Свойства жидкого состояния. Поверхностный слой

Локальная теорема Муавра -Лапласа. 0 и 1, то вероятность Р т п того , что событие А произойдет т раз в п независимых испытаниях при достаточно большом числе п, приближенно равна

- функция Гаусса и

Чем больше и, тем точнее приближенная формула (2.7), называемая локальной формулой Муавра-Лапласа. Приближенные значения вероятности Р тпУ даваемые локальной формулой (2.7), на практике используются как точные при пру порядка двух и более десятков, т.е. при условии пру > 20.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы (2.7), составлена таблица значений функции /(х) (табл. I, приведенная в приложениях). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду очевидные свойства функции /(х) (2.8).

• 1. Функция /(х) является четной , т.е. /(-х) = /(х).
• 2. Функция /(х) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х -> со /(х) -» 0.
• (Практически можно считать, что уже при х > 4 /(х) « 0.)

[> Пример 2.5. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р = 80/100 = 0,8. Так как п = 100 достаточно велико (условие пру = = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 выполнено), то применяем локальную формулу Муавра - Лапласа.

Вначале определим по формуле (2.9)

Тогда по формуле (2.7)

(значение /(2,50) найдено по табл. I приложений). Весьма малое значение вероятности /300,400 не должно вызывать сомнения, так как кроме события

«ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна единице. ?

Пусть в условиях примера 2.5 необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события

В принципе вычислить каждое слагаемое можно по локальной формуле Муавра - Лапласа, но большое количество слагаемых делает расчет весьма громоздким. В таких случаях используется следующая теорема.

Интегральная теорема Муавра - Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того , что число т наступления события А в п независимых испытаниях заключено в пределах от а до Ь (включительно ), при достаточно большом числе п приближенно равна

- функция (или интеграл вероятностей) Лапласа",

(Доказательство теоремы приведено в параграфе 6.5.)

Формула (2.10) называется интегральной формулой Муавра-Лапласа. Чем больше п, тем точнее эта формула. При выполнении условия пру > > 20 интегральная формула (2.10), так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

Функция Ф(дг) табулирована (см. табл. II приложений). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции Ф(х).

1. Функция ф(х) нечетная, т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

? Сделаем замену переменной? = -г. Тогда (к =

= -(12. Пределами интегрирования но переменной 2 будут 0 и х. Получим

поскольку величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования. ?

2. Функция Ф(х)монотонно возрастающая , причем при х -> +со ф(.г) -> 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х)~ 1).

Так как производная интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции при значении верхнего предела, г.с.

, и всегда положительна, то Ф(х) монотонно возрастает

на всей числовой прямой.

Сделаем замену переменнойтогда пределы интегрирования не меняются и

(так как интеграл от четной функции

Учитывая, что (интеграл Эйлера - Пуассона), получим

?

О Пример 2.6. По данным примера 2.5 вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Применяем интегральную теорему Муавра - Лапласа {пру = 64 > 20). Вначале определим по формулам (2.12)

Теперь по формуле (2.10), учитывая свойства Ф(.т), получим

(по табл. II приложений ?

Рассмотрим следствие интегральной теоремы Муавра - Лапласа. Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и I, то при достаточно большом числе п независимых испытаний вероятность того, что:

а) число т наступлений события А отличается от произведения пр не более чем на величину е > 0 {по абсолютной величине), т.е.

б) частость т/п события А заключена в пределах от а до р (вклю - чительноУ , т.е.

в) частость события А отличается от его вероятности р не более чем на величину А > 0 {по абсолютной величине ), т.е.

А) Неравенство |/?7-7?/?| равносильно двойному неравенству пр-е Поэтому по интегральной формуле (2.10)

• б) Неравенство а равносильно неравенству а при а = па и Ь = /?р. Заменяя в формулах (2.10), (2.12) величины а и Ь полученными выражениями, получим доказываемые формулы (2.14) и (2.15).
• в) Неравенство mjn- р равносильно неравенству т-пр Заменяя в формуле (2.13) г = Ап, получим доказываемую формулу (2.16). ?

[> Пример 2.7. По данным примера 2.5 вычислить вероятность того, что от 280 до 360 семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Вычислить вероятность Р 400 (280 т пр = 320. Тогда по формуле (2.13)

[> Пример 2.8. По статистическим данным, в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет.

• 1. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более чем на 0,04 (но абсолютной величине).
• 2. При каком числе новорожденных с надежностью 0,95 доля доживших до 50 лет будет заключена в границах от 0,86 до 0,88?

Решение. 1, а) Вероятность р того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Так как п = 1000 велико (условие прд =1000 0,87 0,13 = = 113,1 > 20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра - Лапласа. Вначале определим по формулам (2.15)

Теперь по формуле (2.14)

1, б) По формуле (2.16)

Таккак неравенство равносильно неравенству

полученный результат означает, что практически достоверно, что от 0,83 до 0,91 числа новорожденных из 1000 доживут до 50 лет. ?

2. По условию или

По формуле (2.16) при А = 0,01

По табл. II приложений Ф(Г) = 0,95 при Г = 1,96, следовательно,

откуда

т.е. условие (*) может быть гарантировано при существенном увеличении числа рассма триваемых новорожденных до п = 4345. ?

• Доказательство теоремы приведено в параграфе 6.5. Вероятностный смысл величинпр, прс{ устанавливается в параграфе 4.1 (см. замечание на с. 130).
• Вероятностный смысл величины рч/п устанавливается в параграфе 4.1.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИЗАЙНА И ТЕХНОЛОГИИ

КАФЕДРА ФИЗИКИ

С.М. РАЗИНОВА, В.Г. СИДОРОВ

Молекулярная физика определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах

Методические указания к лабораторной работе № 23

Утверждено в качестве методического пособия

Редакционно-издательским советом МГУДТ

Куратор РИС Козлов А.С.

Работа рассмотрена на заседании кафедры физики и рекомендована к печати.

Сидоров В.Г., доц. к.т.н.

Рецензент: доц. Родэ С.В., к.ф.-м.н.

Р-23 Разинова С.М. Молекулярная физика. Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах .: методические указания к лабораторной работе № 23/ Разинова С.М., Сидоров В.Г. - М.: ИИЦ МГУДТ, 2004 – 11 стр.

