Свойство параллельных прямых по накрест лежащим углам. Свойства параллельных прямых

ГЛАВА III.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ

§ 35. ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ ПРЯМЫХ.

Теорема о том, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны (§ 33), даёт признак параллельности двух прямых. Можно вывести более общие признаки параллельности двух прямых.

1. Первый признак параллельности.

Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и / 1 = / 2. Возьмём точку О - середину отрезка КL секущей ЕF (черт. 189).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ_|_МN. Докажем, что и СD_|_МN.
Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: / 1 = / 2 по условию теоремы; ОK = ОL - по построению;
/ МОL = / NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, /\ МОL = /\ NОК, а отсюда и
/ LМО = / КNО, но / LМО прямой, значит, и / КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны (§ 33), что и требовалось доказать.

Примечание. Пересечение прямых МО и СD может быть установлено путём поворота треугольника МОL вокруг точки О на 180°.

2. Второй признак параллельности.

Посмотрим, будут ли параллельны прямые АВ и СD, если при пересечении их третьей прямой ЕF равны соответственные углы.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например / 3 = / 2 (черт. 190);
/ 3 = / 1, как углы вертикальные; значит, / 2 будет равен / 1. Но углы 2 и 1 - внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

На этом свойстве основано построение параллельных прямых при помощи линейки и чертёжного треугольника. Выполняется это следующим образом.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на чертеже 191. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть нам известно, что при пересечении двух прямых АВ и СD третьей прямой сумма каких-нибудь внутренних односторонних углов равна 2d (или 180°). Будут ли в этом случае прямые АВ и СD параллельны (черт. 192).

Пусть / 1 и / 2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d .
Но / 3 + / 2 = 2d , как углы смежные. Следовательно, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Отсюда / 1 = / 3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d, то эти две прямые параллельны.

Упражнение.

Доказать, что прямые параллельны:
а) если внешние накрест лежащие углы равны (черт. 193);
б) если сумма внешних односторонних углов равняется 2d (черт. 194).

Они не пересекаются, сколько бы их ни продолжали. Параллельность прямых на письме обозначают так: AB || С E

Возможность существования таких прямых доказывается теоремой.

Теорема.

Через всякую точку, взятую вне данной прямой, можно провести параллельную этой прямой .

Пусть AB данная прямая и С какая-нибудь точка, взятая вне ее. Требуется доказать, что через С можно провести прямую, параллельную AB . Опустим на AB из точки С перпендикуляр С D и затем проведем С E ^ С D , что возможно. Прямая CE параллельна AB .

Для доказательства допустим противное, т.е., что CE пересекается с AB в некоторой точке M . Тогда из точки M к прямой С D мы имели бы два различных перпендикуляра M D и MС , что невозможно. Значит, CE не может пересечься с AB , т.е. С E параллельна AB .

Следствие.

Два перпендикуляра (С E и DB ) к одной прямой (С D ) параллельны.

Аксиома параллельных линий.

Через одну и ту же точку нельзя провести двух различных прямых, параллельных одной и той же прямой.

Так, если прямая С D , проведенная через точку С параллельна прямой AB , то всякая другая прямая С E , проведенная через ту же точку С , не может быть параллельна AB , т.е. она при продолжении пересечется с AB .

Доказательство этой не вполне очевидной истины оказывается невозможным. Ее принимают без доказательства, как необходимое допущение (postulatum).

Следствия.

1. Если прямая (С E ) пересекается с одной из параллельных (СВ ), то она пересекается и с другой (AB ), потому что в противном случае через одну и ту же точку С проходили бы две различные прямые, параллельные AB , что невозможно.

2. Если каждая из двух прямых (A и B ) параллельны одной и той же третьей прямой (С ) , то они параллельны между собой.

Действительно, если предположить, что A и B пересекаются в некоторой точке M , то тогда через эту точку проходили бы две различные прямые, параллельные С , что невозможно.

Теорема .

Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой параллельной .

