Разложение гиперболического тангенса в ряд тейлора. Разложение функций в степенные ряды

Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а, производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n – так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а.

Правила ввода функций :

Если для некоторого значения х r n →0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
,
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х, если:
1) она имеет производные всех порядков;
2) построенный ряд сходится в этой точке.

При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
,
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, R=∞
Тригонометрические функции
, R=∞
, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции


Логарифмические функции
, -1
Биномиальные ряды
.

Пример №1 . Разложить в степенной ряд функцию f(x)= 2 x .
Решение . Найдем значения функции и ее производных при х =0
f(x) = 2 x , f(0) = 2 0 =1;
f"(x) = 2 x ln2, f"(0) = 2 0 ln2= ln2;
f""(x) = 2 x ln 2 2, f""(0) = 2 0 ln 2 2= ln 2 2;
…
f (n) (x) = 2 x ln n 2, f (n) (0) = 2 0 ln n 2= ln n 2.
Подставляя полученные значения производных в формулу ряда Тейлора, получим:

Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №2 . Написать ряд Тейлора по степеням (х +4) для функции f(x)= e x .
Решение . Находим производные функции e x и их значения в точке х =-4.
f(x) = е x , f(-4) = е -4 ;
f"(x) = е x , f"(-4) = е -4 ;
f""(x) = е x , f""(-4) = е -4 ;
…
f (n) (x) = е x , f (n) ( -4) = е -4 .
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:

Данное разложение также справедливо для -∞<x <+∞.

Пример №3 . Разложить функцию f(x) =lnx в ряд по степеням (х- 1),
(т.е. в ряд Тейлора в окрестности точки х =1).
Решение . Находим производные данной функции.
f(x)=lnx , , , ,

f(1)=ln1=0, f"(1)=1, f""(1)=-1, f"""(1)=1*2,..., f (n) =(-1) n-1 (n-1)!
Подставляя эти значения в формулу, получим искомый ряд Тейлора:

С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,

Ряд сходится, если ½х- 1½<1, т.е. при 0<x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].

Пример №4 . Разложить в степенной ряд функцию .
Решение . В разложении (1) заменяем х на -х 2 , получаем:
, -∞

Пример №5 . Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение . Имеем
Пользуясь формулой (4), можем записать:

подставляя вместо х в формулу –х, получим:

Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.

Замечание .
Формулами (1)-(5) можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням (х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций (1)-(5), в которой вместо х стоит k(х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t =х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.

Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.

Пример №5а . Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x) , .
на элементарные:

Дробь 3/(1-3x) можно рассматривать как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем 3x, если |3x| < 1. Аналогично, дробь 2/(1+2x) как сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменателем -2x, если |-2x| < 1. В результате получим разложение в степенной ряд

с областью сходимости |x| < 1/3.

Пример №6 . Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением (5):
=
Полученный ряд сходится при или –3

Пример №7 . Написать ряд Тейлора по степеням (х -1) функции ln(x+2) .
Решение .


Ряд сходится при , или -2 < x < 5.

Пример №8 . Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Решение . Сделаем замену t=х-2:

Воспользовавшись разложением (3), в котором на место х подставим π / 4 t, получим:

Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞Таким образом,
, (-∞

Приближенные вычисления с помощью степенных рядов

• если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
• если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
• в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: ax).

Пример №1 . Вычислить ln(3) с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):

Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем

Пример №2 . Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.



так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.

Пример №3 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 sin (x) x с точностью до 10 -5 .
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sinx на x , получим:

Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:

Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
.

Пример №4 . Вычислить интеграл ∫ 0 1 4 e x 2 с точностью до 0,001.
Решение .
. Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
≈0.0001<0.001. Следовательно, .

16.1. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и

Маклорена

Покажем, что если произвольная функция задана на множестве
, в окрестности точки
имеет множество производных и является суммой степенного ряда:

то можно найти коэффициенты этого ряда.

Подставим в степенной ряд
. Тогда
.

Найдем первую производную функции
:

При
:
.

Для второй производной получим:

При
:
.

Продолжая эту процедуру n раз получим:
.

Таким образом, получили степенной ряд вида:

,

который называется рядом Тейлора для функции
в окресности точки
.

Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена при
:

Остаток ряда Тейлора (Маклорена) получается отбрасыванием от основных рядов n первых членов и обозначается как
. Тогда функцию
можно записать как суммуn первых членов ряда
и остатка
:,

.

Остаток обычно
выражают разными формулами.

Одна из них в форме Лагранжа:

, где
.
.

Заметим, что на практике чаще используетсяряд Маклорена. Таким образом, для того, чтобы записать функцию
в виде суммыстепенного ряданеобходимо:

1) найти коэффициенты ряда Маклорена (Тейлора);

2) найти область сходимости полученного степенногоряда;

3) доказать, что данный ряд сходитсяк функции
.

