Производная по вектору в точке. Производная по направлению

Вводя понятие частной производной функции многих переменных, мы давали приращение переменным по отдельности, оставляя все остальные аргументы неизменными. В частности, если рассматривать функцию двух переменных z = f(x,y), то либо переменной x давалось приращение Δx, и тогда в области определения функции происходил переход из точки с координатами (x,y) в точку с координатами (x + Δx; y); либо переменной y давалось приращение Δy, и тогда в области определения функции происходил переход из точки с координатами (x,y) в точку с координатами (x; y + Δy) (см. рисунок 5.6). Таким образом, точка, в которой мы брали частную производную функции, перемещалась в направлениях, параллельных координатным осям на плоскости (либо параллельно оси абсцисс, либо параллельно оси ординат). Рассмотрим теперь случай, когда направление может быть взято произвольно, т.е. приращения даются сразу нескольким переменным. Для случая функции двух переменных мы перейдем в точку (x + Δx; y + Δy), при этом перемещение составит Δl (см. рисунок 5.6).

При перемещении в данном направлении функция z получит приращение Δ l z = f(x + Δx; y + Δy) – f(x,y), называемое приращением функции z в данном направлении l .

Производной z l ` по направлению l функции двух переменных
z = f(x,y) называют предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения Δl при стремлении последней к нулю, т.е. .

Производная z l ` характеризует скорость изменения функции в направлении l .

Понятие производной по направлению может быть обобщено на функции с любым числом переменных.

Рисунок 5.6 – Перемещение точки по направлению l

Можно доказать, что z l ` = z х `cos α + z у `cos β, где α и β – углы, образованные направлением перемещения точки с осями координат (см. рисунок 5.6).

Например, найдем производную функции z = ln (x 2 + xy) в точке
(3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; -3) (см. рисунок 5.7).

Для этого вначале найдем частные производные этой функции в точке (3; 1): z x ` = (2x + y)/(x 2 + xy) = (2*3 + 1)/(3 2 + 3*1) = 7/12;
z y ` = x/(x 2 + xy) = 3/(3 2 + 3*1) = 3/12 = 1/4.

Отметим, что Δx = 6 – 3 = 3; Δy = -3 – 1 = -4; (Δ l ) 2 = 9 + 16 = 25;
|Δ l | = 5. Тогда cos α = 3/5; cos β = -4/5; z l ` = z х `cos α + z у `cos β = (7/12)*(3/5) - (1/4)*(4/5) = (7/4)*(1/5) - (1/4)*(4/5) = (7*1 – 1*4)/(4*5) = 3/20.

Градиент функции

Из школьного курса математики известно, что вектор на плоскости представляет собой направленный отрезок. Его начало и конец имеют по две координаты. Координаты вектора рассчитываются путем вычитания из координат конца координат начала.

Понятие вектора может быть распространено и на n-мерное пространство (вместо двух координат будет n координат).

Градиентом grad z функции z = f(х 1 , х 2 , …х n) называется вектор частных производных функции в точке, т.е. вектор с координатами .

Можно доказать, что градиент функции характеризует направление наискорейшего роста уровня функции в точке.

Например, для функции z = 2х 1 + х 2 (см. рисунок 5.8) градиент в любой точке будет иметь координаты (2; 1). Построить его на плоскости можно различными способами, взяв в качестве начала вектора любую точку. Например, можно соединить точку (0; 0) с точкой (2; 1), или точку (1; 0) с точкой (3; 1), или точку (0; 3) с точкой (2; 4), или т.п. (см. рисунок 5.8). Все построенные таким образом вектора будут иметь координаты (2 – 0; 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

Из рисунка 5.8 хорошо видно, что уровень функции растет в направлении градиента, поскольку построенные линии уровня соответствуют значениям уровня 4 > 3 > 2.

Рисунок 5.8 - Градиент функции z = 2х 1 + х 2

Рассмотрим другой пример – функцию z = 1/(х 1 х 2). Градиент этой функции уже не будет всегда одинаковым в разных точках, поскольку его координаты определяются формулами (-1/(х 1 2 х 2); -1/(х 1 х 2 2)).

