Решить показательное уравнение онлайн калькулятор. Решение матричных уравнений

Предлагаемый вашему вниманию бесплатный калькулятор располагает богатым арсеналом возможностей для математических вычислений. Он позволяет использовать онлайн калькулятор в различных сферах деятельности: образовательной , профессиональной и коммерческой . Конечно, применение калькулятора онлайн особенно популярно у студентов и школьников , он значительно облегчает им выполнение самых разных расчётов.

Вместе с тем калькулятор может стать полезным инструментом в некоторых направлениях бизнеса и для людей разных профессий. Безусловно, необходимость применения калькулятора в бизнесе или трудовой деятельности определяется прежде всего видом самой деятельности. Если бизнес и профессия связаны с постоянными расчётами и вычислениями, то стоит опробовать электронный калькулятор и оценить степень его полезности для конкретного дела.

Данный онлайн калькулятор может

• Корректно выполнять стандартные математические функции, записанные одной строкой типа - 12*3-(7/2) и может обрабатывать числа больше, чемсчитаем огромные числа в онлайн калькулятореМы даже не знаем, как такое число назвать правильно (тут 34 знака и это совсем не предел ).
• Кроме тангенса , косинуса , синуса и других стандартных функций - калькулятор поддерживает операции по расчёту арктангенса , арккотангенса и прочих.
• Доступны в арсенале логарифмы , факториалы и другие интересные функции
• Данный онлайн калькулятор умеет строить графики !!!

Для построения графиков, сервис использует специальную кнопку (график серый нарисован) или буквенное представление этой функции (Plot). Чтобы построить график в онлайн калькуляторе, достаточно записать функцию: plot(tan(x)),x=-360..360 .

Мы взяли самый простой график для тангенса, и после запятой указали диапазон переменной X от -360 до 360.

Построить можно абсолютно любую функцию, с любым количеством переменных, например такую: plot(cos(x)/3z, x=-180..360,z=4) или ещё более сложную, какую сможете придумать. Обращаем внимание на поведение переменной X - указан промежуток от и до с помощью двух точек.

Единственный минус (хотя трудно назвать это минусом) этого онлайн калькулятора это то, что он не умеет строить сферы и другие объёмные фигуры - только плоскость.

Как работать с Математическим калькулятором

1. Дисплей (экран калькулятора) отображает введенное выражение и результат его расчёта обычными символами, как мы пишем на бумаге. Это поле предназначено просто для просмотра текущей операции. Запись отображается на дисплее по мере набора математического выражения в строке ввода.

2. Поле ввода выражения предназначено для записи выражения, которое нужно вычислить. Здесь следует отметить, что математические символы, используемые в компьютерных программах, не всегда совпадают с теми, которые обычно мы применяем на бумаге. В обзоре каждой функции калькулятора вы найдёте правильное обозначение конкретной операции и примеры расчётов в калькуляторе. На этой странице ниже приводится перечень всех возможных операций в калькуляторе, также с указанием их правильного написания.

3. Панель инструментов - это кнопки калькулятора, которые заменяют ручной ввод математических символов, обозначающих соответствующую операцию. Некоторые кнопки калькулятора (дополнительные функции, конвертер величин, решение матриц и уравнений, графики) дополняют панель задач новыми полями, где вводятся данные для конкретного расчёта. Поле «History» содержит примеры написания математических выражений, а также ваши шесть последних записей.

Обратите внимание, при нажатии кнопок вызова дополнительных функций, конвертера величин, решения матриц и уравнений, построения графиков вся панель калькулятора смещается вверх, закрывая часть дисплея. Заполните необходимые поля и нажмите клавишу "I" (на рисунке выделена красным цветом), чтобы увидеть дисплей в полный размер.

4. Цифровая клавиатура содержит цифры и знаки арифметических действий. Кнопка «С» удаляет всю запись в поле ввода выражения. Чтобы удалять символы по одному, нужно использовать стрелочку справа от строки ввода.

