Построить 90 доверительный интервал. Доверительные интервалы

Пусть у нас имеется большое количество предметов, с нормальным распределением некоторых характеристик (например, полный склад однотипных овощей, размер и вес которых варьируется). Вы хотите знать средние характеристики всей партии товара, но у Вас нет ни времени, ни желания измерять и взвешивать каждый овощ. Вы понимаете, что в этом нет необходимости. Но сколько штук надо было бы взять на выборочную проверку?

Прежде, чем дать несколько полезных для этой ситуации формул напомним некоторые обозначения.

Во-первых, если бы мы все-таки промерили весь склад овощей (эт о множество элементов называется генеральной совокупностью), то мы узнали бы со всей доступной нам точностью среднее значение веса всей партии. Назовем это среднее значение Х ср.г ен . - генеральным средним. Мы уже знаем, что определяется полностью, если известно его среднее значение и отклонение s . Правда, пока мы ни Х ср.ген., ни s генеральной совокупности не знаем. Мы можем только взять некоторую выборку, замерить нужные нам значения и посчитать для этой выборки как среднее значение Х ср.в ыб., так и среднее квадратическое отклонение S выб.

Известно, что если наша выборочная проверка содержит большое количество элементов (обычно n больше 30), и они взяты действительно случайным образом , то s генеральной совокупности почти не будет отличаться от S выб ..

Кроме того, для случая нормального распределения мы можем пользоваться следующими формулами:

С вероятностью 95%

С вероятностью 99%

В общем виде c вероятностью Р (t)

Связь значения t со значением вероятности Р (t), с которой мы хотим знать доверительный интервал, можно взять из следующей таблицы:

Таким образом, мы определили, в каком диапазоне находится среднее значение для генеральной совокупности (с данной вероятностью).

Если у нас нет достаточно большой выборки, мы не можем утверждать, что генеральная совокупность имеет s = S выб. Кроме того, в этом случае проблематична близость выборки к нормальному распределению. В этом случае также пользуются S выб вместо s в формуле:

но значение t для фиксированной вероятности Р (t) будет зависеть от количества элементов в выборке n. Чем больше n, тем ближе будет полученный доверительный интервал к значению, даваемому формулой (1). Значения t в этом случае берутся из другой таблицы (t-критерий Стьюдента), которую мы приводим ниже:

Значения t-критерия Стьюдента для вероятности 0,95 и 0,99

Пример 3. Из работников фирмы случайным образом отобрано 30 человек. По выборке оказалось, что средняя зарплата (в месяц) составляет 30 тыс. рублей при среднем квадратическом отклонении 5 тыс. рублей. С вероятностью 0,99 определить среднюю зарплату в фирме.

Решение: По условию имеем n = 30, Х ср. =30000, S=5000, Р = 0,99. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся формулой, соответствующей критерию Стьюдента. По таблице для n = 30 и Р = 0,99 находим t=2,756, следовательно,

т.е. искомый доверительный интервал 27484 < Х ср.ген < 32516.

Итак, вероятностью 0,99 можно утверждать, что интервал (27484; 32516) содержит внутри себя среднюю зарплату в фирме.

Мы надеемся, что Вы будете пользоваться этим методом, при этом не обязательно, чтобы при Вас каждый раз была таблица. Подсчеты можно проводить в Excel автоматически. Находясь в файле Excel, нажмите в верхнем меню кнопку fx. Затем, выберите среди функций тип "статистические", и из предложенного перечня в окошке - СТЬЮДРАСПОБР. Затем, по подсказке, поставив курсор в поле "вероятность" наберите значение обратной вероятности (т.е. в нашем случае вместо вероятности 0,95 надо набирать вероятность 0,05). Видимо, электронная таблица составлена так, что результат отвечает на вопрос, с какой вероятностью мы можем ошибиться. Аналогично в поле "степень свободы" введите значение (n-1) для своей выборки.