Методические указания к выполнению лабораторной работы № 23 по теме «Молекулярная физика.Определение коэффициента поверхностного натяжения жидкости методом поднятия жидкости в капиллярах» содержит теоретический раздел, посвященный проявлениям сил поверхностного натяжения, механизму возникновения добавочного давления и расчет его величины, явлениям на границе жидкости и твердого тела, а также описание установки и принципа измерений, порядка выполнения работы, контрольные вопросы для допуска и защиты лабораторной работы.

Предназначен для студентов специальностей: 06.08, 17.07, 21.02, 22.03, 25.06, 25.08, 25.09, 28.10, 28.11, 28.12, 33.02.

© Московский государственный университет

дизайна и технологии, 2004

Лабораторня работа № 23.

“ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ МЕТОДОМ ПОДНЯТИЯ ЖИДКОСТИ В КАПИЛЛЯРАХ”.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: ознакомление с теоретическими основами явления поверхностного натяжения и определение коэффициента поверхностного натяжения.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: измерительный микроскоп, сосуд с водой, два капилляра, штатив с держателем.

Введение

1. Давление под изогнутой поверхностью воды. Формула Лапласа.

Одним из проявлений сил поверхностного натяжения является возникновение добавочного давления под искривленной поверхностью жидкости.

Рассмотрим механизм возникновения этого давления и рассчитаем его величину.

Представим себе изогнутую сферическую поверхность с радиусом кривизны R и центром кривизны в т. О. Выделим на этой поверхности участок, ограниченный круговым контуром c радиусом r (рис. 1). На каждый отрезок контурабудет действовать сила поверхностного натяженияF  i , направленная по касательной к поверхности перпендикулярно отрезку контура .

Добавочное давление создается за счёт составляющей силы F  i , перпендикулярной поверхности сечения радиуса r площадью S= r 2 .

.

Силу F поверхностного натяжения можно выразить из определения коэффициента поверхностного натяжения, как F= = 2 r , тогда

.

Так как cos=r/R , то

Если в формуле (1) подставить вместо радиуса R значение кривизны поверхности H=1/R , то получим:

Лаплас доказал, что формула (2) для поверхности любой формы, если под Н понимать среднюю кривизну поверхности в той точке, под которой определяется дополнительное давление. В геометрии доказывается, что величина, равная

, (3)

остается постоянной для любой пары взаимно перпендикулярных нормальных сечений, проведенных через точку произвольной поверхности. Эту величину назвали средней кривизной поверхности в данной точке. Радиусы R 1 и R 2 могут иметь разные знаки в зависимости от того, где лежит центр кривизны: если центр кривизны лежит под поверхностью (рис.2, а), то радиус положителен, составляющие силы поверхностного натяжения направлены вниз и, следовательно, возникающая добавочная сила давления направлена также вниз; если центр кривизны лежит над поверхностью (рис.2, б), то радиус отрицателен, составляющиесилы поверхностного натяжения будут направлены вверх, они и создают силу давления, направленную вверх. В случае плоской поверхности (рис.2,в) добавочное давление отсутствует (у касательной к поверхности силы натяжения нет перпендикулярной к ней составляющей).

Если в формулу (2) подставить (3), то получим:

(4)

Эта формула носит название ФОРМУЛЫ ЛАПЛАСА , она дает возможность рассчитать добавочное давление, возникающее под произвольно изогнутой поверхностью жидкости.

2.Явления на границе жидкости и твердого тела . При соприкосновении жидкости и твердого тела с твердым телом необходимо учитывать как силы взаимодействия между молекулами жидкости, так и силы взаимодействия между молекулами жидкости и твердого тела. Если силы сцепления жидкости и твердого тела больше сил сцепления частиц жидкости, жидкость называется СМАЧИВАЮЩЕЙ данное твердое тело, если наоборот, то жидкость будет НЕСМАЧИВАЮЩЕЙ это тело. Одно и то же тело может смачиваться одной жидкостью и не смачиваться другой. Например, стекло смачивается водой и не смачивается ртутью.

Посмотрим, как ведет себя смачивающая жидкость около стенок сосуда (рис. 3, а). Рассмотрим сферу молекулярного действия ближайшей к стенке молекулы поверхности жидкости. На эту молекулу будут действовать силы F 1 - со стороны молекул твердого тела и F 2 - со стороны молекул жидкости. Так как для смачивающей жидкости F 1 F 2 , то равнодействующая F будет направлена вглубь жидкости, перпендикулярно ее поверхности, поэтому поверхность жидкости вблизи стенки не горизонтальна, а изгибается вверх. В случае несмачивающей жидкости, по аналогии, поверхность жидкости вблизи стенок изгибается вверх (рис.3, б). Итак, поверхность свободной жидкости вблизи стенок искривляется.

Степень смачиваемости жидкостей характеризуется КРАЕВЫМ УГЛОМ, равным углу между касательными к поверхности жидкости и поверхности твердого тела. В случае смачивания этот угол (рис.3, а) , если, то говорят о полном смачивании жидкостью твердого тела. В случае не смачивания краевой уголтупой:(рис.3, б), если, то говорят о полном несмачивании.

Рисунок 4,а показывает вид капли смачивающей жидкости на горизонтальной поверхности, рисунок 4,б - вид капли жидкости, не смачивающей поверхности.

3. Капиллярность. Если в жидкость погрузить широкую трубу, то в соответствии с рис. 3 поверхность жидкости у стенок искривится. Такого рода изогнутые поверхности носят название менисков.

Если же трубка будет достаточно узкой, то поверхность мениска примет сферическую форму, или ближайшую к ней, при этом радиус кривизны поверхности жидкости будет того же порядка, что и радиус трубки. Образующееся искривление поверхности жидкости вызовет появление добавочного давления, величина которого определяется в самом общем случае формулой (4) Лапласа. Возникшее дополнительное давление в случае смачивания приведет к подъему жидкости в узкой трубке на некоторую высоту (Рис.5, а), а в случае не смачивания - к ее опусканию (Рис.5, б).

Рассмотрим это явление подробно.

Если, например, жидкость в трубке смачивающая, то добавочное давление жидкости под поверхностью мениска будет направлено вверх (рис.2, б), а величина его в соответствии с (1) будет равна

где  - коэффициент поверхностного натяжения, R - радиус кривизны поверхности жидкости (как указывалось выше, поверхность жидкости в узкой трубке можно считать частью сферы радиуса R).