Старайтесь всегда закрывать скобки в конце выражения. Для большинства операций это некритично, калькулятор online рассчитает всё верно. Однако, в некоторых случаях возможны ошибки. Например, при возведении в дробную степень незакрытые скобки приведут к тому, что знаменатель дроби в показателе степени уйдет в знаменатель основания. На дисплее закрывающая скобка обозначена бледно-серым цветом, её нужно закрыть, когда запись закончена.

Инструкция . Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.

Пример №1 . Задание . Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим слева обе части уравнения на A -1:Умножаем обе части этого равенства слева на A -1 и справа на B -1: A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Так как A·A -1 = B·B -1 = E и E·X = X·E = X, то X = A -1 ·C·B -1

Обратная матрица A -1:
Найдем обратную матрицу B -1 .
Транспонированная матрица B T:
Обратная матрица B -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = A -1 ·C·B -1

Ответ:

Пример №2 . Задание. Решить матричное уравнение
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.

Пример №3 . Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение . Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A -1 . Умножим справа обе части уравнения на A -1: X·A·A -1 = B·A -1 , откуда находим, что X = B·A -1
Найдем обратную матрицу A -1 .
Транспонированная матрица A T:
Обратная матрица A -1:
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A -1


Ответ: >

Уравнения

Как решать уравнения?

В этом разделе мы вспомним (или изучим – уж кому как) самые элементарные уравнения. Итак, что такое уравнение? Говоря человеческим языком, это какое-то математическое выражение, где есть знак равенства и неизвестное. Которое, обычно, обозначается буквой «х» . Решить уравнение - это найти такие значения икса, которые при подстановке в исходное выражение, дадут нам верное тождество. Напомню, что тождество – это выражение, которое не вызывает сомнения даже у человека, абсолютно не отягощенного математическими знаниями. Типа 2=2, 0=0, ab=ab и т.д. Так как решать уравнения? Давайте разберёмся.

Уравнения бывают всякие (вот удивил, да?). Но всё их бесконечное многообразие можно разбить всего на четыре типа.

4. Все остальные.)

Всех остальных, разумеется, больше всего, да...) Сюда входят и кубические, и показательные, и логарифмические, и тригонометрические и всякие другие. С ними мы в соответствующих разделах плотно поработаем.

Сразу скажу, что иногда и уравнения первых трёх типов так накрутят, что и не узнаешь их… Ничего. Мы научимся их разматывать.

И зачем нам эти четыре типа? А затем, что линейные уравнения решаются одним способом, квадратные другим, дробные рациональные - третьим, а остальные не решаются вовсе! Ну, не то, чтобы уж совсем никак не решаются, это я зря математику обидел.) Просто для них существуют свои специальные приёмы и методы.

Но для любых (повторяю - для любых! ) уравнений есть надёжная и безотказная основа для решения. Работает везде и всегда. Эта основа - Звучит страшно, но штука очень простая. И очень (очень!) важная.

Собственно, решение уравнения и состоит из этих самых преобразований. На 99%. Ответ на вопрос: "Как решать уравнения? " лежит, как раз, в этих преобразованиях. Намёк понятен?)

Тождественные преобразования уравнений.

В любых уравнениях для нахождения неизвестного надо преобразовать и упростить исходный пример. Причем так, чтобы при смене внешнего вида суть уравнения не менялась. Такие преобразования называются тождественными или равносильными.

Отмечу, что эти преобразования относятся именно к уравнениям. В математике ещё имеются тождественные преобразования выражений. Это другая тема.

Сейчас мы с вами повторим все-все-все базовые тождественные преобразования уравнений.

Базовые потому, что их можно применять к любым уравнениям – линейным, квадратным, дробным, тригонометрическим, показательным, логарифмическим и т.д. и т.п.

Первое тождественное преобразование: к обеим частям любого уравнения можно прибавить (отнять) любое (но одно и то же!) число или выражение (в том числе и выражение с неизвестным!). Суть уравнения от этого не меняется.

