовании структуры системы ее передаточная функция не должна измениться, приравняв правые части выражений (3.56) и (3.57), определим искомую передаточную функцию

Таким образом, при переносе точки приложения сигнала ближе к выходу системы в канал следует добавить передаточную функцию звена, через которое переносится сигнал.

Аналогичное правило можно сформулировать для переноса точки приложения сигнала ближе к входу системы: в соответствующий канал следует добавить обратную передаточную функцию звена, через которое переносится сигнал.

Пример 3.1

Определить общую передаточную функцию системы, структурная схема которой приведена на рис. 3.33.

Предварительно определим передаточные функции типовых соединений звеньев: передаточная функция параллельного соединения звеньев

а передаточная функция последовательно соединенных звеньев

Рис. 3.33. Структурная схема системы

С учетом введенных обозначений структуру системы можно привести к виду, изображенному на рис. 3.34.

Используя структурные преобразования, запишем общую передаточную функцию системы

Подставляя вместо и их значения, получим окончательно

Пример 3.2

Определить передаточную функцию системы автоматического сопровождения цели радиолокационной станции , структурная схема которой представлена на рис. 3.35.

Рис. 3.35. Структурная схема системы автоматического сопровождения цели

Здесь - передаточная функция приемника системы; - передаточная функция фазового детектора; - передаточная функция усилителя мощности; - передаточная функция двигателя; - передаточная функция редуктора; - передаточная функция датчика частоты вращения антенны; - передаточная функция корректирующего устройства.

Используя правила структурных преобразований, запишем

передаточную функцию

Определим передаточную функцию внутреннего контура

и прямого канала системы

Определим полную передаточную функцию системы

Подставляя вместо промежуточных передаточных функций , исходные значения, получим окончательно

3.4. Структурные схемы, соответствующие дифференциальным уравнениям

Второй способ составления структурной схемы основан на использовании дифференциальных уравнений . Рассмотрим его сначала для объекта, поведение которого описывают векторно-матричные уравнения (2.1), (2.2):

(3.59)

Проинтегрируем уравнение состояния в (3.59) по времени и определим переменные состояния и выхода в виде

(3.60)

Уравнения (3.60) являются основными для составления схемы.

Рис. 3.36. Структурная схема, соответствующая уравнениям
состояния объекта

Структурную схему, соответствующую уравнениям (3.60), удобнее изображать, начиная с выходных переменных y , причем входные и выходные переменные объекта желательно располагать на одной горизонтальной прямой (рис. 3.36).

Для одноканального объекта структурную схему можно составить по уравнению (2.3), разрешив его относительно старшей производной

Проинтегрировав (3.61) n раз, получим

(3.62)

Системе уравнений (3.62) соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.37.

Рис. 3.37. Структурная схема, соответствующая уравнению (3.61)

Как видим, одноканальный объект управления, поведение которого описывает уравнение (3.61), структурно всегда можно представить в виде цепочки из n последовательно соединенных интеграторов с обратными связями.

Пример 3.3

Изобразить структурную схему объекта, модель которого задана следующей системой дифференциальных уравнений:

Предварительно проинтегрируем уравнения состояния

Рис. 3.38. Иллюстрация составления структурной схемы
по уравнениям состояния

В соответствии с интегральными уравнениями на рис. 3.38 изобразим структурную схему системы.

3.5. Переход от передаточной функции к каноническому описанию

Обсудим наиболее известные способы преобразования математической модели объекта в виде произвольной передаточной функции к описанию в переменных состояния. Для этой цели используем соответствующие структурные схемы. Отметим, что данная задача неоднозначна, так как переменные состояния для объекта можно выбирать различным образом (см. подразд. 2.2).

Рассмотрим два варианта перехода к описанию в переменных состояния от передаточной функции объекта

(3.63)

где Предварительно представим (3.63) в виде произведения двух передаточных функций:

Каждому из этих представлений (3.63) соответствует своя простая модель в переменных состояния, которая называется канонической формой .

3.5.1. Первая каноническая форма

Рассмотрим преобразование математической модели системы с передаточной функцией (3.64). Ее структурную схему можно представить в виде двух последовательно соединенных звеньев
(рис. 3.39).