Так как в сосуде, в который опущена трубка, под плоской поверхностью добавочное давление равно нулю, то в трубке жидкость поднимается на такую высоту, при которой гидростатическое давление столба жидкости уравновесит лапласовское добавочное давление р. Гидростатическое давление, создаваемое столбом жидкости высотой h, равно gh, где  - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения, тогда условие равновесия примет вид:

Из рисунка (5) видно, что , где - краевой угол смачивания, тогда из формулы (5) можно найти связь между высотой h подъема жидкости по узкой трубки и радиусом трубки r.

Из (6) видно, что высота поднятия в узкой трубке тем больше, чем меньше ее радиус, поэтому поднятие жидкостей особенно заметно в узких трубках. Такие трубки носят название КАПИЛЛЯРОВ , а само явление поднятия или опускания в них жидкостей - КАПИЛЛЯРНОСТЬЮ.

Основываясь на изложенной теории можно экспериментально определить коэффициент поверхностного натяжения жидкости.

Рассмотрим выпуклую поверхность (рис. 5.18), кривизна ко­торой в точке О для каждого из двух взаимно перпендикуляр­ных нормальных сечений различна. Пусть я-внешняя нормаль

к поверхности в точке О; MN и Р г Р 2 -главные сечения. Вы­делим мысленно элемент поверхности AS U и рассчитаем силы поверхностного натяжения, действующие на отрезки АВ и CD, АС и BD, полагая, что АВ = CD и AC ~ BD. На каждую еди­ницу длины контура ABDC действует сила поверхностного на­тяжения а окружающей жидкости, стремящаяся растянуть элемент поверхности AS n во все стороны. Все силы, действую­щие на сторону АВ, заменим одной равнодействующей силой A.F, приложенной к середине отрезка АВ = А/ в перпендикуные параллельно п, только в них вместо R x будет радиус кри­визны £? 2 перпендикулярного сечения Р г Р. г. Радиус R 2 изобра­жен на рис. 5.18 отрезком P-fi". Отсюда равнодействующая AF-* всех нормальных сил, действующих на четыре стороны

элемента поверхности А5 П, AF~ = ДК. + AF, + af s f AF. = V af, да (rAS n | - -|- -V

Сила AF^ прижимает элемент поверхности А5 П к слоям, распо­ложенным ниже его. Отсюда среднее давление р ср, обусловлен­ное искривлением поверхности,

Чтобы получить давление р а в точке, устремим AS, к нулю. Переходя к пределу отношения AF^ к площади as n , на кото­рую действует эта сила, получим AF^ dF.

AS n -*o AS n dS n \ R, R 2

Но по определению

p. = о 14-+ 4-\ (5 - 8)

p„ = a I ■

где R lt R 2 - главные радиусы кривизны в данной точке по­верхности.

В дифференциальной геометрии выражение е = -~ ^--\-

J--) называют средней кривизной поверхности в точке Р.

Она имеет одно и то же значение для всех пар нормальных се­чений, перпендикулярных друг к другу.

Выражение (5.8), устанавливающее зависимость перепада гидростатического давления р а на поверхности раздела двух фаз (жидкость - жидкость, жидкость -■ газ или пар) от меж­фазного поверхностного натяжения а и средне!! кривизны по­верхности 8 в рассматриваемой точке называется формулой Лапласа в честь французского физика Лапласа.

Величина р а прибавляется к капиллярному давлению р ь соответствующему плоской поверхности. Если поверхность вог­нута, тогда в формуле (5.8) ставится знак минус. В общем случае произвольной поверхности радиусы кривизны R x и R 2 мо­гут отличаться друг от друга как по величине, так и по зна­ку. Так, например, у поверхности, изображенной на рис. 5.19, радиусы кривизны R x и R 2 в двух взаимно перпендикулярных нормальных сечениях различны по величине и знаку. Этот слу­чай может привести к положительным или отрицательным зна­чениям р а в зависимости от абсолютной величины R x и R 2 . Принято считать, что если центр кривизны нормального сече­ния находится под поверхностью, то соответствующий ей ра­диус кривизны является положительным, если над поверх­ностью - отрицательным. Поверхности, средняя кривизна которых

во всех точках равна нулю е == ~(~--1" - 0 , называ­ют минимальными поверхностями. Если в одной точке такой поверхности /? 1 >0, то автоматически /? 2 <С0.

Для сферы любое нормальное сечение представляет собой окружность радиуса R, поэтому в формуле (5.8) /? х = R 2 = R и добавочное капиллярное давление

Р. = ~. (5-9)

Для мыльного пузыря вследствие существования у него внеш­ней и внутренней поверхностей

Р*=-~- (5-Ю)

Если для кругового цилиндра одним из нормальных сечений считать сечение, идущее вдоль образующей, то R x = со. Второе, перпендикулярное к нему сечение дает окружность радиуса

R (R 2 = R). Поэтому в соответствии с формулой (5.8) добавочное капиллярное давление под цилиндрической поверхностью

Р. = -}|- (5-И)

Из выражений (5.9) - (5.11) видно, что при изменении фор­мы поверхности меняется лишь коэффициент перед отношением a/R. Если поверхность жидкости плоская, то R x ~ R 2 = со и, следовательно, р з = 0. В этом случае суммарное давление

Р = Pi ± р а = Pi ± 0 = p t .

Добавочное капиллярное давление, определяемое формулой Лапласа, всегда направлено к центру кривизны. Поэтому для выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости, для вогнутой -наружу. В первом случае оно прибавляется к ка­пиллярному давлению p h во втором--вычитается из него. Ма­тематически это учитывается тем, что для выпуклой поверхности радиус кривизны считается положительным, для вогнутой - от­рицательным.

Качественную зависимость добавочного капиллярного давле­ния от кривизны поверхности можно наблюдать на следующем опыте (рис. 5.20). Концы А я В стеклянного тройника опускают в раствор мыльной воды. В результате оба конца тройника затя­гиваются мыльной пленкой. Вынув тройник из раствора, через отросток С выдувают два мыльных пузыря. Как правило, вслед­ствие различных причин пузыри имеют разные размеры. Если закрыть отверстие С, то пузырь большего размера будет постепен­но раздуваться, а меньшего-сокращаться. Это убеждает нас в том, что капиллярное давление, вызванное кривизной поверх­ности, растет с уменьшением радиуса кривизны.