Вы, между прочим, постоянно пользовались этим преобразованием, только думали, что переносите какие-то слагаемые из одной части уравнения в другую со сменой знака. Типа:

Дело знакомое, переносим двойку вправо, и получаем:

На самом деле вы отняли от обеих частей уравнения двойку. Результат получается тот же самый:

х+2 - 2 = 3 - 2

Перенос слагаемых влево-вправо со сменой знака есть просто сокращённый вариант первого тождественного преобразования. И зачем нам такие глубокие познания? – спросите вы. В уравнениях низачем. Переносите, ради бога. Только знак не забывайте менять. А вот в неравенствах привычка к переносу может и в тупик поставить….

Второе тождественное преобразование : обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и то же отличное от нуля число или выражение. Здесь уже появляется понятное ограничение: на ноль умножать глупо, а делить и вовсе нельзя. Это преобразование вы используете, когда решаете что-нибудь крутое, типа

Понятное дело, х = 2. А вот как вы его нашли? Подбором? Или просто озарило? Чтобы не подбирать и не ждать озарения, нужно понять, что вы просто поделили обе части уравнения на 5. При делении левой части (5х) пятёрка сократилась, остался чистый икс. Чего нам и требовалось. А при делении правой части (10) на пять, получилась, знамо дело, двойка.

Вот и всё.

Забавно, но эти два (всего два!) тождественных преобразования лежат в основе решения всех уравнений математики. Во как! Имеет смысл посмотреть на примерах, что и как, правда?)

Примеры тождественных преобразований уравнений. Основные проблемы.

Начнём с первого тождественного преобразования. Перенос влево-вправо.

Пример для младшеньких.)

Допустим, надо решить вот такое уравнение:

3-2х=5-3х

Вспоминаем заклинание: "с иксами - влево, без иксов - вправо!" Это заклинание - инструкция по применению первого тождественного преобразования.) Какое выражение с иксом у нас справа? 3х ? Ответ неверный! Справа у нас - 3х ! Минус три икс! Стало быть, при переносе влево, знак поменяется на плюс. Получится:

3-2х+3х=5

Так, иксы собрали в кучку. Займёмся числами. Слева стоит тройка. С каким знаком? Ответ "с никаким" не принимается!) Перед тройкой, действительно, ничего не нарисовано. А это значит, что перед тройкой стоит плюс. Так уж математики договорились. Ничего не написано, значит, плюс. Следовательно, в правую часть тройка перенесётся с минусом. Получим:

-2х+3х=5-3

Остались сущие пустяки. Слева - привести подобные, справа - посчитать. Сразу получается ответ:

В этом примере хватило одного тождественного преобразования. Второе не понадобилось. Ну и ладно.)

Пример для старшеньких.)

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

1. Не имеют корней;
2. Имеют ровно один корень;
3. Имеют два различных корня.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;
2. Если D = 0, есть ровно один корень;
3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Второе уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их

\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]

Наконец, третье уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.

Неполные квадратные уравнения

Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:

Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.

Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.

Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:

Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:

1. Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
2. Если же (−c /a ) < 0, корней нет.

Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.

Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

В этом видео мы разберём целый комплект линейных уравнений, которые решаются по одному и тому же алгоритму — потому и они и называются простейшими.

Для начала определимся: что такое линейное уравнение и какое их них называть простейшим?

Линейное уравнение — такое, в котором присутствует лишь одна переменная, причём исключительно в первой степени.

Под простейшим уравнением подразумевается конструкция:

Все остальные линейные уравнения сводятся к простейшим с помощью алгоритма:

1. Раскрыть скобки, если они есть;
2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;
3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;
4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной $x$ .

Разумеется, этот алгоритм помогает не всегда. Дело в том, что иногда после всех этих махинаций коэффициент при переменной $x$ оказывается равен нулю. В этом случае возможны два варианта:

1. Уравнение вообще не имеет решений. Например, когда получается что-нибудь в духе $0\cdot x=8$, т.е. слева стоит ноль, а справа — число, отличное от нуля. В видео ниже мы рассмотрим сразу несколько причин, по которым возможна такая ситуация.
2. Решение — все числа. Единственный случай, когда такое возможно — уравнение свелось к конструкции $0\cdot x=0$. Вполне логично, что какой бы $x$ мы ни подставили, все равно получится «ноль равен нулю», т.е. верное числовое равенство.