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие сходимости ряда Маклорена). Пусть радиус сходимости ряда
. Для того, чтобы этот ряд сходился в интервале
к функции
,необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:
в указанном интервале.

Теорема 2. Если производные любого порядка функции
в некотором промежутке
ограниченны по абсолютной величине одним и тем же числомM , то есть
, то в этом промежутке функцию
можно разложитьв ряд Маклорена.

Пример 1 . Разложить в ряд Тейлора вокрестноститочки
функцию.

Решение.

.

,;

,
;

,
;

,

.......................................................................................................................................

,
;

Область сходимости
.

Пример 2 . Разложить функциюв ряд Тейлора вокрестноститочки
.

Решение:

Находим значение функции и ее производных при
.

,
;

,
;

...........……………………………

,
.

Подставляем эти значения в ряд. Получаем:

или
.

Найдем область сходимости этого ряда. По признаку Даламбера ряд сходится, если

.

Следовательно, при любом этот пределменее 1, а потому область сходимости ряда будет:
.

Рассмотрим несколько примеров разложенияв ряд Маклорена основных элементарных функций. Напомним, что ряд Маклорена:

.

сходитсянаинтервале
к функции
.

Отметим, что для разложенияфункции в ряд необходимо:

а) найти коэффициенты ряда Маклорена для данной функции;

б) вычислить радиус сходимостидля полученного ряда;

в) доказать, что полученный ряд сходитсяк функции
.

Пример 3. Рассмотримфункцию
.

Решение.

Вычислим значение функции и ее производных при
.

Тогда числовые коэффициенты ряда имеют вид:

для любого n. Подставим найденные коэффициенты в ряд Маклорена и получим:

Найдем радиус сходимости полученного ряда, а именно:

.

Следовательно, ряд сходитсянаинтервале
.

Этот ряд сходитсяк функции при любых значениях , потому чтоналюбом промежутке
функция иее производныепоабсолютной величинеограничены числом .

Пример 4 . Рассмотрим функцию
.

Решение .

:

Нетрудно заметить, что производные четногопорядка
, а производные нечетногопорядка. Подставим найденные коэффициенты в ряд Маклорена иполучимразложение:

Найдем интервал сходимости данного ряда. По признаку Даламбера:

для любого . Следовательно, ряд сходитсянаинтервале
.

Этот ряд сходитсяк функции
, потому что все ее производные ограничены единицей.

Пример 5 .
.

Решение.

Найдем значение функции и ее производных при
:

Таким образом, коэффициенты данного ряда:
и
, следовательно:

Аналогично с предыдущим рядом область сходимости
. Ряд сходитсяк функции
, потому что все еепроизводные ограничены единицей.

Обратим внимание, что функция
нечетнаяи разложениев рядпо нечетнымстепеням, функция
– четная и разложение в ряд по четным степеням.

Пример 6 . Биномиальный ряд:
.

Решение .

Найдем значение функции и ее производных при
:

Отсюда видно, что:

Подставим эти значения коэффициентов в ряд Маклорена и получим разложение данной функции в степенной ряд:

Найдем радиус сходимости этого ряда:

Следовательно, ряд сходится на интервале
. В предельных точках при
и
ряд может сходится или нет в зависимости от показателя степени
.

Исследованный ряд сходится на интервале
к функции
, то есть суммаряда
при
.

Пример 7 . Разложим в ряд Маклорена функцию
.

Решение.

Для разложенияв ряд этой функции используем биномиальный ряд при
. Получим:

На основе свойства степенных рядов (степенной ряд можно интегрировать в области его сходимости) найдем интеграл от левой и правой частей данного ряда:

Найдем область сходимости данного ряда:
,

то есть областью сходимости данного ряда является интервал
. Определим сходимость ряда на концах интервала. При

. Этот ряд является гармоничным рядом, то есть расходится. При
получим числовой ряд с общим членом
.

Ряд по признаку Лейбница сходится. Таким образом, областью сходимости данного ряда является промежуток
.

16.2. Применение степенных рядов степеней в приближенных вычислениях

В приближенных вычислениях степенные ряды играют исключительно большую роль. С их помощью составлены таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов, таблицы значений других функций, которые используют в разных областях знаний, например в теории вероятностей и математической статистике. Кроме того, разложениефункций в степенной ряд полезно для их теоретического исследования. Главным вопросом при использовании степенных рядов в приближенных вычислениях является вопрос оценки погрешности при замене суммы ряда суммой его первыхn членов.

Рассмотрим два случая:

функция разложена в знакочередующийся ряд;

функция разложена в знакопостоянный ряд.