Рис. 3.39. Структурное представление системы (3.64)

Для каждого звена системы запишем соответствующее операторное уравнение

(3.66)

Определим из первого уравнения (3.66) старшую производную переменной z , что соответствует значению в операторной форме

Полученное выражение позволяет представить первое уравнение (3.66) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями (см. подразд. 3.5), а выходная переменная y формируется в соответствии со вторым уравнением (3.66) как сумма переменной z и ее m производных (рис. 3.40).

Рис. 3.40. Схема, соответствующая уравнениям (3.66)

Используя структурные преобразования, получим структурную схему системы, приведенную на рис. 3.41.

Рис. 3.41. Структурная схема, соответствующая канонической форме

Отметим, что структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.64), состоит из цепочки n интеграторов, где n - порядок системы. Причем в обратной связи находятся коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (коэффициенты характеристического полинома), а в прямой связи - коэффициенты полинома ее числителя.

От полученной структурной схемы нетрудно перейти к модели системы в переменных состояния. С этой целью выход каждого интегратора примем за переменную состояния

что позволяет записать дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода системы (3.63) в виде

(3.67)

Систему уравнений (3.67) можно представить в векторно-матричной форме (2.1) со следующими матрицами:

Модель системы в переменных состояния (3.67) будем называть первой канонической формой.

3.5.2. Вторая каноническая форма

Рассмотрим второй способ перехода от передаточной функции (3.63) к описанию в переменных состояния, для чего структуру системы (3.65) схематично представим на рис. 3.42.

Рис. 3.42. Структурное представление передаточной функции (3.65)

Ее операторные уравнения имеют вид

(3.68)

Аналогично предыдущему случаю представим первое уравнение (3.68) в виде цепочки из n интеграторов с обратными связями, а входное воздействие z сформируем в соответствии со вторым уравнением (3.68) в виде суммы управления u и m его производных (рис. 3.43).

В результате структурных преобразований получим структурную схему системы, приведенную на рис. 3.44. Как видим, и в этом случае структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65), состоит из цепочки n интеграторов . В обратной связи также располагаются коэффициенты характеристического полинома, а в прямой связи - коэффициенты полинома ее числителя.

Рис. 3.43. Схема, соответствующая уравнениям (3.68)

Рис. 3.44. Структурная схема, соответствующая передаточной функции (3.65)

Снова в качестве переменных состояния выберем выходные величины интеграторов и запишем относительно них дифференциальные уравнения состояния и уравнение выхода

(3.69)

По уравнениям (3.69) определим матрицы

Модель системы в переменных состояния типа (3.69) будем называть второй канонической формой.

Отметим, что матрица A неизменна для первой или второй канонических форм и содержит коэффициенты знаменателя исходной передаточной функции (3.63). Коэффициенты числителя передаточной функции (3.63) содержат матрица C (в случае первой канонической формы) или матрица B (в случае второй канонической формы). Поэтому уравнения состояния, соответствующие двум каноническим представлениям системы, могут быть записаны непосредственно по передаточной функции (3.63) без перехода к структурным схемам, приведенным на рис. 3.40 и 3.43.

Как видим, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является задачей неоднозначной. Мы рассмотрели варианты перехода к каноническому описанию, которые чаще других используются в теории автоматического управления.

Пример 3.4

Получить два варианта канонического описания и соответствующих структурных схем для системы, модель которой имеет вид

Используем представление передаточной функции в виде (3.64) и запишем для нее операторные уравнения

от которых перейдем к структурной схеме, приведенной на рис. 3.45.

Рис. 3.45. Структурная схема, соответствующая первой канонической форме

На основании этой структурной схемы запишем уравнения первой канонической формы в виде

Для перехода ко второй канонической форме представим передаточную функцию системы в виде (3.65) и запишем для нее следующие операторные уравнения:

которым соответствует структурная схема, приведенная на рис. 3.46.

Рис. 3.46. Структурная схема, соответствующая второй канонической форме

Запишем теперь модель системы в виде второй канонической формы

3.6. Область применения структурного метода

Структурный метод удобен при расчете линейных автоматических систем, но имеет свои ограничения. Метод предполагает использование передаточных функций, поэтому может применяться, как правило, при нулевых начальных условиях.

При использовании структурного метода необходимо придерживаться следующего правила : при любом преобразовании системы ее порядок не должен уменьшаться, т. е. недопустимо сокращение одинаковых множителей в числителе и знаменателе передаточной функции. Сокращая одинаковые множители, мы тем самым выбрасываем из системы реально существующие звенья. Проиллюстрируем это утверждение примером.