А теперь давайте посмотрим, как всё это работает на примере реальных задач.

Примеры решения уравнений

Сегодня мы занимаемся линейными уравнениями, причем только простейшими. Вообще, под линейным уравнением подразумевается всякое равенство, содержащее в себе ровно одну переменную, и она идет лишь в первой степени.

Решаются такие конструкции примерно одинаково:

1. Прежде всего необходимо раскрыть скобки, если они есть (как в нашем последнем примере);
2. Затем свести подобные
3. Наконец, уединить переменную, т.е. всё, что связано с переменной — слагаемые, в которых она содержится — перенести в одну сторону, а всё, что останется без неё, перенести в другую сторону.

Затем, как правило, нужно привести подобные с каждой стороны полученного равенства, а после этого останется лишь разделить на коэффициент при «иксе», и мы получим окончательный ответ.

В теории это выглядит красиво и просто, однако на практике даже опытные ученики старших классов могут допускать обидные ошибки в достаточно простых линейных уравнениях. Обычно ошибки допускаются либо при раскрытии скобок, либо при подсчёте «плюсов» и «минусов».

Кроме того, бывает так, что линейное уравнение вообще не имеет решений, или так, что решением является вся числовая прямая, т.е. любое число. Эти тонкости мы и разберем в сегодняшнем уроке. Но начнем мы, как вы уже поняли, с самых простых задач.

Схема решения простейших линейных уравнений

Для начала давайте я еще раз напишу всю схему решения простейших линейных уравнений:

1. Раскрываем скобки, если они есть.
2. Уединяем переменные, т.е. все, что содержит «иксы» переносим в одну сторону, а без «иксов» — в другую.
3. Приводим подобные слагаемые.
4. Разделяем все на коэффициент при «иксе».

Разумеется, эта схема работает не всегда, в ней есть определенные тонкости и хитрости, и сейчас мы с ними и познакомимся.

Решаем реальные примеры простых линейных уравнений

Задача №1

На первом шаге от нас требуется раскрыть скобки. Но их в этом примере нет, поэтому пропускаем данный этап. На втором шаге нам нужно уединить переменные. Обратите внимание: речь идет лишь об отдельных слагаемых. Давайте запишем:

Приводим подобные слагаемые слева и справа, но тут уже это сделано. Поэтому переходим к четвертому шагу: разделить на коэффициент:

\[\frac{6x}{6}=-\frac{72}{6}\]

Вот мы и получили ответ.

Задача №2

В этой задаче мы можем наблюдать скобки, поэтому давайте раскроем их:

И слева и справа мы видим примерно одну и ту же конструкцию, но давайте действовать по алгоритму, т.е. уединяем переменные:

Приведем подобные:

При каких корнях это выполняется. Ответ: при любых. Следовательно, можно записать, что $x$ — любое число.

Задача №3

Третье линейное уравнение уже интересней:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Тут есть несколько скобок, однако они ни на что не умножаются, просто перед ними стоят различные знаки. Давайте раскроем их:

Выполняем второй уже известный нам шаг:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Посчитаем:

Выполняем последний шаг — делим все на коэффициент при «икс»:

\[\frac{2x}{x}=\frac{0}{2}\]

Что необходимо помнить при решении линейных уравнений

Если отвлечься от слишком простых задач, то я бы хотел сказать следующее:

• Как я говорил выше, далеко не каждое линейное уравнение имеет решение — иногда корней просто нет;
• Даже если корни есть, среди них может затесаться ноль — ничего страшного в этом нет.

Ноль — такое же число, как и остальные, не стоит его как-то дискриминировать или считать, что если у вас получился ноль, то вы что-то сделали неправильно.

Еще одна особенность связана с раскрытием скобок. Обратите внимание: когда перед ними стоит «минус», то мы его убираем, однако в скобках знаки меняем на противоположные . А дальше мы можем раскрывать ее по стандартным алгоритмам: мы получим то, что видели в выкладках выше.