Чтобы составить представление о величине добавочного ка: пиллярного давления, вычислим его для капли диаметра 1 мкм (примерно из таких капель часто состоят облака):

2а 2.72,75-Ю- 3 „ мгт

р --= -==-= 0,1455 МПа.

5.8. Смачивание

Поверхностным натяжением обладает не только свободная поверхность жидкости, но и граница раздела двух жидкостей, жидкости и твердого тела, а также свободная поверхность твердого тела. Во всех случаях поверхностная энергия опреде­ляется как разность между энергией молекул у поверхности раздела и энергией в объеме соответствующей фазы. При этом величина поверхностной энергии на границе раздела зависит от свойств обеих фаз. Так, например, на границе вода - воздух а = 72,75-10 ~ 3 Н/м (при 20 °С и нормальном атмосферном дав­лении), на границе вода-эфир а= 12-10 3 Н/м, а на границе вода - ртуть а = 427-10~ 3 Н/м.

Молекулы (атомы, ионы), находящиеся на поверхности твер­дого тела, испытывают притяжение с одной стороны. Поэтому твердые тела так же, как и жидкости, обладают поверхностным натяжением.

Опыт показывает, что капля жидкости, находящейся на по­верхности твердой подложки, приобретает ту или иную форму в зависимости от природы твердого тела, жидкости и среды, в ко­торой они находятся. Чтобы уменьшить потенциальную энергию в поле силы тяжести, жидкость всегда стремится принять такую форму, при которой центр ее массы занимает наинизшее положе­ние. Эта тенденция и приводит к растеканию жидкости по по­верхности твердого тела. С другой стороны, силы поверхностного натяжения стремятся придать жидкости форму, соответствующую минимуму поверхностной энергии. Конкуренция между этими силами и приводит к созданию той или иной формы.

Самопроизвольное увеличение площади фазовой границы твер­дое тело - жидкость или жидкость А - жидкость В под влияни­ем молекулярных сил сцепления называется растеканием.

Выясним причины, приводящие к растеканию капли по поверх­ности. На молекулу С (рис. 5.21, а), находящуюся в месте соприкосновения капли жидкости с твердой подложкой, с одной

стороны действуют силы притяжения молекул жидкости, равно­действующая которых Fj_ направлена по биссектрисе краевого угла с другой - молекулы твердого тела, равнодействующая которых F 2 перпендикулярна к его поверхности. Равнодействую­щая R этих двух сил наклонена влево от вертикали, как пока­зано на рисунке. В этом случае стремление жидкости расположить свою поверхность перпендикулярно к R приведет к ее растеканию (смачиванию).

Процесс растекания жидкости прекращается, когда угол Ф (его называют краевым) между касательной к поверхности жид­кости в точке С и поверхностью твердого тела достигает неко­торого предельного значения гт к, характерного для каждой пары жидкость -твердое тело. Если краевой угол острый

(0 ^ ■& ^ -), то жидкость смачивает поверхность твердого

тела и тем лучше, чем он меньше. При $ к = 0 имеет место полное Смачивание, при котором жидкость растекается по по­верхности до образования мономолекулярной пленки. Смачива­ние обычно наблюдается на границе соприкосновения трех фаз, одна из которых является твердым телом (фаза 3), а две дру­гие - несмешивающимися жидкостями или жидкостью и газом (фазы / и 2) (см. рис. 5.21, с).

Если сила F x больше, чем F. 2 , т. е. со стороны жидкости силы притяжения на выделенную молекулу больше, чем со стороны твердого тела, то краевой угол $ будет большим и картина вы­глядит так, как показано на рис. 5.21, б. В этом случае угол Ф тупой (я/2 < § ^ я) и жидкость частично (при неравенстве) или полностью (при равенстве) не смачивает твердую подложку. По отношению к стеклу такой несмачивающей жидкостью яв­ляется, например, ртуть, гдесозд = - 1. Однако та же самая ртуть хорошо смачивает другую твердую подложку, например цинк.

Количественно эти соображения могут быть выражены на

основе следующих представлений. Обозначим через o"i_ 2 , °1-з, 0-2-3 соответственно поверхностное натяжение на границе жидкость - газ, твердое вещество - газ и жидкость -■ твердая поверхность. Направления действия этих сил в сечении будем изображать стрелками (рис. 5.22). На каплю жидкости, нахо­дящуюся на твердой подложке, действуют следующие силы поверхностного натяжения: на границе /-3 -ffi-з, стремя­щаяся растянуть каплю, и на границе 2 - 3 -Ог-з. стремящая­ся стянуть ее к центру. Поверхностное натяжение 04-2 на гра­нице 1-2 направлено по касательной к поверхности капли в точке С. Если краевой угол Ф острый, то проекция силы cri_ 2 на плоскость твердой подложки (ov 2 cos Ф) совпадет по напра­влению с о 2 .-з (рис. 5.22 ; а). В этом случае действия обеих сил

будут складываться. Если же угол ft тупой, как показано на рис. 5.21, б, то cos ft отрицательный и проекция cri._ 2 cosft сов­падет по направлению с O1-.3. При равновесии капли на твер­дой подложке должно соблюдаться следующее равенство:

= 02-3 + СГ1-2 соэФ. (5.12)

Это уравнение было получено в 1805 г. Юнгом и названо его име­нем. Отношение

В = ---^- = cos ft

называют критерием смачивания.