Пример 3.5

Рассмотрим систему, состоящую из интегрирующего и дифференцирующего звеньев, которые соединены последовательно.

Первый вариант соединения звеньев показан на рис. 3.47.

Используя структурные преобразования, найдем общую передаточную функцию

Отсюда следует вывод, что подобное соединение звеньев эквивалентно безынерционному звену, т. е. сигнал на выходе системы повторяет сигнал на ее входе. Покажем это, рассматривая уравнения отдельных звеньев. Выходной сигнал интегрирующего звена определяется соотношением

где - начальное условие на интеграторе. Сигнал на выходе дифференцирующего звена, а следовательно, и всей системы имеет вид

что соответствует выводу, сделанному на основе анализа общей передаточной функции звеньев.

Второй вариант соединения звеньев показан на рис. 3.48, т. е. звенья поменяли местами. Передаточная функция системы та же, что и в первом случае,

Однако теперь выход системы не повторяет входной сигнал. В этом можно убедиться, рассматривая уравнения звеньев. Сигнал на выходе дифференцирующего звена соответствует уравнению

а на выходе системы определяется соотношением

Как видим, во втором случае выходной сигнал отличается от сигнала на выходе первой системы на величину начального значения, несмотря на то, что обе системы имеют одну и ту же передаточную функцию.

Заключение

В этом разделе рассмотрены динамические характеристики типовых звеньев, из которых состоят системы управления произвольной конфигурации. Обсуждены особенности структурных схем, построенных на основе передаточных функций и дифференциальных уравнений. Приведены два способа перехода от передаточной функции системы через структурные схемы к ее моделям в виде переменных состояния, соответствующие различным каноническим формам.

Следует отметить, что представление системы в виде структурной схемы позволяет в ряде случаев оценить ее статику и динамику и дает, по существу, структурный портрет системы.

3.1. Изобразить структурную схему системы, дифференциальное уравнение которой имеет вид:

а)

в)

3.2. Изобразить структурную схему системы, модель которой представлена в переменных состояния:

а) б)

в) г)

3.3. Определить передаточные функции систем, если их структурные схемы имеют вид, представленный на рис. 3.49.

Рис. 3.49. Структурные схемы к задаче 3.3

3.4. Известны структурные схемы системы (рис. 3.50). Записать их модели в переменных состояния.

Рис. 3.50. Структурные схемы к задаче 3.4

3.5. Известна структурная схема системы (рис. 3.51).

Рис. 3.51.

1. Определить передаточную функцию в предполо-жении, что

2. Определить передаточную функцию полагая

3. Записать модель системы в переменных состояния.

4. Повторить пп. 1 и 2 для системы, структурная схема которой приведена на рис. 3.52.

Рис. 3.52. Структурная схема к задаче 3.5

3.6 .

3.7. Изобразить структурную схему, соответствующую первой канонической форме описания системы, имеющей передаточную функцию

1. Записать первую каноническую форму.

2. Изобразить структурную схему, соответствующую второй канонической форме описания системы.

3. Записать вторую каноническую форму.

3.8. Изобразить структурную схему, соответствующую первой канонической форме описания системы, имеющей передаточную функцию

1. Записать первую каноническую форму.

2. Изобразить структурную схему, соответствующую второй канонической форме описания системы.

3. Записать вторую каноническую форму.

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. - М.: Наука, 1978.

2. Бесекерский В.А ., Попов Е.П . Теория автоматического регулирования. - М.: Наука, 1974.

3. Ерофеев А. А. Теория автоматического управления. - СПб.: Поли-техника, 1998.

4. Иващенко Н.Н. Автоматическое регулирование. - М.: Машино-строение, 1978.

5. Первозванский А.А. Курс теории автоматического управления. - М.: Высш. шк., 1986.

6. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. - М.: Высш. шк., 1989.

7. Коновалов Г.Ф. Радиоавтоматика. - М.: Высш. шк., 1990.

8. Филипс Ч ., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.

Можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Полученное выражение называется передаточной

(2.4)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (2.4) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Примеры типовых звеньев

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями. В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья. Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

· усилительное,

· инерционное (апериодическое 1-го порядка),

· интегрирующие (реальное и идеальное),

· дифференцирующие (реальное и идеальное),

· апериодическое 2-го порядка,

· колебательное,

· запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления.

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (рис. 1.18). у = Kx .