Понимание этого простого факта позволит вам не допускать глупые и обидные ошибки в старших классах, когда выполнение подобных действий считается самим собой разумеющимся.

Решение сложных линейных уравнений

Перейдем к более сложным уравнениям. Теперь конструкции станут сложнее и при выполнении различных преобразований возникнет квадратичная функция. Однако не стоит этого бояться, потому что если по замыслу автора мы решаем линейное уравнение, то в процессе преобразования все одночлены, содержащие квадратичную функцию, обязательно сократятся.

Пример №1

Очевидно, что первым делом нужно раскрыть скобки. Давайте это сделаем очень аккуратно:

Теперь займемся уединением:

\[-x+6{{x}^{2}}-6{{x}^{2}}+x=-12\]

Приводим подобные:

Очевидно, что у данного уравнения решений нет, поэтому в ответе так и запишем:

\[\varnothing \]

или корней нет.

Пример №2

Выполняем те же действия. Первый шаг:

Перенесем все, что с переменной, влево, а без нее — вправо:

Приводим подобные:

Очевидно, что данное линейное уравнение не имеет решения, поэтому так и запишем:

\[\varnothing \],

либо корней нет.

Нюансы решения

Оба уравнения полностью решены. На примере этих двух выражений мы ещё раз убедились, что даже в самых простых линейных уравнениях всё может быть не так просто: корней может быть либо один, либо ни одного, либо бесконечно много. В нашем случае мы рассмотрели два уравнения, в обоих корней просто нет.

Но я бы хотел обратить ваше внимание на другой факт: как работать со скобками и как их раскрывать, если перед ними стоит знак «минус». Рассмотрим вот это выражение:

Прежде чем раскрывать, нужно перемножить всё на «икс». Обратите внимание: умножается каждое отдельное слагаемое . Внутри стоит два слагаемых — соответственно, два слагаемых и умножается.

И только после того, когда эти, казалось бы, элементарные, но очень важные и опасные преобразования выполнены, можно раскрывать скобку с точки зрения того, что после неё стоит знак «минус». Да, да: только сейчас, когда преобразования выполнены, мы вспоминаем, что перед скобками стоит знак «минус», а это значит, что все, что в низ, просто меняет знаки. При этом сами скобки исчезают и, что самое главное, передний «минус» тоже исчезает.

Точно также мы поступаем и со вторым уравнением:

Я не случайно обращаю внимание на эти мелкие, казалось бы, незначительные факты. Потому что решение уравнений — это всегда последовательность элементарных преобразований, где неумение чётко и грамотно выполнять простые действия приводит к тому, что ученики старших классов приходят ко мне и вновь учатся решать вот такие простейшие уравнения.

Разумеется, придёт день, и вы отточите эти навыки до автоматизма. Вам уже не придётся каждый раз выполнять столько преобразований, вы всё будете писать в одну строчку. Но пока вы только учитесь, нужно писать каждое действие отдельно.

Решение ещё более сложных линейных уравнений

То, что мы сейчас будем решать, уже сложно назвать простейшими задача, однако смысл остается тем же самым.

Задача №1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21{{x}^{2}}=3\]

Давайте перемножим все элементы в первой части:

Давайте выполним уединение:

Приводим подобные:

Выполняем последний шаг:

\[\frac{-4x}{4}=\frac{4}{-4}\]

Вот наш окончательный ответ. И, несмотря на то, что у нас в процессе решения возникали коэффициенты с квадратичной функцией, однако они взаимно уничтожились, что делает уравнение именно линейным, а не квадратным.

Задача №2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Давайте аккуратно выполним первый шаг: умножаем каждый элемент из первой скобки на каждый элемент из второй. Всего должно получиться четыре новых слагаемых после преобразований:

А теперь аккуратно выполним умножение в каждом слагаемом:

Перенесем слагаемые с «иксом» влево, а без — вправо:

\[-3x-4x+12{{x}^{2}}-12{{x}^{2}}+6x=-1\]

Приводим подобные слагаемые:

Мы вновь получили окончательный ответ.