Пусть AB || С D и EF ^ AB .Требуется доказать, что EF ^ С D .

Перпендикуляр E F , пересекаясь с AB , непременно пересечет и С D . Пусть точка пересечения будет H .

Предположим теперь, что С D не перпендикулярна к EH . Тогда какая-нибудь другая прямая, например HK , будет перпендикулярна к EH и, следовательно через одну и ту же точку H будут проходить две прямые параллельные AB : одна С D , по условию, а другая HK по доказанному раньше. Так как это невозможно, то нельзя допустить, что СВ была не перпендикулярна к EH .

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» содержит доказательство теорем, которые описывают признаки, означающие параллельность прямых. При этом в видео описывается 1) теорема о параллельности прямых, при которых секущей созданы равные углы, 2) признак, означающий параллельность двух прямых - по равным образованным соответственным углам, 3) признак, означающий параллельность двух прямых в случае, когда при их пересечении секущей односторонние углы в сумме составляют 180°. Задача данного видеоурока - ознакомить учеников с признаками, означающими параллельность двух прямых, знание которых необходимо для решения многих практических задач, наглядно представить доказательство данных теорем, формировать навыки в доказательстве геометрических утверждений.

Преимущества видеоурока связаны с тем, что при помощи анимации, голосового сопровождения, возможности выделения цветом, он обеспечивает высокую степень наглядности, может послужить заменой подачи стандартного блока нового учебного материала учителем.

Начинается видеоурок с выведения на экран названия. Перед описанием признаков параллельности прямых ученики знакомятся с понятием секущей. Дается определение секущей как прямой, которая пересекает другие прямые. На экране изображены две прямые a и b, которые пересекаются прямой с. Построенная прямая с выделена синим цветом, акцентируя внимание на том, что они является секущей данных прямых а и b. Для того чтобы рассматривать признаки параллельности прямых необходимо более детально ознакомиться с областью пересечения прямых. Секущая в точках пересечения с прямыми образует 8 углов ∠1, ∠2, ∠3, ∠4, ∠5, ∠6, ∠7, ∠8, анализируя соотношения которых можно вывести признаки параллельности данных прямых. Отмечается, что углы ∠3 и ∠5, а также ∠2 и ∠4 называются накрест лежащими. Дается подробное объяснение при помощи анимации расположения накрест лежащих углов как углов, которые лежат между параллельными прямыми, и примыкают к прямым, располагаясь накрест. Затем дается понятие односторонних углов, в число которых входят пары ∠4 и ∠5, а также ∠3 и ∠6. Также указываются пары соответственных углов, которых на построенном изображении 4 пары - ∠1-∠5, ∠4-∠8, ∠2-∠6, ∠3-∠7.

В следующей части видеоурока рассматриваются три признака параллельности любых двух прямых. На экран выводится первое описание. Теорема утверждает, что при равенстве накрест лежащих углов, образуемых секущей, данные прямые будут параллельны. Утверждение сопровождается рисунком, на котором изображены две прямые а и b и секущая АВ. Отмечается, что образуемые накрест лежащие углы ∠1 и ∠2 равны между собой. Данное утверждение требует доказательства.

Наиболее просто доказываемый частный случай - когда данные образуемые накрест лежащие углы являются прямыми. Это означает, что секущая является перпендикуляром к прямым, а по уже доказанной теореме в этом случае прямые а и b не будут пересекаться, то есть являются параллельными. Доказательство для данного частного случая описывается на примере изображения, построенного рядом с первым рисунком, выделяя важные детали доказательства при помощи анимации.