Назначение сервиса . С помощью этого сервиса определяются:

• доверительный интервал для генерального среднего, доверительный интервал для дисперсии;
• доверительный интервал для среднего квадратического отклонения, доверительный интервал для генеральной доли;

Пример №1 . В колхозе из общего стада в 1000 голов овец выборочной контрольной стрижке подверглись 100 овец. В результате был установлен средний настриг шерсти 4,2 кг на одну овцу. Определить с вероятностью 0,99 среднюю квадратическую ошибку выборки при определении среднего настрига шерсти на одну овцу и пределы, в которых заключена величина настрига, если дисперсия равна 2,5 . Выборка бесповторная.
Пример №2 . Из партии импортируемой продукции на посту Московской Северной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта «А». В результате проверки установлена средняя влажность продукта «А» в выборке, которая оказалась равной 6 % при среднем квадратическом отклонении 1 %.
Определите с вероятностью 0,683 пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.
Пример №3 . Опрос 36 студентов показал, что среднее количество учебников, прочитанных ими за учебный год, оказалось равным 6. Считая, что количество учебников, прочитанных студентом за семестр, имеет нормальный закон распределения со средним квадратическим отклонением, равным 6, найти: А) с надежностью 0,99 интервальную оценку для математического ожидания этой случайной величины; Б) с какой вероятностью можно утверждать, что среднее количество учебников, прочитанных студентом за семестр, вычисленное по данной выборке, отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на 2.

Классификация доверительных интервалов

По типу выборки:

1. Доверительный интервал для бесконечной выборки;
2. Доверительный интервал для конечной выборки;

Расчет средней ошибки выборки при случайном отборе

Формулы средней ошибки выборки
повторный отбор		бесповторный отбор
для средней	для доли	для средней	для доли

Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора

Из данной статьи вы узнаете:

Что такое доверительный интервал ?

В чем суть правила 3-х сигм ?

Как можно применить эти знания на практике?

В наше время из-за переизбытка информации, связанного с большим ассортиментом товаров, направлений продаж, сотрудников, направлений деятельности и т.д., бывает трудно выделить главное , на что, в первую очередь, стоит обратить внимание и приложить усилия для управления. Определение доверительного интервала и анализ выхода за его границы фактических значений - методика, которая поможет вам выделить ситуации , влияющие на изменение тенденций. Вы сможете развивать позитивные факторы и снизить влияние негативных. Данная технология применяется во многих известных мировых компаниях.

Существуют так называемые "оповещения" , которые информируют руководителей о том, что очередное значение в определенном направлении вышло за доверительный интервал . Что это означает? Это сигнал, что произошло какое-то нестандартное событие, которое, возможно, изменит существующую тенденцию в данном направлении. Это сигнал к тому, чтобы разобраться в ситуации и понять, что на неё повлияло.

Например, рассмотрим несколько ситуаций. Мы рассчитали прогноз продаж с границами прогноза по 100 товарным позициям на 2011 год по месяцам и в марте фактические продажи:

1. По «Подсолнечному маслу» пробили верхнюю границу прогноза и не попали в доверительный интервал.
2. По «Сухим дрожжам» вышли за нижнюю границу прогноза.
3. По «Овсяным Кашам» пробили верхнюю границу.

По остальным товарам фактические продажи оказались в рамках заданных границ прогноза. Т.е. их продажи оказались в рамках ожиданий. Итак, мы выделили 3 товара, которые вышли за границы, и начали разбираться, что же повлияло на выход за границы:

1. По «Подсолнечному маслу» мы вошли в новую торговую сеть, которая дала нам дополнительный объем продаж, что привело к выходу за верхнюю границу. Для этого товара стоит пересчитать прогноз до конца года с учетом прогноза продаж в данную сеть.
2. По «Сухим дрожжам» машина застряла на таможне, и образовался дефицит в рамках 5 дней, что повлияло на снижение продаж и выход за нижнюю границу. Возможно, стоит разобраться, что послужило причиной и постараться не повторять данную ситуацию.
3. По «Овсяным Кашам» было запущено мероприятие по стимулированию сбыта, которое дало значительный прирост продаж и привело к выходу за границы прогноза.