На рисунке 5.9 представлены линии уровня функции z = 1/(х 1 х 2) для уровней 2 и 10 (прямая 1/(х 1 х 2) = 2 обозначена пунктиром, а прямая
1/(х 1 х 2) = 10 – сплошной линией).

Рисунок 5.9 - Градиенты функции z = 1/(х 1 х 2) в различных точках

Возьмем, например, точку (0,5; 1) и вычислим градиент в этой точке: (-1/(0,5 2 *1); -1/(0,5*1 2)) = (-4; -2). Заметим, что точка (0,5; 1) лежит на линии уровня 1/(х 1 х 2) = 2, ибо z = f(0,5; 1) = 1/(0,5*1) = 2. Чтобы изобразить вектор (-4; -2) на рисунке 5.9, соединим точку (0,5; 1) с точкой (-3,5; -1), ибо
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

Возьмем другую точку на той же самой линии уровня, например, точку (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Вычислим градиент в этой точке
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Чтобы изобразить его на рисунке 5.9, соединим точку (1; 0,5) с точкой (-1; -3,5), ибо (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; -4).

Возьмем еще одну точку на той же самой линии уровня, но только теперь в неположительной координатной четверти. Например, точку (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиент в этой точке будет равен
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Изобразим его на рисунке 5.9, соединив точку (-0,5; -1) с точкой (3,5; 1), ибо (3,5 – (-0,5); 1 – (-1)) = (4; 2).

Следует обратить внимание, что во всех трех рассмотренных случаях градиент показывает направление роста уровня функции (в сторону линии уровня 1/(х 1 х 2) = 10 > 2).

Можно доказать, что градиент всегда перпендикулярен линии уровня (поверхности уровня), проходящей через данную точку.

Пусть функция u = f (x, y, z) непрерывна в некоторой области D и имеет в этой области непрерывные частные производные. Выберем в рассматриваемой области точку M(x,y,z) и проведем из нее вектор S , направляющие косинусы которого cosα, cosβ, cosγ. На векторе S на расстоянии Δs от его начала найдем точку М 1 (х+ Δх, у+ Δу, z+ Δz ), где

Представим полное приращение функции f в виде:

Где

После деления на Δs получаем:

Поскольку предыдущее равенство можно переписать в виде:

Градиент.

Определение Предел отношения при называется производной от функции u = f (x, y, z) по направлению вектора S и обозначается .

При этом из (1) получаем:

(2)

Замечание 1. Частные производные являются частным случаем производной по направлению. Например, при получаем:

Замечание 2. Выше определялся геометрический смысл частных производных функции двух переменных как угловых коэффициентов касательных к линиям пересечения поверхности, являющейся графиком функции, с плоскостями х = х 0 и у = у 0 . Аналогичным образом можно рассматривать производную этой функции по направлению l в точке М(х 0 , у 0) как угловой коэффициент линии пересечения данной поверхности и плоскости, проходящей через точку М параллельно оси Oz и прямой l .

Определение Вектор, координатами которого в каждой точке некоторой области являются частные производные функции u = f (x, y, z) в этой точке, называется градиентом функции u = f (x, y, z).

Обозначение: grad u = .

Свойства градиента.

1. Производная по направлению некоторого вектора S равняется проекции вектора grad u на вектор S . Доказательство. Единичный вектор направления S имеет вид e S ={cosα, cosβ, cosγ}, поэтому правая часть формулы (4.7) представляет собой скалярное произведение векторов grad u и e s , то есть указанную проекцию.

2. Производная в данной точке по направлению вектора S имеет наибольшее значение, равное |grad u |, если это направление совпадает с направлением градиента. Доказательство. Обозначим угол между векторами S и grad u через φ. Тогда из свойства 1 следует, что |grad u |∙cosφ, (4.8) следовательно, ее наибольшее значение достигается при φ=0 и равно |grad u |.

3. Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору grad u , равна нулю.

Доказательство. В этом случае в формуле (4.8)

4. Если z = f (x,y) – функция двух переменных, то grad f = направлен перпендикулярно к линии уровня f (x,y) = c, проходящей через данную точку.

Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа. Нахождение наибольших и наименьших значений.

Определение 1. Точка М 0 (х 0 , у 0) называется точкой максимума функции z = f (x, y), если f (x o , y o) > f (x, y) для всех точек (х, у) М 0 .

Определение 2 . Точка М 0 (х 0 , у 0) называется точкой минимума функции z = f (x, y), если f (x o , y o) < f (x, y) для всех точек (х, у) из некоторой окрестности точки М 0 .

Замечание 1. Точки максимума и минимума называются точками экстремума функции нескольких переменных.

Замечание 2. Аналогичным образом определяется точка экстремума для функции от любого количества переменных.

Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если М 0 (х 0 , у 0) – точка экстремума функции z = f (x, y), то в этой точке частные производные первого порядка данной функции равны нулю или не существуют.

Доказательство.

Зафиксируем значение переменной у , считая у = у 0 . Тогда функция f (x, y 0) будет функцией одной переменной х , для которой х = х 0 является точкой экстремума. Следовательно, по теореме Ферма или не существует. Аналогично доказывается такое же утверждение для .

Определение 3. Точки, принадлежащие области определения функции нескольких переменных, в которых частные производные функции равны нулю или не существуют, называются стационарными точками этой функции.

Замечание. Таким образом, экстремум может достигаться только в стационарных точках, но не обязательно он наблюдается в каждой из них.

Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в некоторой окрестности точки М 0 (х 0 , у 0) , являющейся стационарной точкой функции z = f (x, y), эта функция имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка включительно. Обозначим Тогда:

1) f (x, y) имеет в точке М 0 максимум, если AC – B ² > 0, A < 0;

2) f (x, y) имеет в точке М 0 минимум, если AC – B ² > 0, A > 0;

3) экстремум в критической точке отсутствует, если AC – B ² < 0;

4) если AC – B ² = 0, необходимо дополнительное исследование.

Пример. Найдем точки экстремума функции z = x ² - 2xy + 2y ² + 2x. Для поиска стационарных точек решим систему . Итак, стационарная точка (-2,-1). При этом А = 2, В = -2, С = 4. Тогда AC – B ² = 4 > 0, следовательно, в стационарной точке достигается экстремум, а именно минимум (так как A > 0).

Условный экстремум.

Определение 4. Если аргументы функции f (x 1 , x 2 ,…, x n) связаны дополнительными условиями в виде m уравнений (m < n) :

φ 1 (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, φ 2 (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, …, φ m (х 1 , х 2 ,…, х n) = 0, (1)

где функции φ i имеют непрерывные частные производные, то уравнения (1) называются уравнениями связи .

Определение 5. Экстремум функции f (x 1 , x 2 ,…, x n) при выполнении условий (1) называется условным экстремумом .

Замечание. Можно предложить следующее геометрическое истолкование условного экстремума функции двух переменных: пусть аргументы функции f(x,y) связаны уравнением φ(х,у) = 0, задающим некоторую кривую в плоскости Оху . Восставив из каждой точки этой кривой перпендикуляры к плоскости Оху до пересечения с поверхностью z = f (x,y), получим пространственную кривую, лежащую на поверхности над кривой φ(х,у) = 0. Задача состоит в поиске точек экстремума полученной кривой, которые, разумеется, в общем случае не совпадают с точками безусловного экстремума функции f(x,y).

Определим необходимые условия условного экстремума для функции двух переменных, введя предварительно следующее определение:

Определение 6. Функция L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n) , (2)

где λ i – некоторые постоянные, называется функцией Лагранжа , а числа λ i – неопределенными множителями Лагранжа .

Теорема (необходимые условия условного экстремума). Условный экстремум функции z = f (x, y) при наличии уравнения связи φ (х, у) = 0 может достигаться только в стационарных точках функции Лагранжа L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M 0 (x 0 ,y 0 ). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

x = x 0 + t cosa, y = y 0 + t sina. (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

(y - y 0)/(x - x 0) = tga

Это означает, что все точки M (x,y ), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M 0 (x 0 ,y 0) и составляющей угол a с осью OX . Каждому значению t соответствует единственная точка M (x,y ), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из расстояние между точками M 0 (x 0 ,y 0) и M (x,y ) равно t . Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t . Обозначим положительное направление этой оси символом l .

l .Производной функции z = f (x,y ) в точке M 0 (x 0 ,y 0)по направлению l называется число

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l , определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z = f (x,y ) вдоль

некоторой пространственной кривой L . Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M 0 (x 0 ,y 0)равен производной функции в этой точке по направлению l .