Таким образом, краевой угол ft зависит лишь от поверх­ностных натяжений на границах соответствующих сред, опреде­ляемых их природой, и не зависит от формы сосуда и величи­ны силы тяжести. Когда равенство (5.12) не соблюдено, могут иметь место следующие случаи. Если 01-3 больше правой части уравнения (5.12), то капля будет растекаться, а угол ft-■ уменьшаться. Может случиться так, что cos ft увеличится настолько, что правая часть равенства (5,12) станет равной о"ь_ 3 , тогда наступит равновесие капли в растянутом состоянии. Если же ov_ 3 настолько велико, что даже при cos ft = 1 левая часть равенства (5.12) больше правой (01 _з > 0 2 -з + o"i_ 2)> то капля будет растягиваться в жидкую пленку. Если же правая часть равенства (5.12) больше, чем o"i 3 , то капля стягивается к центру, угол ft увеличивается, a cos ft соответственно умень­шается до тех пор, пока не наступит равновесие. Когда cos ft станет отрицательным, капля примет форму, показанную на рис. 5.22, б. Если окажется, что 0 2 - 3 настолько велико, что даже при cos ft = -1 (ft = я) правая часть равенства (5.12) бу­дет больше o"i -з(01 -з<02 з-01-2)1 то в отсутствие силы тя­жести капля стянется в шар. Этот случай можно наблюдать на маленьких каплях ртути на поверхности стекла.

Критерий смачивания можно выразить через работу адгезии и когезии. Адгезией А а называется возникновение связи между поверхностными слоями двух разнородных (твердых или жидких) тел (фаз), приведенных в соприкосновение. Частный случай ад­гезии, когда соприкасающиеся тела одинаковы, называют ко-гезией (обозначается А с). Адгезия характеризуется удельной ра­ботой, затрачиваемой на разделение тел. Эта работа рассчиты­вается на единицу площади соприкосновения поверхностей и зависит от того, как производится их разделение: сдвигом вдоль поверхности раздела или отрывом в направлении, перпендику­лярном к поверхности. Для двух различных тел (фаз) А и В ее можно выразить уравнением

А а = ста + а в -Од-в,

где а а , а в, а А -в - коэффициенты поверхностного натяжения фаз Л и В на границе с воздухом и между ними.

В случае когезии для каждой из фаз Л и В имеем:

АШ = 2аа , А <*> = 2а в.

Для рассматриваемой нами капли

Л С| =2а]_ 2 ; А а = ffi^ 3 -f ai_ 2 - сЬ-з-

Отсюда критерий смачивания можно выразить равенством

В - с

Таким образом, по мере увеличения разности 2А а -Л с смачива­ние улучшается.

Заметим, что коэффициенты cti-з и Оо„ 3 обычно отождест­вляются с поверхностным натяжением твердого тела на грани­цах с газом и жидкостью, тогда как в состоянии термодинами­ческого равновесия поверхность твердого тела обычно покры­та равновесным адсорбционным слоем вещества, образующего каплю. Поэтому при точном решении задачи для равновесных краевых углов величины cri_ 3 и (Тг-з. вообще говоря, следова­ло бы относить не к самому твердому телу, а к покрывающему его адсорбционному слою, термодинамические свойства кото­рого определяются силовым полем твердой подложки.

Явления смачивания особенно ярко проявляются в невесомости. Иссле­дование жидкости в состоянии космической невесомости впервые провел советский летчик-космонавт П. Р. Попович на корабле «Восток-4». В кабине корабля находилась сферическая стеклянная колба, наполовину заполненная водой. Поскольку вода полностью смачивает чистое стекло (О = 0), то в условиях невесомости она растеклась по всей поверхности и замкнула воз­дух внутри колбы. Таким образом, граница раздела между стеклом и воз­духом исчезла, что оказалось энергетически выгодным. Однако краевой угол i} между поверхностью жидкости и стенками колбы и в состоянии не­весомости оставался таким же, каким он был на Земле.

Явления смачивания и несмачивапия широко используются в техни­ке и быту. Например, чтобы сделать ткань водоотталкивающей, ее обра­батывают гидрофобизирующим (ухудшающим смачивание водой) веще­ством (мылонафт, олеиновая кислота и др.). Эти вещества образуют вокруг волокон тонкую пленку, увеличивающую поверхностное натяжение па границе вода - ткань, по лишь незначительно меняющую его на гра­нице ткань - воздух. При этом краевой угол О при контакте с водой воз­растает. В этом случае, если поры малы, вода в них не проникает, а за­держивается выпуклой поверхностной пленкой и собирается в капли, которые легко скатываются с материала.

Песмачивающая жидкость не вытекает через очень малые отверстия. Например, если нити, из которых сплетено решето, покрыть парафином, то в нем можно носить воду, если, конечно, слой жидкости невелик. Бла­годаря этому свойству водоплавающие насекомые, быстро бегающие по воде, не смачивают лапок. Хорошее смачивание необходимо при краше­нии, склеивании, пайке, при диспергировании твердых тел в жидкой сре­де и т. д.

Свойства жидкого состояния. Поверхностный слой. Поверхностное натяжение. Смачивание. Формула Лапласа. Капиллярные явления.

Жидкостями называются вещества, находящиеся в конденсированном состоянии, которое является промежуточным между твердым кристаллическим состоянием и газообразным состоянием.

Область существования жидкостей ограничена со стороны высоких температур переходом ее в газообразное состояние, со стороны низких температур – переходом в твердое состояние.

В жидкостях расстояние между молекулами значительно меньше, чем в газах (плотность жидкостей в ~ 6000 раз больше плотности насыщенного пара вдали от критической температуры) (рис.1).

Рис.1. Водяной пар (1) и вода (2). Молекулы воды увеличены примерно в 5·10 7 раз

Следовательно, силы межмолекулярного взаимодействия в жидкостях, в отличие от газов, являются основным фактором, который определяет свойства жидкостей. Поэтому жидкости, как и твердые тела, сохраняют свой объем и имеют свободную поверхность. Подобно твердым телам жидкости характеризуются очень малой сжимаемостью и сопротивляются растяжению.

Однако силы связей между молекулами жидкости не настолько велики, чтобы препятствовать скольжению слоев жидкости относительно друг друга. Поэтому жидкости, как и газы, обладают текучестью. В поле силы тяжести жидкости принимают форму сосуда, в который они налиты.

Свойства веществ определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят.

В газах в столкновениях участвуют в основном две молекулы. Следовательно, теория газов сводится к решению задачи двух тел, которая может быть решена точно. В твердых телах молекулы совершают колебательное движение в узлах кристаллической решетки в периодическом поле, созданном другими молекулами. Такая задача поведения частиц в периодическом поле так же решается точно.

В жидкостях каждую молекулу окружают несколько других. Задача подобного типа (задача многих тел) в общем, виде, независимо от природы молекул, характера их расположения до сих пор точно не решена.