Для доказательства в общем случае необходимо проведение дополнительного перпендикуляра из середины отрезка АВ на прямую а. Далее на прямой b откладывается отрезок ВН 1 , равный отрезку АН. Из полученной при этом точки Н 1 проводится отрезок, соединяющий точки О и Н 1 . Далее рассматриваются два треугольника ΔОНА и ΔОВН 1 , равенство которых доказывается по первому признаку равенства двух треугольников. Стороны ОА и ОВ равны по построению, так как точка О отмечалась как середина отрезка АВ. Стороны НА и Н 1 В также равны по построению, так как мы откладывали отрезок Н 1 В, равный НА. А углы ∠1=∠2 по условию задачи. Так как образованные треугольники равны между собой, то и соответствующие оставшиеся пары углов и сторон также равны между собой. Из этого следует, что и отрезок ОН 1 является продолжением отрезка ОН, составляя один отрезок НН 1 . При этом отмечается, что так как построенный отрезок ОН - перпендикуляр к прямой а, то соответственно и отрезок НН 1 является перпендикулярным к прямым а и b. Данный факт означает, используя теорему о параллельности прямых, к которым построен один перпендикуляр, что данные прямые а и b являются параллельными.

Следующая теорема, требующая доказательства - признак равенства параллельных прямых по равенству соответственных углов, образованных при пересечении секущей. Утверждение указанной теоремы выведено на экран и может быть предложено под запись учениками. Доказательство начинается с построения на экране двух параллельных прямых а и b, к которым построена секущая с. Выделенная на рисунке синим цветом. Секущей образованы соответственные углы ∠1 и ∠2, которые по условию равны между собой. Также отмечаются смежные углы ∠3 и ∠4. ∠2 по отношению к углу ∠3 является вертикальным углом. А вертикальные углы всегда равны. К тому же углы ∠1 и ∠3 являются накрест лежащими между собой - их равенство (по уже доказанному утверждению) означает, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Последняя часть видеоурока посвящена доказательству утверждения о том, что если сумма односторонних углов, которые образованы при пересечении двух некоторых прямых секущей прямой, будет равняться 180°, в этом случае данные прямые будут параллельны между собой. Доказательство демонстрируется, используя рисунок, на котором изображены прямые а и b, пересекающиеся с секущей с. Образованные пересечением углы отмечены аналогично предыдущему доказательству. По условию, сумма углов ∠1 и ∠4 равна 180°. При этом известно, что сумма углов ∠3 и ∠4 равна 180°, так как они являются смежными. Это означает, что углы ∠1 и ∠3 равны между собой. Данный вывод дает право утверждать, что прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Видеоурок «Признаки параллельности двух прямых» может быть использован учителем в качестве самостоятельного блока, демонстрирующего доказательства названных теорем, заменяющего объяснение учителя или сопровождающего его. А подробное объяснение дает возможность использовать материал для самостоятельного изучения учениками и поможет в объяснении материала при дистанционном обучении.

1. Первый признак параллельности.

Пусть прямые АВ и СD пересечены прямой ЕF и ∠1 = ∠2. Возьмём точку О - середину отрезка КL секущей ЕF (рис.).

Опустим из точки О перпендикуляр ОМ на прямую АВ и продолжим его до пересечения с прямой СD, АВ ⊥ МN. Докажем, что и СD ⊥ МN.

Для этого рассмотрим два треугольника: МОЕ и NОК. Эти треугольники равны между собой. В самом деле: ∠1 = ∠2 по условию теоремы; ОK = ОL - по построению;

∠МОL = ∠NОК, как вертикальные углы. Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника; следовательно, ΔМОL = ΔNОК, а отсюда и ∠LМО = ∠КNО,
но ∠LМО прямой, значит, и ∠КNО тоже прямой. Таким образом, прямые АВ и СD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, следовательно, они параллельны, что и требовалось доказать.

2. Второй признак параллельности.

Пусть какие-нибудь соответственные углы равны, например ∠ 3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, как углы вертикальные; значит, ∠2 будет равен ∠1. Но углы 2 и 1 - внутренние накрест лежащие углы, а мы уже знаем, что если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.

Приложим треугольник к линейке так, как это показано на рис. Будем передвигать треугольник так, чтобы одна его сторона скользила по линейке, а по какой-либо другой стороне треугольника проведём несколько прямых. Эти прямые будут параллельны.

3. Третий признак параллельности.