Вычисление с помощью знакочередующихся рядов

Пусть функция
разложена в знакочередующийся степенной ряд. Тогда при вычислении этой функции для конкретного значения получаем числовой ряд, к которому можно применить признак Лейбница. В соответствии с этим признаком, если сумму ряда заменить суммой его первыхn членов, то абсолютная погрешность не превышает первого члена остатка этого ряда, то есть:
.

Пример 8 . Вычислить
с точностью до 0,0001.

Решение .

Будем использовать ряд Маклорена для
, подставив значение угла в радианах:

Если сравнить первый и второй члены ряда с заданной точностью, то: .

Третий член разложения:

меньше заданной точности вычисления. Следовательно, для вычисления
достаточно оставить два члена ряда, то есть

.

Таким образом
.

Пример 9 . Вычислить
с точностью 0,001.

Решение .

Будем использовать формулу биномиального ряда. Для этого запишем
в виде:
.

В этом выражении
,

Сравним каждый из членов ряда с точностью, которая задана. Видно, что
. Следовательно, для вычисления
достаточно оставить три члена ряда.

или
.

Вычисление с помощью знакоположительных рядов

Пример 10 . Вычислить число с точностью до 0,001.

Решение .

В ряд для функцїї
подставим
. Получим:

Оценим погрешность, которая возникает при замене суммы ряда суммой первых членов. Запишем очевидное неравенство:

то есть 2<<3. Используем формулу остаточного члена ряда в форме Лагранжа:
,
.

По условию задачи нужно найти n такое, чтобы выполнялось неравенство:
или
.

Легко проверить, что при n = 6:
.

Следовательно,
.

Пример 11 . Вычислить
с точностью0,0001.

Решение .

Заметим, что для вычисления логарифмов можно было бы применить ряд для функции
, но этот ряд очень медленно сходится и для достижения заданной точности нужно было бы взять 9999 членов! Поэтому для вычисления логарифмов, как правило, используется ряд для функции
, который сходится на интервале
.

Вычислим
с помощью этого ряда. Пусть
, тогда .

Следовательно,
,

Для того, чтобы вычислить
с заданной точностью, возьмем сумму первых четырех членов:
.

Остаток ряда
отбросим. Оценим погрешность. Очевидно, что

или
.

Таким образом, в ряду, который был использован для вычисления, достаточно было взять только четырепервые слагаемые вместо 9999 в ряду для функции
.

Вопросы для самодиагностики

1. Что такое ряд Тейлора?

2. какой вид имеел ряд Маклорена?

3. Сформулировать теорему о разложении функции в ряд Тейлора.

4. Записать разложение в ряд Маклорена основных функций.

5. Указать области сходимости рассмотренных рядов.

6. Как выполнить оценку погрешности в приближенных вычислениях с помощью степенных рядов?

"Найти разложение в ряд Маклорена функци f(x) " - именно так звучит задание по высшей математике, которое одним студентам по силам, а другие не могут справиться с примерами. Есть несколько способов разложения ряда по степенях, здесь будет дана методика разложения функций в ряд Маклорена. При развитии функции в ряд нужно хорошо уметь вычислять производные.

Пример 4.7 Разложить функцию в ряд по степеням x

Вычисления: Выполняем разложение функции согласно формуле Маклорена. Сначала разложим в ряд знаменатель функции

напоследок умножим разложение на числитель.
Первое слагаемое - значение функции в нуле f (0) = 1/3.
Найдем производные функции первого и высших порядков f (x) и значение этих производных в точке x=0




Далее с закономерности изменения значения производных в 0 записываем формулу для n-й производной

Итак, знаменатель представим в виде разложения в ряд Маклорена

Умножаем на числитель и получаем искомое разложение функции в ряд по степеням х

Как видите ничего сложного здесь нет.
Все ключевые моменты базируются на умении вычислять производные и быстрому обобщении значение производной старших порядков в нуле. Следующие примеры помогут Вам научиться быстро раскладывать функцию в ряд.

Пример 4.10 Найти разложение в ряд Маклорена функции

Вычисления: Как Вы возможно догадались раскладывать в ряд будем косинус в числителе. Для этого можете использовать формулы для бесконечно малых величин, или же вывести разложение косинуса через производные. В результате придем к следующему ряду по степеням x

Как видите имеем минимум вычислений и компактную запись разложения в ряд.

Пример 4.16 Разложить функцию в ряд по степеням x:
7/(12-x-x^2)
Вычисления: В подобного рода примерах необходимо дробь разложить через сумму простейших дробей.
Как это делать мы сейчас не будем показывать, но с помощью неопределенных коэффициентов придем к сумме дох дробей.
Далее записываем знаменатели в показательной форме

Осталось разложить слагаемые с помощью формулы Маклорена. Подытоживая слагаемые при одинаковых степенях "икс" составляем формулу общего члена разложения функции в ряд



Последнюю часть перехода к ряду в начале трудно реализовать, поскольку сложно объединить формулы для парных и непарных индексов (степеней), но с практикой у Вас это будет получаться все лучше.