Опыты по дифракции рентгеновских лучей, нейтронов, электронов помогли определить строение жидкостей. В отличие от кристаллов, в которых наблюдается дальний порядок (регулярность размещения частиц в больших объемах), в жидкостях на расстояниях порядка 3 – 4 молекулярных диаметров порядок в размещении молекул нарушается. Следовательно, в жидкостях наблюдается так называемый ближний порядок в размещении молекул (рис.2):

Рис.2. Пример ближнего порядка молекул жидкости и дальнего порядка молекул кристаллического вещества: 1 – вода; 2 – лед

В жидкостях молекулы совершают малые колебания в пределах ограниченных межмолекулярными расстояниями. Однако время от времени в результате флуктуаций молекула может получить от соседних молекул энергию, которой хватит, чтобы скачком переместиться в новое положение равновесия. В новом положении равновесия молекула будет находиться некоторое время, пока снова, в результате флуктуаций не получит энергию необходимую для скачка. Скачок молекулы происходит на расстояние сравнимое с размерами молекулы. Колебания, которые сменяются скачками, представляют собой тепловое движение молекул жидкости.

Среднее время, которое молекула находится в состоянии равновесия, называется временем релаксации . При повышении температуры увеличивается энергия молекул, следовательно, увеличивается вероятность флуктуаций, время релаксации при этом уменьшается:

(1)

где τ – время релаксации, B – коэффициент, имеющий смысл периода колебаний молекулы, W – энергия активации молекулы, т.е. энергия необходимая для совершения скачка молекулы .

Внутреннее трение в жидкостях, как и в газах, возникает при движении слоев жидкости из-за переноса импульса в направлении нормали к направлению движения слоев жидкости. Перенос импульса от слоя к слою происходит и при скачках молекул. Однако, в основном, импульс переносится из-за взаимодействия (притяжения) молекул соседних слоев.

В соответствии с механизмом теплового движения молекул жидкости, зависимость коэффициента вязкости от температуры имеет вид:

(2)

где A – коэффициент, зависящий от дальности скачка молекулы, частоты ее колебаний и температуры, W – энергия активации .

Уравнение (2) – формула Френкеля-Андраде . Температурная зависимость коэффициента вязкости в основном определяется экспоненциальным множителем.

Величина обратная вязкости называется текучестью . При понижении температуры вязкость некоторых жидкостей увеличивается настолько, что они практически перестают течь, образуя аморфные тела (стекло, пластмассы, смолы и т.д.).

Каждая молекула жидкости взаимодействует с соседними молекулами, которые находятся в зоне действия ее молекулярных сил. Результаты этого взаимодействия неодинаковые для молекул внутри жидкости и на поверхности жидкости. Молекула, находящаяся внутри жидкости взаимодействует с соседними молекулами окружающими ее и, равнодействующая сила, которая на нее действует, равна нулю (рис.3).

Рис.3. Силы, действующие на молекулы жидкости

Молекулы поверхностного слоя находятся при других условиях. Плотность пара над жидкостью значительно меньше плотности жидкости. Поэтому на каждую молекулу поверхностного слоя действует равнодействующая сила, направленная по нормали внутрь жидкости (рис.3). Поверхностный слой оказывает давление на остальную жидкость подобно упругой пленке. Молекулы, лежащие в этом слое также притягиваются друг к другу (рис.4).

Рис.4. Взаимодействие молекул поверхностного слоя

Это взаимодействие создает силы направленные по касательной к поверхности жидкости и стремящиеся сократить поверхность жидкости.

Если на поверхности жидкости провести произвольную линию, то по нормали к линии и по касательной к поверхности будут действовать силы поверхностного натяжения. Величина этих сил пропорциональна числу молекул, находящихся вдоль этой линии, следовательно, пропорциональна длине линии:

(3)

где σ – коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом поверхностного натяжения :

(4)

Коэффициент поверхностного натяжения численно равен силе поверхностного натяжения, действующей на единицу длины контура, ограничивающего поверхность жидкости .

Коэффициент поверхностного натяжения измеряется в Н/м. Величина σ зависит от рода жидкости, температуры, наличия примесей. Вещества, которые уменьшают поверхностное натяжение, называются поверхностно - активными (спирт, мыло, стиральный порошок и т.д.).

Чтобы увеличить площадь поверхности жидкости, необходимо выполнить работу против сил поверхностного натяжения. Определим величину этой работы. Пусть имеется рамка с жидкой пленкой (например, мыльной) и подвижной перекладиной (рис.5).

Рис.5. Подвижная сторона проволочной рамки находится в равновесии под действием внешней силы F вн и результирующей сил поверхностного натяжения F н

Растянем пленку силой F вн на dx . Очевидно:

где F н = σL –сила поверхностного натяжения. Тогда:

где dS = Ldx – приращение площади поверхности пленки. Из последнего уравнения:

(5)

Согласно (5) коэффициент поверхностного натяжения численно равен работе необходимой для увеличения площади поверхности на единицу при постоянной температуре. Из (5) видно, что σ может измеряться в Дж/м 2 .

Если жидкость граничит с другой жидкостью или с твердым телом, то из-за того, что плотности соприкасающихся веществ сравнимые, нельзя не обращать внимания на взаимодействие молекул жидкости с молекулами граничащих с ней веществ.

Если при контакте жидкости и твердого тела взаимодействие между их молекулами более сильное, чем взаимодействие между молекулами самой жидкости, то жидкость стремится увеличить поверхность соприкосновения и растекается по поверхности твердого тела. В этом случае жидкость смачивает твердое тело . Если взаимодействие между молекулами жидкости сильнее, чем взаимодействие между молекулами жидкости и твердого тела, то жидкость сокращает поверхность соприкосновения. В этом случае жидкость не смачивает твердое тело . Например: вода смачивает стекло, но не смачивает парафин, ртуть смачивает поверхности металлов, но не смачивает стекло.