Пусть ∠1 и ∠2-внутренние односторонние углы и в сумме составляют 2d .

Но ∠3 + ∠2 = 2d , как углы смежные. Следовательно, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Отсюда ∠1 = ∠3, а эти углы внутренние накрест лежащие. Следовательно, АВ || СD.

Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 2 d (или 180°), то эти две прямые параллельны.

Признаки параллельных прямых:

1. Если при пересечении двух прямых третьей внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
2.Если при пересечении двух прямых третьей соответственные углы равны, то эти две прямые параллельны.
3. Если при пересечении двух прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то эти две прямые параллельны.
4. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.
5. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Аксиома параллельности Евклида

Задача. Через точку М, взятую вне прямой АВ, провести прямую, параллельную прямой АВ.

Пользуясь доказанными теоремами о признаках параллельности прямых, можно эту задачу решить различными способами,

Решение. 1-й с п о с о б (черт. 199).

Проводим МN⊥АВ и через точку М проводим СD⊥МN;

получаем СD⊥МN и АВ⊥МN.

На основании теоремы ("Если две прямые перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.") заключаем, что СD || АВ.

2-й с п о с о б (черт. 200).

Проводим МК, пересекающую АВ под любым углом α, и через точку М проводим прямую ЕF, образующую с прямой МК угол ЕМК, равный углу α. На основании теоремы () заключаем, что ЕF || АВ.

Решив данную задачу, можем считать доказанным, что через любую точку М, взятую вне прямой АВ, можно провести прямую, ей параллельную. Возникает вопрос, сколько же прямых, параллельных данной прямой и проходящих через данную точку, может существовать?

Практика построений позволяет предполагать, что существует только одна такая прямая, так как при тщательно выполненном чертеже прямые, проведённые различными способами через одну и ту же точку параллельно одной и той же прямой, сливаются.

В теории ответ на поставленный вопрос даёт так называемая аксиома параллельности Евклида; она формулируется так:

Через точку, взятую вне дaнной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

На чертеже 201 через точку О проведена прямая СК, параллельная прямой АВ.

Всякая другая прямая, проходящая через точку О, уже не будет параллельна прямой АВ, а будет её пересекать.

Принятая Евклидом в его "Началах" аксиома, которая утверждает, что на плоскости через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой, называется аксиомой параллельности Евклида .

Более двух тысячелетий после Евклида многие учёные-математики пытались доказать это математическое предложение, но всегда их попытки оказывались безуспешными. Только в 1826 г. великий русский учёный, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский доказал, что, используя все другие аксиомы Евклида, это математическое предложение доказать нельзя, что оно действительно должно быть принято за аксиому. Н. И. Лобачевский создал новую геометрию, которая в отличие от геометрии Евклида названа геометрией Лобачевского.

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они являются параллельными:

Если a ||c и b ||c , то a ||b .

2. Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны:

Если a ⊥c и b ⊥c , то a ||b .

Остальные признаки параллельности прямых основаны на углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

3. Если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны:

Если ∠1 + ∠2 = 180°, то a ||b .

4. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠2 = ∠4, то a ||b .

5. Если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны:

Если ∠1 = ∠3, то a ||b .

Свойства параллельных прямых

Утверждения, обратные признакам параллельности прямых, являются их свойствами. Они основаны на свойствах углов, образованных пересечением двух параллельных прямых третьей прямой.

1. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, сумма образованных ими внутренних односторонних углов равна 180°:

Если a ||b , то ∠1 + ∠2 = 180°.

2. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими соответственные углы равны:

Если a ||b , то ∠2 = ∠4.

3. При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, образованные ими накрест лежащие углы равны:

Если a ||b , то ∠1 = ∠3.

Следующее свойство является частным случаем для каждого предыдущего:

4. Если прямая на плоскости перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой:

Если a ||b и c ⊥a , то c ⊥b .

Пятое свойство - это аксиома параллельности прямых:

5. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.