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безынерционные усилители и др.

2) Интегрирующее.

2.1) Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна нтегралу входной величины:

При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (рис. 1.19):

h(t) = Kt.

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид (рис. 1.20)

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой

3) Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее .

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию): h(t) = Kδ(t).

3.2) Реальное дифференцирующее.

Переходная характеристика (рис. 1.21):

4) Апериодическое (инерционное).

Изображение ступенчатого воздействия: X(s) =Хо / s Тогда изображение выходной величины:

Разложим дробь на простые:

Оригинал первой дроби по таблице:

Постоянная Т называется постоянной времени . Большинство тепловых объектов являются апериодическими звеньями. Например, при подаче на вход электрической печи напряжения ее температура будет изменяться по аналогичному закону (рис. 1.22).

5) Звенья второго порядка (рис. 1.23)

Звенья имеют ДУ и ПФ вида.

При подаче на вход ступенчатого воздействия амплитудой Хо переходная кривая будет иметь один из двух видов: апериодический (при Т1 ≥ 2Т2) или колебательный (при Т1 < 2Т2).

В связи с этим выделяют звенья второго порядка:

· апериодическое 2-го порядка (Т1 ≥ 2Т2),

· инерционное (Т1 < 2Т2),

· консервативное (Т1 = 0).

6) Запаздывающее .

Запаздывание – это интервал времени от момента изменения входного сигнала до начала изменения выходного.

Запаздывающее звено – это звено, у которого выходная величина у в точности повторяет входную величину х с некоторым запаздыванием t.

1. Передаточные функции и частотные характеристики. Аналоговые устройства аппаратуры связи

1. Передаточные функции и частотные характеристики

Электрическую цепь любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии, в технике связи называют четырехполюсником . Зажимы, к которым подключается источник, называются входными , а зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка) – выходными зажимами (полюсами) .

В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 1.1. К входу четырехполюсника 1–1" подключен источник электрической энергии с комплексным действующим значением напряжения и внутренним сопротивлением . К выходным зажимам 2–2" присоединена нагрузка с сопротивлением . К входным зажимам приложено напряжение с комплексным действующим значением , к выходным – с комплексным действующим значением . Через входные зажимы протекает ток с комплексным действующим значением , через выходные зажимы – с комплексным действующим значением . Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

На рис. 1.1 использованы символические обозначения напряжений и токов. Это означает, что анализ электрической цепи проводится для гармонического колебания определенной частоты. Для данного гармонического колебания можно определить передаточную функцию нагруженного четырехполюсника , которая будет представлять собой отношение комплексного действующего значения выходной электрической величины к комплексному действующему значению входной электрической величины.

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением , а реакцией четырехполюсника на это воздействие – напряжение с комплексным действующим значением или ток с комплексным действующим значением , то получаются комплексные передаточные функции общего вида :

, (1.1)

. (1.2)

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций:

– комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

– комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей – коэффициент усиления по току);

– комплексное передаточное сопротивление;

– комплексная передаточная проводимость.

Часто в теории цепей используют нормированную или рабочую передаточную функцию четырехполюсника:

, (1.3)

которая получается путем нормирования (1.1) множителем .

Как всякую комплексную величину Н можно представить в показательной форме:

, (1.4)

где – модуль комплексной передаточной функции, а j – ее аргумент.

Рассмотрим комплексную передаточную функцию по напряжению

Подставляя в (1.5) запись комплексных действующих значений

Из сравнения этого выражения с (1.4) видно, что

т. е. модуль комплексной передаточной функции по напряжению (или комплексного коэффициента усиления по напряжению) показывает во сколько раз изменяется действующее значение (амплитуда) гармонического колебания напряжения на выходе цепи по сравнению с аналогичным значением на входе цепи, а аргумент этой функции определяет сдвиг фаз между гармоническими колебаниями напряжения на входе и выходе.

Точно так же можно найти:

Все сказанное выше о коэффициенте передачи по напряжению справедливо и для коэффициента передачи по току.

Если мы будем изменять частоту гармонического колебания, то выражение (1.4) следует записать в виде:

. (1.6)

Функция частоты называется амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ). Она показывает какие изменения в амплитуды гармонических колебаний вносит цепь на каждой частоте.

Функция частоты называется фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ). Соответственно эта характеристика показывает какой фазовый сдвиг приобретает гармоническое колебание каждой частоты при распространении по цепи.