Мы выделили 3 фактора, которые повлияли на выход за границы прогноза. В жизни их может быть гораздо больше.Для повышения точности прогнозирования и планирования факторы, которые приводят к тому, что фактические продажи могут выйти за границы прогноза, стоит выделить и строить прогнозы и планы по ним отдельно. А затем учитывать их влияние на основной прогноз продаж. Также можно регулярно оценивать влияние данных факторов и менять ситуацию к лучшему за счет уменьшения влияния негативных и увеличения влияния позитивных факторов .

С помощью доверительного интервала мы можем:

1. Выделить направления , на которые стоит обратить внимание, т.к. в этих направлениях произошли события, которые могут повлиять на изменение тенденции .
2. Определить факторы , которые реально влияют на изменение ситуации.
3. Принять взвешенное решение (например, о закупках, при планировании и т.д.).

Теперь рассмотрим, что такое доверительный интервал и как его рассчитать в Excel на примере.

Что такое доверительный интервал?

Доверительный интервал – это границы прогноза (верхняя и нижняя), в рамки которых с заданной вероятностью (сигма) попадут фактические значения.

Т.е. мы рассчитываем прогноз - это наш основной ориентир, но мы понимаем, что фактические значения вряд ли на 100% будут равны нашему прогнозу. И возникает вопрос, в какие границы могут попасть фактические значения, если существующая тенденция сохранится ? И на этот вопрос нам поможет ответить расчет доверительного интервала , т.е. - верхней и нижней границы прогноза.

Что такое заданная вероятность сигма?

При расчете доверительного интервала мы можем задать вероятность попадания фактических значений в заданные границы прогноза . Как это сделать? Для этого мы задаем значение сигма и, если сигма будет равна:

3 сигма - то, вероятность попадания очередного фактического значения в доверительный интервал составят 99,7%, или 300 к 1, или существует 0,3% вероятности выхода за границы.

2 сигма - то, вероятность попадания очередного значения в границы составляет ≈ 95,5 %, т.е. шансы примерно 20 к 1, или существует 4,5% вероятности выхода за границы.

1 сигма - то, вероятность ≈ 68,3%, т.е. шансы примерно 2 к 1, или существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за пределы доверительного интервала.

Мы сформулировали правило 3 сигм, которое гласит, что вероятность попадания очередного случайного значения в доверительный интервал с заданным значением три сигма составляет 99.7% .

Великим русским математиком Чебышевым была доказана теорема о том, что существует 10% вероятность выхода за границы прогноза с заданным значением три сигма. Т.е. вероятность попадания в доверительный интервал 3 сигма составит минимум 90%, в то время как попытка рассчитать прогноз и его границы «на глазок» чревата куда более существенными ошибками.

Как самостоятельно рассчитать доверительный интервал в Excel?

Расчет доверительного интервала в Excel (т.е. верхней и нижней границы прогноза) рассмотрим на примере. У нас есть временной ряд - продажи по месяцам за 5 лет. См. Вложенный файл.

Для расчета границ прогноза рассчитаем:

1. Прогноз продаж ().
2. Сигма - среднеквадратическое отклонение модели прогноза от фактических значений.
3. Три сигма.
4. Доверительный интервал.

1. Прогноз продаж.

=(RC[-14](данные во временном ряду) - RC[-1](значение модели) )^2(в квадрате)

3. Просуммируем для каждого месяца значения отклонений из 8 этапа Сумма((Xi-Ximod)^2), т.е. просуммируем январи, феврали... для каждого года.

Для этого воспользуемся формулой =СУММЕСЛИ()

СУММЕСЛИ(массив с номерами периодов внутри цикла (для месяцев от 1 до 12);ссылка на номер периода в цикле; ссылка на массив с квадратами разницы исходных данных и значений периодов)

4. Рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого периода в цикле от 1 до 12 (10 этапво вложенном файле ).