Рис.6. Различные формы капли на поверхности твердого тела для случаев несмачивающей (а) и смачивающей (б) жидкостей

Рассмотрим каплю жидкости на поверхности твердого тела (рис.7):

Рис.7. Схемы к расчету равновесия капли на поверхности твердого тела для случаев несмачивающей (а) и смачивающей (б) жидкостей: 1 - газ, 2 - жидкость, 3 - твердое тело

Форма капли определяется взаимодействием трех сред: газа – 1, жидкости – 2 и твердого тела – 3. У всех этих сред есть общая граница – окружность, ограничивающая каплю. На элемент длины dl этого контура, будут действовать силы поверхностного натяжения: F 12 = σ 12 dl – между газом и жидкостью, F 13 = σ 13 dl - между газом и твердым телом, F 23 = σ 23 dl – между жидкостью и твердым телом. Если dl =1м, то F 12 = σ 12 , F 13 = σ 13 , F 23 = σ 23 . Рассмотрим случай когда:

Это значит, что <θ = π (рис.7,а). Окружность, которая ограничивает место соприкосновения жидкости с твердым телом, будет стягиваться в точку и капля принимает эллипсоидальную или сферическую форму. Это случай полного несмачивания. Полное несмачивание наблюдается также и в случае: σ 23 > σ 12 + σ 13 .

Другой граничный случай будет наблюдаться если:

Это значит, что <θ = 0 (рис.7,б), наблюдается полное смачивание. Полное смачивание будет наблюдаться и в случае когда: σ 13 > σ 12 + σ 23 . В этом случае равновесия не будет, ни при каких значениях угла θ , и жидкость будет растекаться по поверхности твердого тела вплоть до мономолекулярного слоя.

Если капля находится в равновесии, то равнодействующая всех сил, действующих на элемент длины контура равна нулю. Условие равновесия в этом случае:

Угол между касательными к поверхности твердого тела и к поверхности жидкости, который отсчитывается внутри жидкости , называется краевым углом .

Его значение определяется из (6):

(7)

Если σ 13 > σ 23 , то cosθ > 0, угол θ острый – имеет место частичное смачивание, если σ 13 < σ 23 , то cosθ < 0 – угол θ тупой – имеет место частичное несмачивание. Таким образом, краевой угол является величиной, характеризующей степень смачивания или несмачивания жидкости

Кривизна поверхности жидкости приводит к возникновению добавочного давления, действующего на жидкость под этой поверхностью. Определим величину добавочного давления под искривленной поверхностью жидкости. Выделим на произвольной поверхности жидкости элемент площадью ∆S (рис.8):

Рис.8. К расчету величины добавочного давления

O ′O – нормаль к поверхности в точке O . Определим силы поверхностного натяжения действующие на элементы контура AB и CD . Силы поверхностного натяжения F и F ′, которые действуют на AB и CD , перпендикулярны AB и CD и направлены по касательной к поверхности ∆S . Определим величину силы F :

Разложим силу F на две составляющих f 1 и f ′. Сила f 1 параллельна O ′O и направлена внутрь жидкости. Эта сила увеличивает давление на внутренние области жидкости (вторая составляющая растягивает поверхность и на величину давления не влияет).

Проведем плоскость перпендикулярную ∆S через точки M , O и N . Тогда R 1 – радиус кривизны поверхности в направлении этой плоскости. Проведем плоскость перпендикулярную ∆S и первой плоскости. Тогда R 2 – радиус кривизны поверхности в направлении этой плоскости. В общем случае R 1 ≠ R 2 . Определим составляющую f 1 . Из рисунка видно:

Учтем, что:

(8)

Силу F ′ разложим на такие же две составляющих и аналогично определим составляющую f 2 (на рисунке не показана):

(9)

Рассуждая аналогично, определим составляющие сил действующих на элементы AC и BD , учитывая, что вместо R 1 будет R 2:

(10)

Найдем сумму всех четырех сил, действующих на контур ABDC и оказывающих добавочное давление на внутренние области жидкости:

Определим величину добавочного давления:

Следовательно:

(11)

Уравнение (11) называется формулой Лапласа . Добавочное давление, которое оказывает искривленная поверхность жидкости на внутренние области жидкости, называется лапласовским давлением .

Лапласовское давление очевидно направлено к центру кривизны поверхности. Поэтому в случае выпуклой поверхности оно направлено внутрь жидкости и добавляется к нормальному давлению жидкости. В случае вогнутой поверхности жидкость будет находиться под меньшим давлением, чем жидкость под плоской поверхностью, т.к. лапласовское давление направлено за пределы жидкости.

Если поверхность сферическая, то: R 1 = R 2 = R :

Если поверхность цилиндрическая, то: R 1 = R , R 2 = ∞:

Если поверхность плоская то: R 1 = ∞, R 2 = ∞:

Если поверхностей две, например, мыльный пузырь, то лапласовское давление удваивается.

С явлениями смачивания и несмачивания связаны так называемые капиллярные явления . Если в жидкость опустить капилляр (трубка малого диаметра), то поверхность жидкости в капилляре принимает вогнутую форму, близкую к сферической в случае смачивания и выпуклую в случае несмачивания. Такие поверхности называются менисками .

Капиллярами называются такие трубки, в которых радиус мениска примерно равен радиусу трубки.

Рис. 9. Капилляр в смачивающей (а) и не смачивающей (б) жидкостях

Рис.10. Подъем жидкости в капилляре в случае смачивания

В случае вогнутого мениска добавочное давление направленно к центру кривизны вне жидкости. Поэтому давление под мениском меньше давления под плоской поверхностью жидкости в сосуде на величину лапласовского давления:

R – радиус мениска, r – радиус капиллярной трубки.

Следовательно, лапласовское давление вызовет подъем жидкости в капилляре на такую высоту h (рис.9), пока гидростатическое давление столба жидкости не уравновесит лапласовское давление:

Из последнего уравнения:

(12)

Уравнение (12) называется формулой Жюрена . Если жидкость несмачивает стенки капилляра, мениск выпуклый, cosθ < 0, то жидкость в этом случае опускается ниже уровня жидкости в сосуде на такую же глубину h согласно формуле (12) (рис.9).

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

Курсовая работа

По курсу «Подземная гидромеханика»

Тема: «Вывод уравнения Лапласа. Плоские задачи теории фильтрации»

Введение

1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде. Вывод уравнения Лапласа.