Комплексную передаточную функцию можно представить также в алгебраической форме:

где Re и Im означают реальную и мнимую части комплексной величины.

Из теории комплексных величин известно, что

Пример 1.1

Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а .

Согласно (1.5) запишем

Найдем комплексную функцию на выходе цепи:

Подставив в формулу для , получим комплексную передаточную функцию:

;

Изменяя частоту w от 0 до Ґ , можем изобразить графики АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 1.2, б и в ).

АЧХ и ФЧХ цепи можно представить единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. При этом конец вектора опишет некоторую кривую, которая называется годографом комплексной передаточной функции (рис. 1.3).

Часто специалисты оперируют понятием логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ):

Значения величины К оцениваются в децибелах (дБ). В активных цепях, содержащих усилители, величину К называют еще логарифмическим усилением . Для пассивных цепей вместо коэффициента усиления вводят понятие ослабления цепи :

, (1.7)

которое также оценивается в децибелах.

Пример 1.2

Известно, что модуль коэффициента передачи по напряжению цепи принимает следующие значения:

f = 0 кГц Н (f ) = 1

f = 1 кГц Н (f ) = 0,3

f = 2 кГц Н (f ) = 0,01

f = 4 кГц Н (f ) = 0,001

f = 8 кГц Н (f ) = 0,0001

Изобразить график ослабления цепи.

Значения ослабления цепи, рассчитанные по (1.7), приведены в таблице:

f , кГц
А (f ), дБ

График А (f ) приведен на рис. 1.4.

Если вместо комплексных сопротивлений емкости и индуктивности иметь дело с операторными сопротивлениями емкости и индуктивность pL , то в выражении нужно заменить на р .

Операторная передаточная функция цепи может быть записана в общем виде как дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами:

или в виде

где – нули; – полюсы передаточной функции; .

Заменив в (1.8) оператор р на jw , вновь получим комплексную передаточную функцию цепи

где АЧХ цепи

Учитывая, что является иррациональной функцией, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

где коэффициенты получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях переменной w .

Пример 1.3

Найти коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ цепи, изображенной на рис. 1.5, а .

Коэффициент передачи по напряжению этой цепи равен

где Н = 1, , .

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функции,

Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,

На рис. 1.5, б показано расположение нулей и полюсов функции при .

По теореме Виета

Амплитудно-частотная характеристика определяется из путем замены р на и вычисления модуля полученной функции

Квадрат АЧХ запишется в виде

где ; ;

АЧХ цепи изображена на рис. 1.5, в .

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р . На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции . Выберем входное воздействие или в операторной форме . Изображение выходного напряжения в этом случае численно равно , т. е.

где – полином числителя передаточной функции; – коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения к оригиналу :

где в общем случае .

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (1.13) вещественные части полюсов должны быть отрицательными , т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной р .

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. n Ф m . Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией переменной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и бесконечно больших значений при w > 0. Неотрицательность следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

В большинстве цепей с зависимыми источниками имеется по крайней мере два пути прохождения сигнала: прямой (от входа к выходу) и обратный (с выхода на вход). Обратный путь прохождения сигнала реализуется с помощью специальной цепи обратной связи (ОС). Таких путей, а значит и цепей ОС, может быть несколько. Наличие в цепях с зависимыми источниками ОС придает им новые ценные качества, которыми не обладают цепи без ОС. Например, с помощью цепей ОС можно осуществить температурную стабилизацию режима работы цепи, уменьшить нелинейные искажения, возникающие в цепях с нелинейными элементами и т. д.

Любую цепь с обратной связью можно представить состоящей из двух четырехполюсников (рис. 1.6).

Активный линейный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению является усилителем. Его иногда называют основным элементом цепи и говорят, что он образует канал прямого усиления.

Пассивный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению называется цепью обратной связи. На входе цепи осуществляется суммирование входного напряжения и напряжения обратной связи .

Выведем формулу передаточной функции по напряжению цепи, изображенной на рис. 1.6. Пусть на вход подается напряжение . Его операторное изображения . На выходе цепи возникает напряжение . В соответствии с рис. 1.6 его операторное изображение

Операторное изображение можно записать через передаточную функцию цепи обратной связи

Тогда выражение (1.14) можно переписать в виде

Операторная передаточная функция по напряжению цепи с ОС (см. рис. 1.6).