Для этого из значения рассчитанного на 9 этапе мы извлекаем корень и делим на количество периодов в этом цикле минус 1 = КОРЕНЬ((Сумма(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Воспользуемся формулами в Excel =КОРЕНЬ(R8 (ссылка на (Сумма(Xi-Ximod)^2) /(СЧЁТЕСЛИ($O$8:$O$67 (ссылка на массив с номерами цикла) ; O8 (ссылка на конкретный номер цикла, которые считаем в массиве) )-1))

С помощью формулы Excel = СЧЁТЕСЛИ мы считаем количество n

Рассчитав среднеквадратическое отклонение фактических данных от модели прогноза, мы получили значение сигма для каждого месяца - этап 10 во вложенном файле .

3. Рассчитаем 3 сигма.

На 11 этапе задаем количество сигм - в нашем примере «3» (11 этапво вложенном файле ):

Также удобные для практики значения сигма:

1,64 сигма - 10% вероятность выхода за предел (1 шанс из 10);

1,96 сигма - 5% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 20);

2,6 сигма - 1% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 100).

5) Рассчитываем три сигма , для этого мы значения «сигма» для каждого месяца умножаем на «3».

3.Определяем доверительный интервал.

1. Верхняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности + (плюс) 3 сигма;
2. Нижняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности – (минус) 3 сигма;

Для удобства расчета доверительного интервала на длительный период (см. вложенный файл) воспользуемся формулой Excel =Y8+ВПР(W8;$U$8:$V$19;2;0) , где

Y8 - прогноз продаж;

W8 - номер месяца, для которого будем брать значение 3-х сигма;

Т.е. Верхняя граница прогноза = «прогноз продаж» + «3 сигма» (в примере, ВПР(номер месяца; таблица со значениями 3-х сигма; столбец, из которого извлекаем значение сигма равное номеру месяца в соответствующей строке;0)).

Нижняя граница прогноза = «прогноз продаж» минус «3 сигма».

Итак, мы рассчитали доверительный интервал в Excel.

Теперь у нас есть прогноз и диапазон с границами в пределах, которого с заданной вероятностью сигма попадут фактические значения.

В данной статье мы рассмотрели, что такое сигма и правило трёх сигм, как определить доверительный интервал и для чего вы можете использовать данную методику на практике.

Точных вам прогнозов и успехов!

Чем Forecast4AC PRO может вам помочь при расчете доверительного интервала ?:

Forecast4AC PRO автоматически рассчитает верхнюю или нижнюю границы прогноза для более чем 1000 временных рядов одновременно;

Возможность анализа границ прогноза в сравнении с прогнозом, трендом и фактическими продажами на графике одним нажатием клавиши;

В программе Forcast4AC PRO есть возможность задать значение сигма от 1 до 3.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа :

• Novo Forecast Lite - автоматический расчет прогноза в Excel .
• 4analytics - ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
• Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition - BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

• Novo Forecast PRO - прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Доверительные интервалы.

Вычисление доверительного интервала базируется на средней ошибке соответствующего параметра. Доверительный интервал показывает, в каких пределах с вероятностью (1-a) находится истинное значение оцениваемого параметра. Здесь a – уровень значимости, (1-a) называют также доверительной вероятностью.

В первой главе мы показали, что, например, для среднего арифметического, истинное среднее по сово­купности примерно в 95% случаев лежит в пределах 2 средних ошибок среднего. Таким образом, границы 95% доверительного интервала для среднего будет отстоять от выборочного среднего на удвоенную среднюю ошибку среднего, т.е. мы умножаем среднюю ошибку среднего на некий коэффициент, зависящий от доверительной вероятности. Для среднего и разности средних берётся коэффициент Стьюдента (критическое значение критерия Стьюдента), для доли и разности долей критическое значение критерия z. Произведение коэффициента на среднюю ошибку можно назвать предельной ошибкой данного параметра, т.е. максимальную, которую мы можем получить при его оценке.

