Приближенное значение приращения функции онлайн. Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Приближенное значение приращения функции

При достаточно малых приращение функции приближенно равно ее дифференциалу, т.е. Dy » dy и, следовательно,

Пример 2. Найти приближенное значение приращения функции y= при изменении аргумента x от значения x 0 =3 до x 1 =3,01.

Решение . Воспользуемся формулой (2.3). Для этого вычислим

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, тогда

Dу » .

Приближенное значение функции в точке

В соответствии с определением приращения функции y = f(x) в точке x 0 при приращении аргумента Dx (Dx®0) Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) и формулой (3.3) можно записать

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Частными случаями формулы (3.4) являются выражения:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4б)

sinDx » Dx (3.4в)

tgDx » Dx (3.4г)

Здесь, как и ранее предполагается, что Dx®0.

Пример 3. Найти приближенное значение функции f(x) = (3x -5) 5 в точке x 1 =2,02.

Решение . Для вычислений воспользуемся формулой (3.4). Представим x 1 в виде x 1 = x 0 + Dx. Тогда x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Пример 4. Вычислить (1,01) 5 , , ln(1,02), ln .

Решение

1. Воспользуемся формулой (3.4а). Для этого представим (1,01) 5 в виде (1+0,01) 5 .

Тогда, полагая Dх = 0,01, n = 5, получим

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Представив в виде (1 - 0,006) 1/6 , согласно (3.4а), получим

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Учитывая, что ln(1,02) = ln(1 + 0,02) и полагая Dx=0,02, по формуле (3.4б) получим

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Аналогично

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Найти приближенные значения приращения функций

155. y = 2x 3 + 5 при изменении аргумента x от значения x 0 = 2 до x 1 = 2,001

156. у = 3x 2 + 5x + 1 при x 0 = 3 и Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 при x 0 = 2 и Dx = 0,01

158. y = ln x при x 0 = 10 и Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x при x 0 = 3 и Dx = 0,01

Найти приближенные значения функций

160. у = 2x 2 - x + 1 в точке x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 в точке x 1 = 3,02

162. y = в точке x 1 = 1,1

163. y= в точке x 1 = 3,032

164. y = в точке x 1 = 3,97

165. y = sin 2x в точке x 1 = 0,015

Вычислить приближенно

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178. ln(1,003×e) 179. ln(1,05) 5 180. ln

181. ln0,98 182. ln 183. ln(e 2 ×0,97)

Исследование функций и построение графиков

Признаки монотонности функции

Теорема 1 (необходимое условие возрастания (убывания) функции) . Если дифференцируемая функция y = f(x), xÎ(a; b) возрастает (убывает) на интервале (a; b), то для любого x 0 Î(a; b).

Теорема 2 (достаточное условие возрастания (убывания) функции) . Если функция y = f(x), xÎ(a; b) имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала (a; b), то эта функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Экстремумы функции

Определение 1. Точка x 0 называется точкой максимума (минимума) функции у = f(x), если для всех x из некоторой d-окрестности точки x 0 выполняется неравенство f(x) < f(x 0) (f(x) > f(x 0)) при x ¹ x 0 .

Теорема 3 (Ферма) (необходимое условие существования экстремума) . Если точка x 0 является точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке существует производная , то

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума) . Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой d-окрестности точки x 0 . Тогда:

1) если производная при переходе через точку x 0 меняет знак с (+) на (-), то x 0 является точкой максимума;

2) если производная при переходе через точку x 0 меняет знак с (-) на (+), то x 0 является точкой минимума;

3) если производная при переходе через точку x 0 не меняет знак, то в точке x 0 функция не имеет экстремума.

Определение 2. Точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками первого рода.

с помощью первой производной

1. Найти область определения D(f) функции у = f(x).

3. Найти критические точки первого рода.

4. Расставить критические точки в области определения D(f) функции y = f(x) и определить знак производной в промежутках, на которые критические точки делят область определения функции.

5. Выделить точки максимума и минимума функции и вычислить в этих точках значения функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию у = x 3 - 3x 2 .

Решение . В соответствии с алгоритмом нахождения экстремума функции с помощью первой производной имеем:

1. D(f): xÎ(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критические точки первого рода.

Производная при переходе чрез точку x = 0

меняет знак с (+) на (-), следовательно это точка

Максимума. При переходе через точку х = 2 меняет знак с (-) на (+), следовательно это точка минимума.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Координаты максимума (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Координаты минимума (2; -4).

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума) . Если функция у = f(x) определена и дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0 , причем , то в точке x 0 функция f(x) имеет максимум, если и минимум, если .

Алгоритм нахождения экстремума функции

с помощью второй производной

1. Найти область определения D(f) функции y = f(x).

2. Вычислить первую производную

1. Вычисление приближенного значения приращения функции

Пример . Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции при изменении аргумента от 5 до 5,01.

Найдем дифференциал функции . Подставим значения х 0 = 5, Dх = 0,01. Получим

2. Вычисление приближенного значения функции

Пример . Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала 1,998 5 .

Рассмотрим функцию , где х = 1,998. Разобьем х на х 0 и Dх (х = х 0 + Dх ), пусть х 0 = 2, тогда Dх = - 0,002.

Найдем значение , ,

Тогда 1,998 5 » 32 – 0,16 = 31, 84.

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x).

т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

.