В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде

Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa = 1; sina = 0. Аналогично частная производная по y - это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa = 0; sina = 1.

Прежде, чем анализировать формулу (3), приведем некоторые понятия и факты из курса векторной алгебры. Пусть в плоскости с системой координат XOY задан направленный отрезок или (что то же самое) вектор, причем точка M 0 (x 0 ,y 0)является его начальной точкой, а M 1 (x 1 ,y 1)‑ конечной точкой. Определим координату вектора по оси OX как число, равное x 1 ‑ x 0 , а координату по оси , как число, равное y 1 ‑ y 0 . Если задать упорядоченную пару любых чисел a и b , то эти числа можно рассматривать как координаты некоторого вектора в плоскости XOY , причем длина этого вектора определена формулой

,

а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg = b/a (отметим, что зная величину tgg , а также знак любого из чисел a и b , мы можем определить угол g с точностью до 2p ).

Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде . Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY . Чтобы его определить, нужно наряду с координатами вектора задавать, например, координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора.

Если заданы два вектора: и , то скалярным произве­дением этих векторов называется число (j ‑ угол между векторами).

В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов и равно сумме произведений одноименных координат этих векторов:

= a 1 b 1 + a 2 b 2 . (4)

Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f (x,y ) , имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам.

Градиентом или вектором-градиентом функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой

.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z = f (x,y ) в точке M 0 (x 0 ,y 0):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси Ox, равный a .

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f (x,y ) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX , в точке M 0 (x 0 ,y 0) может быть вычислена по формуле

. (5)

Здесь b ‑ угол между вектором и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что

Скалярным полем называется часть пространства (или все пространство), каждой точке, которой соответствует численное значение некоторой скалярной величины.

Примеры

Тело, имеющее в каждой точке определенное значение температуры – скалярное поле.

Неоднородное тело, каждой точке которой соответствует определенная плотность – скалярное поле плотности.

Во всех этих случаях скалярная величина U не зависит от времени, а зависит от положения (координат) точки М в пространстве, то есть - это функция трех переменных, она называется функцией поля . И обратно, всякая функция трех переменных u=f(x, y, z) задает некоторое скалярное поле.

Функция плоского скалярного поля зависит от двух переменных z=f(x, y) .

Рассмотрим скалярное поле u=f(x, y, z).

Вектор, координатами которого являются частные производные функции, вычисленные в заданной точке, называется градиентом функции в этой точке или градиентом скалярного поля.

Рассмотрим некоторый вектор и на нем две точки M 0 (x 0 , y 0 , z 0) и . Найдем приращение функции в направлении :

Производной по направлению называется следующий предел, если он существует:

где - направляющие косинусы вектора ; α, β, γ - углы, которые образует вектор с осями координат, если .

Для функции двух переменных эти формулы принимают вид:

или ,

так как .

Между градиентом и производной по направлению в одной и той же точке существует связь.

Теорема. Скалярное произведение градиента функции на вектор некоторого направления равно производной данной функции в направлении этого вектора:

.

Следствие. Производная по направлению имеет наибольшее значение, если это направление совпадает с направлением градиента (обосновать самостоятельно, используя определение скалярного произведения и считая, что ).

Выводы:

1. Градиент – это вектор, показывающий направление наибольшего возрастания функции в данной точке и имеющий модуль, численно равный скорости этого возрастания:

.

2. Производная по направлению – это скорость изменения функции в направлении : если , то функция в этом направлении возрастает, если , то функция убывает.

3. Если вектор совпадает с одним из векторов , то производная по направлению этого вектора совпадает с соответствующей частной производной.

Например, если , тогда .