Пример 4.18 Найти разложение в ряд Маклорена функции

Вычисления: Найдем производную этой функции:

Разложим функцию в ряд, воспользовавшись одной из формул Макларена:

Ряды почленно суммируем на основе того, что оба абсолютно совпадающие. Проинтегрировав почленно весь ряд получим разложение функции в ряд по степеням x

Между последними двумя строками разложения имеется переход который в начале у Вас будет забирать много времени. Обобщение формулы ряда не всем дается легко, поэтому не переживайте по поводу того что не можете достать красивой и компактной формулы.

Пример 4.28 Найти разложение в ряд Маклорена функции:

Запишем логарифм следующим образом

По формуле Маклорена раскладываем в ряд по степеням x логарифм функцию

Конечное свертывания на первый взгляд сложное, однако при чередовании знаков Вы всегда получите нечто подобное. Входной урок по теме расписания функций в ряд завершено. Другие не менее интересные схемы разложения будут подробно рассмотрены в следующих материалах.

Изучающим высшую математику должно быть известно, что суммой некоего степенного ряда, принадлежащего интервалу сходимости данного нам ряда, оказывается непрерывное и безграничное число раз дифференцированная функция. Возникает вопрос: можно ли утверждать, что заданная произвольная функция f(х) - это сумма некоего степенного ряда? То есть при каких условиях ф-ия f(х) может быть изображена степенным рядом? Важность такого вопроса состоит в том, что существует возможность приближенно заменить ф-ию f(х) суммой нескольких первых членов степенного ряда, то есть многочленом. Такая замена функции довольно простым выражением - многочленом - является удобной и при решении некоторых задач а именно: при решении интегралов, при вычислении и т. д.

Доказано, что для некой ф-ии f(х), в которой можно вычислить производные до (n+1)-го порядка, включая последний, в окрестности (α - R; x 0 + R) некоторой точки х = α справедливой является формула:

Данная формула носит имя известного ученого Брука Тейлора. Ряд, который получают из предыдущего, называется ряд Маклорена:

Правило, которое дает возможность произвести разложение в ряд Маклорена:

1. Определить производные первого, второго, третьего... порядков.
2. Высчитать, чему равны производные в х=0.
3. Записать ряд Маклорена для данной функции, после чего определить интервал его сходимости.
4. Определить интервал (-R;R), где остаточная часть формулы Маклорена

R n (х) -> 0 при n -> бесконечности. В случае если таковой существует, в нем функция f(х) должна совпадать с суммой ряда Маклорена.

Рассмотрим теперь ряды Маклорена для отдельных функций.

1. Итак, первой будет f(x) = е х. Разумеется, что по своим особенностям такая ф-ия имеет производные самых разных порядков, причем f (k) (х) = e x , где k равняется всем Подставим х=0. Получим f (k) (0) = e 0 =1, k=1,2... Исходя из вышесказанного, ряд е х будет выглядеть следующим образом:

2. Ряд Маклорена для функции f(х) = sin х. Сразу же уточним, что ф-ия для всех неизвестных будет иметь производные, к тому же f " (х) = cos х = sin(х+п/2), f "" (х) = -sin х = sin(х+2*п/2)..., f (k) (х) = sin(х+k*п/2), где k равняется любому натуральному числу. То есть, произведя несложные расчеты, можем прийти к выводу, что ряд для f(х) = sin х будет такого вида:

3. Теперь попробуем рассмотреть ф-ию f(х) = cos х. Она для всех неизвестных имеет производные произвольного порядка, причем |f (k) (x)| = |cos(х+k*п/2)|<=1, k=1,2... Снова-таки, произведя определенные расчеты, получим, что ряд для f(х) = cos х будет выглядеть так:

Итак, мы перечислили важнейшие функции, которые могут быть разложены в ряд Маклорена, однако их дополняют ряды Тейлора для некоторых функций. Сейчас мы перечислим и их. Стоит также отметить, что ряды Тейлора и Маклорена являются важной частью практикума решения рядов в высшей математике. Итак, ряды Тейлора.

1. Первым будет ряд для ф-ии f(х) = ln(1+x). Как и в предыдущих примерах, для данной нам f(х) = ln(1+х) можно сложить ряд, используя общий вид ряда Маклорена. однако для этой функции ряд Маклорена можно получить значительно проще. Проинтегрировав некий геометрический ряд, мы получим ряд для f(х) = ln(1+х) такого образца:

2. И вторым, который будет заключительным в нашей статье, будет ряд для f(х) = arctg х. Для х, принадлежащего промежутку [-1;1] справедливым является разложение:

На этом все. В данной статье были рассмотрены наиболее употребляемые ряды Тейлора и Маклорена в высшей математике, в частности, в экономических и технических вузах.