Нюансы решения

Важнейшее замечание по поводу этих двух уравнений состоит в следующем: как только мы начинаем умножать скобки, в которых находится более чем оно слагаемое, то выполняется это по следующему правилу: мы берем первое слагаемое из первой и перемножаем с каждым элементом со второй; затем берем второй элемент из первой и аналогично перемножаем с каждым элементом со второй. В итоге у нас получится четыре слагаемых.

Об алгебраической сумме

На последнем примере я хотел бы напомнить ученикам, что такое алгебраическая сумма. В классической математике под $1-7$ мы подразумеваем простую конструкцию: из единицы вычитаем семь. В алгебре же мы подразумеваем под этим следующее: к числу «единица» мы прибавляем другое число, а именно «минус семь». Этим алгебраическая сумма отличается от обычной арифметической.

Как только при выполнении всех преобразований, каждого сложения и умножения вы начнёте видеть конструкции, аналогичные вышеописанным, никаких проблем в алгебре при работе с многочленами и уравнениями у вас просто не будет.

В заключение давайте рассмотрим ещё пару примеров, которые будут ещё более сложными, чем те, которые мы только что рассмотрели, и для их решения нам придётся несколько расширить наш стандартный алгоритм.

Решение уравнений с дробью

Для решения подобных заданий к нашему алгоритму придется добавить еще один шаг. Но для начала я напомню наш алгоритм:

1. Раскрыть скобки.
2. Уединить переменные.
3. Привести подобные.
4. Разделить на коэффициент.

Увы, этот прекрасный алгоритм при всей его эффективности оказывается не вполне уместным, когда перед нами дроби. А в том, что мы увидим ниже, у нас и слева, и справа в обоих уравнениях есть дробь.

Как работать в этом случае? Да всё очень просто! Для этого в алгоритм нужно добавить ещё один шаг, который можно совершить как перед первым действием, так и после него, а именно избавиться от дробей. Таким образом, алгоритм будет следующим:

1. Избавиться от дробей.
2. Раскрыть скобки.
3. Уединить переменные.
4. Привести подобные.
5. Разделить на коэффициент.

Что значит «избавиться от дробей»? И почему выполнять это можно как после, так и перед первым стандартным шагом? На самом деле в нашем случае все дроби являются числовыми по знаменателю, т.е. везде в знаменателе стоит просто число. Следовательно, если мы обе части уравнения домножим на это число, то мы избавимся от дробей.

Пример №1

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)}{4}={{x}^{2}}-1\]

Давайте избавимся от дробей в этом уравнении:

\[\frac{\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4}{4}=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Обратите внимание: на «четыре» умножается все один раз, т.е. если у вас две скобки, это не значит, что каждую из них нужно умножать на «четыре». Запишем:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left({{x}^{2}}-1 \right)\cdot 4\]

Теперь раскроем:

Выполняем уединение переменной:

Выполняем приведение подобных слагаемых:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac{-4x}{-4}=\frac{-1}{-4}\]

Мы получили окончательное решение, переходим ко второму уравнению.

Пример №2

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)}{5}+{{x}^{2}}=1\]

Здесь выполняем все те же действия:

\[\frac{\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5}{5}+{{x}^{2}}\cdot 5=5\]

\[\frac{4x}{4}=\frac{4}{4}\]

Задача решена.

Вот, собственно, и всё, что я хотел сегодня рассказать.

Ключевые моменты

Ключевые выводы следующие:

• Знать алгоритм решения линейных уравнений.
• Умение раскрывать скобки.
• Не стоит переживать, если где-то у вас появляются квадратичные функции, скорее всего, в процессе дальнейших преобразований они сократятся.
• Корни в линейных уравнениях, даже самых простых, бывают трех типов: один единственный корень, вся числовая прямая является корнем, корней нет вообще.

Надеюсь, этот урок поможет вам освоить несложную, но очень важную для дальнейшего понимания всей математики тему. Если что-то непонятно, заходите на сайт, решайте примеры, представленные там. Оставайтесь с нами, вас ждет еще много интересного!