Пример

Даны функция , точка А(1, 2) и вектор .

Найти: 1) ;

Решение

1) Найдем частные производные функции и вычислим их в точке А.

, .

Тогда .

2) Найдем направляющие косинусы вектора :

Ответ: ; .

Литература [ 1,2]

Вопросы для самопроверки:

1.Что называется функцией двух переменных, ее областью определения?

2. Как определяются частные производные?

3. В чем состоит геометрический смысл частных производных?

4. Что называется градиентом скалярного поля в данной точке?

5. Что называется производной по направлению?

6. Сформулируйте правила нахождения экстремумов функции двух переменных.

Вариант 1

Задание №1

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание №2 Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построитьсхематический график функции.

Задание № Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах. .

Задание №4.

1) у = 3х 5 – sinx, 2) y = tgx, 3) y = , 4) .

Задание №5. Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и, используя результаты исследования, построить график. .

Задание № 6. Дана функция z=f(x,y). Проверить выполняется ли тождество F≡0 ?

Задание № 7 Дана функция Z=x 2 +xy+y 2 , точка и вектор . Найти:

1) grad z в точке А ;

2) производную в точке А по направлению вектора .

Вариант 2

Задание №1 Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.

а) ; б) ;

в) ; г) .

Задание №2 Исследовать функцию на непрерывность: найти точки разрыва функции и определить их тип. Построить схематический график функции.

Задание №3 Дано комплексное число Z. Требуется: записать число Z в алгебраической и тригонометрической формах.

Задание №4. Найти производные первого порядка данных функций.

Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М(x, y, z) и точке М 1 (x + Dx, y + Dy, z + Dz).

Проведем через точки М и М 1 вектор . Углы наклона этого вектора к направлению координатных осей х, у, z обозначим соответственно a, b, g. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора .

Расстояние между точками М и М 1 на векторе обозначим DS.

где величины e 1 , e 2 , e 3 – бесконечно малые при .

Из геометрических соображений очевидно:

Таким образом, приведенные выше равенства могут быть представлены следующим образом:

Заметим, что величина s является скалярной. Она лишь определяет направление вектора .

Из этого уравнения следует следующее определение:

Предел называется производной функции u(x, y, z) по направлению вектора в точке с координатами (x, y, z).

Поясним значение изложенных выше равенств на примере.

Пример 9.1. Вычислить производную функции z = x 2 + y 2 x в точке А(1, 2) по направлению вектора . В (3, 0).

Решение. Прежде всего необходимо определить координаты вектора .

Находим частные производные функции z в общем виде:

Значения этих величин в точке А:

Для нахождения направляющих косинусов вектора производим следующие преобразования:

=

За величину принимается произвольный вектор, направленный вдоль заданного вектора, т.е. определяющего направление дифференцирования.

Отсюда получаем значения направляющих косинусов вектора :

cosa = ; cosb = -

Окончательно получаем: - значение производной заданной функции по направлению вектора .

Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке

,

то этот вектор называется градиентом функции u.

При этом говорят, что в области D задано поле градиентов.

Теорема: Пусть задана функция u = u(x, y, z) и поле градиентов

.

Тогда производная по направлению некоторого вектора равняется проекции вектора gradu на вектор .

Доказательство: Рассмотрим единичный вектор и некоторую функцию u = u(x, y, z) и найдем скалярное произведение векторов и gradu .

Выражение, стоящее в правой части этого равенства является производной функции u по направлению s.

Т.е. . Если угол между векторами gradu и обозначить через j, то скалярное произведение можно записать в виде произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. С учетом того, что вектор единичный, т.е. его модуль равен единице, можно записать:

Выражение, стоящее в правой части этого равенства и является проекцией вектора grad u на вектор .

Теорема доказана.

Для иллюстрации геометрического и физического смысла градиента скажем, что градиент – вектор, показывающий направление наискорейшего изменения некоторого скалярного поля u в какой- либо точке. В физике существуют такие понятия как градиент температуры, градиент давления и т.п. Т.е. направление градиента есть направление наиболее быстрого роста функции.

С точки зрения геометрического представления градиент перпендикулярен поверхности уровня функции.