. (1.16)

Пример 1.4

На рис. 1.7 изображена цепь на операционном усилителе (ОУ), предназначенная для масштабирования напряжения. Найти передаточную функцию этой цепи.

Получим передаточную функцию этой цепи как цепи с обратной связью, используя формулу (1.16).

Цепью обратной связи на схеме рис. 1.7 служит Г-образный делитель напряжения, составленный из резистивных сопротивлений и . Выходное напряжение усилителя поступает на вход цепи ОС; напряжение ОС снимается с резистора . Передаточная функция по напряжению цепи ОС

Воспользуемся формулой (1.16) и учтем, что входное напряжение и напряжение обратной связи не суммируются, а вычитаются. Тогда получим передаточную функцию масштабного усилителя:

Учитывая, что в реальных ОУ значение >> 1, окончательно имеем:

Пример 1.5

Звено на ОУ с частотно-зависимой ОС представлено на рис. 1.8. Найти передаточную функцию этого звена.

Чтобы проанализировать прямой путь прохождения сигнала и путь прохождения сигнала ОС, необходимо воспользоваться методом наложения. Для этого следует поочередно исключать источники входного напряжения и напряжения обратной связи, заменяя их внутренним сопротивлением. В случае идеальных источников напряжения их внутреннее сопротивление равно нулю. Напряжение , приложенное к звену, ослабляется входной цепью, представляющей собой Г-образный делитель напряжения с сопротивлениями и в плечах. Передаточная функция по напряжению такого делителя равна

Цепь обратной связи также является Г-образным четырехполюсником с передаточной функцией.

Коэффициент усиления ОУ .

В соответствии с формулой (1.16) получаем передаточную функцию звена:

Учитывая, что >> 1, получаем:

Данное звено может выполнять различные функции в зависимости от вида сопротивлений и . При и звено превращается в инвертирующий масштабный усилитель; при и – в интегратор; при и – в дифференциатор.

Пример 1.6

Звено второго порядка с регулируемым коэффициентом усиления представлено на рис. 1.9, а . Найти передаточную функцию этого звена.

Анализ прохождения входного сигнала и сигнала в цепи ОС показывает, что звено имеет входную цепь, изображенную на рис. 1.9, б и цепь ОС, показанную на рис. 1.9, в . Передаточные функции этих цепей можно получить матричным методом, например, рассматривая каждую цепь как каскадное соединение соответствующих Г-образных четырехполюсников.

Для входной цепи

Для цепи ОС

. (1.18)

С учетом (1.16) получим передаточную функцию звена

. (1.19)

Коэффициент передачи усилителя . Тогда, подставляя (1.17) и (1.18) в (1.19), после преобразования имеем

Переходя в (1.16) от оператора р к оператору , получаем комплексную передаточную функцию

. (1.20)

Произведение представляет собой комплексную передаточную функцию усилителя и цепи обратной связи при условии, что обратная связь разорвана (рис. 1.10). Функцию называют передаточной функцией по петле ОС или петлевым усилением . Введем понятия положительной и отрицательной обратной связи. Эти понятия играют заметную роль в теории цепей с обратной связью.

Предположим вначале, что передаточные функции , , не зависят от частоты и являются вещественными числами. Такая ситуация возможна, когда в цепи отсутствуют LC -элементы. При этом может быть как положительным, так и отрицательным числом. В первом случае сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями или, другими словами, сдвиг фаз по петле обратной связи равен нулю или , k = 0, 1, 2, ... Во втором случае, когда , сдвиг фаз по этой петле равен или .

Если в цепи с обратной связью сдвиг фаз по петле равен нулю, то обратная связь называется положительной , если же сдвиг фаз равен , то такая обратная связь называется отрицательной .

Передаточную функцию можно изобразить в виде векторов и показать их на комплексной плоскости. При положительной обратной связи вектор находится на положительной вещественной полуоси, а при отрицательной обратной связи – на отрицательной вещественной полуоси.

Кривая, которую описывает конец вектора при изменении частоты w (рис. 1.11), называется, как известно, годографом.

Представление в виде годографа позволяет определить вид обратной связи в случае частотнозависимой обратной связи.