Основные теоремы дифференциального исчисления

1. Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема в интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то в интервале (а, b) существует хотя бы одна точка c (a < c < b), в которой производная f "(с) = 0.

Геометрический смысл теоремы Роля. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка с такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Заметим, что если хотя бы в одной точке промежутка [a ; b ] функция не дифференцируема, то производная функции f (x) может в нуль и не обратиться. Например, функция y =1-½x ½непрерывна на промежутке [-1; +1], дифференцируема в (-1;+1) за исключением точки x 0 = 0, причем f (-1) = f (1) = 0, т.е. условие теоремы Ролля нарушено в единственной точке x 0 = 0 (в ней функция не дифференцируется). Очевидно, что ни в одной точке графика функции на промежутке [-1; 1] касательная к графику не параллельна оси 0x .

Теорема Ролля имеет несколько следствий :

1) Если функция f(x) на отрезке [a, b ] удовлетворяет теореме Ролля, причем f(a) = f(b) = 0 , то существует, по крайней мере, одна точка с, a < с < b , такая, что f¢(с) = 0 . Т.е. между двумя нулями функции найдется хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю.

2) Если на рассматриваемом интервале (а, b ) функция f(x) имеет производную (n -1)-го порядка и n раз обращается в нуль, то существует, по крайней мере, одна точка интервала, в котором производная (n –1)–го порядка равна нулю.

2. Теорема Лагранжа. Если функция f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале (а, b), то в этом интервале найдется, по крайней мере, одна точка c (a < c < b), такая, что .

Это означает, что если на некотором промежутке выполняются условия теоремы, то отношение приращения функции к приращению аргумента на этом отрезке равно значению производной в некоторой промежуточной точке.

Рассмотренная выше теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа.

Выражение называется формулой конечных приращений Лагранжа.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Пусть выполнены условия теоремы Лагранжа, тогда справедлива формула конечных приращений Лагранжа.

Пусть точки A и B , лежащие на графике функции, имеют координаты A (a ; f (a )), B (b ; f (b )), тогда очевидно, что величина дроби равна тангенсу угла наклона хорды AB к оси Оx , т.е. .

С другой стороны, f "(c ) = tga. Значит, в точке x = c касательная к графику функции y = f (x) параллельна хорде, стягивающей дугу кривой AB . В этом и заключается геометрический смысл теоремы Лагранжа.

3. Теорема Коши . Если функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы в интервале (a, b) и g¢(x) ¹ 0 ни в одной точке этого интервала, то существует по крайней мере одна точка c (a < c < b), такая, что имеет место равенство:

.

Т.е. отношение приращений функций на данном отрезке равно отношению производных в точке с .

Геометрический смысл теоремы Коши.

Нетрудно убедиться в том, что геометрический смысл теоремы Коши совпадает с геометрическим смыслом теоремы Лагранжа.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала . Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной , а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке . Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.

Практикум состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.

Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных . Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.

Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной

Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная? , и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Пример 1

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала :

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело . Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .

Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .

Если , то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке :

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Пример 2

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)

Пример 3

в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .

Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: .

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке :

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Абсолютная и относительная погрешность вычислений

Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:

Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.

Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:

Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.

После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.

Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.

Вычислим абсолютную погрешность:

Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.

Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений

Следующий пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.

Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:

Пример 5

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:

Пример 6

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.

Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах . Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.

Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу

Записываем очевидную функцию

Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций . Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.

Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:

Таким образом:

После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы . Так, и только так!

В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).

Дальнейшее шаблонно:

Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.

Ответ:

Пример 7

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.

Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала функции двух переменных

Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.

Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка , куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .

Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.

Пример 8

Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .

А вот и рабочая формула:

Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же !

По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .

Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
,

Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,

И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал функции в точке найдём по формуле:

Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :

Вычислим точное значение функции в точке :

Вот это значение является абсолютно точным.

Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:

Пример 9

Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.

Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).

Пример 10

Решение : Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:

Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.

Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал в точке найдем по формуле:

Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .

Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:

;

.

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, приближенное значение данного выражения:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527

Найдем относительную погрешность вычислений:

Ответ: ,

Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.

Пример 11

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:

Пример 12

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если

Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.

Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.

Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

С одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, dy≈∆y и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения ∆x. Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять ∆y величиной dy. Из приближенного равенства dy≈∆y, учитывая, что ∆y = f(x) – f(x 0), а dy=f’(x 0)(x-x 0), получим f(x) ≈ f(x 0) + f’(x 0)(x – x 0), где x-x 0 = ∆x.
Пример . Вычислить .
Решение . Взяв функцию , имеем: . Полагая x 0 =16 (выбираем сами, чтобы корень извлекался), ∆x = 0,02, получим .

Пример . Вычислить значение функции f(x) = e x в точке x=0.1.
Решение . В качестве x 0 возьмем число 0, то есть x 0 =0, тогда ∆x=x-x 0 =0.1 и e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. По таблице e 0.1 ≈1.1052. Ошибка получилась незначительная.
Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала dy=f’(x)dx верна как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция от новой переменной t . Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции y=tg(x) дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией. В случае, если x – функция и конкретно задана, например x=t 2 , то вычисление dy можно продолжить, для чего найдем dx=2tdt и подставим в ранее полученное выражение для dy:
.
Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда x – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление dy, так как ∆x, вообще говоря, не совпадает с dx .