2.1 Приток к совершенной скважине

2.1.1 Фильтрационный поток от нагнетательной скважины к эксплуатационной

2.1.2 Приток к группе скважин с удаленным контуром питания

2.1.3 Приток к скважине в пласте с прямолинейным контуром питания

2.1.4 Приток к скважине, расположенной вблизи непроницаемой прямолинейной границы

2.1.5 Приток к скважине в пласте с произвольным контуром питания

2.1.6 Приток к бесконечным цепочкам и кольцевым батареям скважин

2.1.6.1 Приток к скважинам кольцевой батареи

2.1.6.2 Приток к прямолинейной батареи скважин

2.1.7 Метод эквивалентных фильтрационных сопротивлений

Литература

Введение

Подземная гидромеханика - наука о движении жидкостей, газов и их смесей в пористых и трещиноватых горных породах - теоретическая основа разработки нефтяных и газовых месторождений, одна из профилирующих дисциплин в учебном плане промыслового и геологического факультетов нефтяных вузов.

В основе подземной гидравлики лежит представление о том, что нефть, газ и вода, заключенные в пористой среде, составляют единую гидравлическую систему.

Теоретической основой ПГД является теория фильтрации - наука, описывающая данное движение флюида с позиций механики сплошной среды, т.е. гипотезы сплошности (неразрывности) течения.

Особенностью теории фильтрации нефти и газа в природных пластах является одновременное рассмотрение процессов в областях, характерные размеры которых различаются на порядки: размер пор (до десятков микрометров), диаметр скважин (до десятков сантиметров), толщины пластов (до десятков метров), расстояния между скважинами (сотни метров), протяженность месторождений (до сотен километров).

В данной курсовой работе выводится основное уравнение Лапласа и рассматриваются плоские задачи теории фильтрации, а так же их решение.

1. Дифференциальные уравнения движения сжимаемой и несжимаемой жидкости в пористой среде. Вывод уравнения Лапласа

При выводе дифференциального уравнения движения сжимаемой жидкости исходными уравнениями являются следующие:

закон фильтрации жидкости; в качестве закона фильтрации принимаем линейный закон фильтрации, выражающийся формулами (3.1)

уравнение неразрывности (3.2)

уравнение состояния. Для капельной сжимаемой жидкости уравнение состояния может быть представлено в виде (3.3)

Подставляя в уравнение неразрывности (3.2) вместо проекций скорости фильтрации vx, vy и vz их значения из линейного закона, выражающегося формулой (3.1), получим:

уравнения состояния (3.3) имеем:

Подставляя эти значения частных производных

Вводя оператор Лапласа

уравнение (3.7) более кратко можно написать в виде

Учитывая, что

уравнение (3.7) можно приближенно представить в виде:

Уравнение (3.7) или приближенное заменяющее его уравнение (3.10) есть искомое дифференциальное уравнение неустановившегося движения сжимаемой жидкости в пористой среде. Упомянутые уравнения имеют вид «уравнения теплопроводности», интегрирование которого при различных начальных и граничных условиях рассматривается в каждом курсе математической физики.

Решение различных задач о неустановившемся движении однородной сжимаемой жидкости в пористой среде, основанное на интегрировании уравнения (3.7) при различных начальных и граничных условиях, дается в книгах В. Н. Щелкачева, И. А. Чарного и М.Маскета. При установившемся движении сжимаемой жидкости

Уравнение (3.11) называется уравнением Лапласа.

При установившейся и неустановившейся фильтрации несжимаемой жидкости плотность жидкости постоянна следовательно, величина, стоящая в правой части уравнения (3.4), равна нулю. Сокращая левую часть этого уравнения на постоянную

Таким образом, установившаяся и неустановившаяся фильтрация несжимаемой жидкости описывается уравнением Лапласа (3.12).

2. Плоские задачи теории фильтрации

При разработке нефтяных и газовых месторождений (НГМ) возникает два вида задач:

1. Задаётся дебит скважин и требуется определить необходимое для этого дебита забойное давление и, кроме того, давление в любой точке пласта. В данном случае величина дебита определяется значением предельной для имеющихся коллекторов депрессией, при которой ещё не наступает их разрушение, или прочностными характеристиками скважинного оборудования, или физическим смыслом. Последнее означает, например, невозможность установления нулевого или отрицательного забойного давления.

2. Задаётся забойное давление и требуется определить дебит. Последний вид условия встречается наиболее часто в практике разработки НГМ. Величина забойного давления определяется условиями эксплуатации. Например, давление должно быть больше давления насыщения для предотвращения дегазации нефти в пласте или выпадения конденсата при разработке газоконденсатных месторождений, что снижает продуктивные свойства скважин. Наконец, если возможен вынос песка из пласта на забой скважины, то скорость фильтрации на стенке скважины должна быть меньше некоторой предельной величины.

Замечено, что при эксплуатации группы скважин в одинаковых условиях, т.е. с одинаковым забойным давлением, дебит всего месторождения растёт медленнее увеличения числа новых скважин с теми же забойными условиями (рис.4.1). Увеличение дебита при этом требует понижения забойного давления.

Для решения поставленных задач решим задачу плоской интерференции (наложения) скважин. Предположим, что пласт - неограниченный, горизонтальный, имеет постоянную мощность и непроницаемые подошву и кровлю. Пласт вскрыт множеством совершенных скважин и заполнен однородной жидкостью или газом. Движение жидкости - установившееся, подчиняется закону Дарси и является плоским. Плоское движение означает, что течение происходит в плоскостях, параллельных между собой и картина движения во всех плоскостях идентична. В связи с этим разбирается течение в одной из этих плоскостей - в основной плоскости течения.

Решение задач будем строить на принципе суперпозиции (наложения) потоков. Основанный на этом принципе метод суперпозиции заключается в следующем.

При совместном действии в пласте нескольких стоков (эксплуатационных скважин) или источников (нагнетательных скважин) потенциальная функция, определяемая каждым стоком (источником), вычисляется по формуле для единственного стока (источника). Потенциальная функция, обусловленная всеми стоками (источниками), вычисляется путём алгебраического сложения этих независимых друг от друга значений потенциальной функции. Суммарная скорость фильтрации определяется как векторная сумма скоростей фильтрации, вызванная работой каждой скважины (рис.4.2b).

Пусть в неограниченном пласте действует n стоков с положительным массовым дебитом G и источников с отрицательным дебитом (рис. 4.2a).. Поток в окрестности каждой скважины в этом случае плоскорадиален и потенциал