Введем понятия устойчивой и неустойчивой цепи. Цепь называется устойчивой , если свободные колебания с течением времени стремятся к нулю. В противном случае цепь называется неустойчивой . Из теории переходных процессов следует, что цепь является устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р. Если корни такого уравнения лежат в правой полуплоскости, то цепь является неустойчивой, т. е. она находится в режиме самовозбуждения. Таким образом, для определения условий устойчивости цепи достаточно найти характеристическое уравнение и его корни. Как видим, условия устойчивости можно определить и не вводя понятие обратной связи. Однако здесь возникает ряд проблем. Дело в том, что вывод характеристического уравнения и определение его корней являются громоздкой процедурой, особенно для цепей высокого порядка. Введение понятия обратной связи облегчает получение характеристического уравнения или даже дает возможность обойтись без него. Крайне важно и то, что понятие обратной связи адекватно физическим процессам, возникающим в цепи, поэтому они становятся более наглядными. Глубокое понимание физических процессов облегчает работу по созданию автогенераторов, усилителей и т. д.

Рассмотрим цепь (см. рис. 1.6) и выведем ее характеристическое уравнение. Пусть и, значит, . Тогда из (1.15) следует:

. (1.22)

Если записать передаточную функцию основной цепи в виде , а цепи ОС – , то уравнение (1.22) перепишется следующим образом:

Это равенство выполняется при

Выражение в левой части этого равенства является полиномом, поэтому (1.23) можно записать в общем виде:

Это и есть характеристическое уравнение цепи.

Корни уравнения (1.24) в общем случае являются комплексными величинами

где . Зная корни характеристического уравнения, можно записать выходное напряжение:

Чтобы напряжение не возрастало безгранично, всем корням характеристического уравнения необходимо иметь отрицательные вещественные части, т. е. корни должны располагаться в левой полуплоскости комплексной переменной . Цепь с ОС, обладающая такими свойствами, называется абсолютно устойчивой.

При исследовании цепей с обратной связью могут возникать две проблемы. Если проектируемая цепь должна быть устойчивой, то необходимо располагать критерием, который по виду функций и позволял бы судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой полуплоскости р . Если обратная связь используется для создания неустойчивой автоколебательной цепи, то следует убедиться, что корни уравнения (1.24) расположены, наоборот, в правой полуплоскости. При этом необходимо иметь такое расположение корней, при котором самовозбуждение происходило бы на требуемой частоте.

Рассмотрим критерий устойчивости цепи, названный критерием Найквиста, и позволяющий судить об устойчивости цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи (рис. 1.10).

Передаточная функция разомкнутой цепи, или петлевое усиление, входит в характеристическое уравнение (1.22):

, (1.26)

Если найдется такая частота w , для которой конец вектора попадает в точку с координатами (1, j 0), то это будет означать, что выполняется условие (1.26), т. е. на этой частоте в цепи произойдет самовозбуждение. Значит, по годографу можно определить, устойчива цепь или нет. Для этого используется критерий Найквиста, который формулируется следующим образом: если годограф передаточной функции разомкнутой цепи не охватывает точку с координатами (1, j 0), то при замкнутой цепи обратной связи цепь является устойчивой. В том случае, когда годограф охватывает точку (1, j Х 1 можно записать в виде двух условий:в стационарной режиме. К = 2, кривая 1) и неустойчивой (К = 3, кривая 2; К = 4, кривая 3) цепи.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны?

2. Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а , если выходным напряжением является напряжение на резисторе R . Построить графики АЧХ и ФЧХ.

Ответ : ; ; 90° – arctg wRC .

3. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для П-образного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L , а в поперечные ветви – емкость С . Ответ : .

4. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.2, а , при R = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ : 12 дБ.

5. Что такое операторная передаточная функция? Как она связана с комплексной передаточной функцией? Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

6. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 1.5, а , если выходным напряжением является напряжение на емкости С . Построить график АЧХ цепи.

Ответ : ; .

7. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.

8. Как рассчитывается передаточная функция цепи с обратной связью?

9. Доказать, что операторная передаточная функция дифференциатора на операционном усилителе равна (–pRC ). Построить график АЧХ такого дифференциатора.

11. Определить передаточную функцию фильтра, изображенного на рис. 1.13.

Ответ : .

12. Что такое годограф петлевого усиления? Как по годографу определить тип обратной связи?

13. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста? Для каких цепей он используется?

14. Определить комплексную передаточную функцию разомкнутой цепи, изображенной на рис. 1.13. Исследуйте зависимость устойчивости цепи от величины коэффициента усиления К .