Доверительный интервал для среднего арифметического : .

Здесь - выборочное среднее;

Средняя ошибка среднего арифметического;

s – выборочное среднее квадратическое отклонение;

n

f = n -1 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для разности средних арифметических :

Здесь - разность выборочных средних;

- средняя ошибка разности средних арифметических;

s 1 ,s 2 – выборочные средние квадратические отклонения;

n 1 ,n 2

Критическое значение критерия Стьюдента при заданных уровне значимости a и числе степеней свободы f=n 1 +n 2 -2 (коэффициент Стьюдента).

Доверительный интервал для доли :

.

Здесь d – выборочная доля;

– средняя ошибка доли;

n – объём выборки (численность группы);

Доверительный интервал для разности долей :

Здесь - разность выборочных долей;

– средняя ошибка разности средних арифметических;

n 1 ,n 2 – объёмы выборок (численности групп);

Критическое значение критерия z при заданном уровне значимости a ( , , ).

Вычисляя доверительные интервалы для разности показателей, мы, во-первых, непосредственно видим возможные значения эффекта, а не только его точечную оценку. Во-вторых, можем сделать вывод о принятии или опровержении нулевой гипотезы и, в-третьих, можем сделать вывод о мощности критерия.

При проверке гипотез с помощью доверительных интервалов надо придерживаться следующего правила:

Если 100(1-a)-процентный доверительный интервал разности средних не содержит нуля, то различия статистически значимы на уровне значимости a; напротив, если этот интервал содержит ноль, то различия статистически не значимы.

Действительно, если этот интервал содержит ноль, то, значит, сравниваемый показатель может оказаться как больше, так и меньше в одной из групп, по сравнению с другой, т.е. наблюдаемые различия случайны.

По месту, где находится ноль внутри доверительного интервала, можно судить о мощности критерия. Если ноль близок к нижней или верхней границе интервала, то возможно при большей численности сравниваемых групп, различия достигли бы статистической значимости. Если ноль близок к середине интервала, то, значит, равновероятно и увеличение и уменьшение показателя в экспериментальной группе, и, вероятно, различий действительно нет.

Примеры:

Сравнить операционную летальность при применении двух разных видов анестезии: с применением первого вида анестезии оперировалось 61 человек, умерло 8, с применением второго – 67 человек, умерло 10.

d 1 = 8/61 = 0,131; d 2 = 10/67 = 0,149; d1-d2 = - 0,018.

Разность летальностей сравниваемых методов будет находиться в интервале (-0,018 - 0,122; -0,018 + 0,122) или (-0,14 ; 0,104) с вероятностью 100(1-a) = 95%. Интервал содержит ноль, т.е. гипотезу об одинаковой летальности при двух разных видах анестезии отвергнуть нельзя.

Таким образом, летальность может и уменьшится до 14% и увеличиться до 10,4% с вероятностью 95%, т.е. ноль находится примерно по середине интервала, поэтому можно утверждать, что, скорее всего, действительно не отличаются по летальности эти два метода.

В рассмотренном ранее примере сравнивалось среднее время нажатия при теппинг-тесте в четырёх группах студентов, отличающихся по экзаменационной оценке. Вычислим доверительные интервалы среднего времени нажатия для студентов, сдавших экзамен на 2 и на 5 и доверительный интервал для разности этих средних.

Коэффициенты Стьюдента находим по таблицам распределения Стьюдента (см. приложение): для первой группы: = t(0,05;48) = 2,011; для второй группы: = t(0,05;61) = 2,000. Таким образом, доверительные интервалы для первой группы: = (162,19-2,011*2,18 ; 162,19+2,011*2,18) = (157,8 ; 166,6) , для второй группы (156,55-2,000*1,88 ; 156,55+2,000*1,88) = (152,8 ; 160,3). Итак, для сдавших экзамен на 2, среднее время нажатия лежит в пределах от 157,8 мс до 166,6 мс с вероятностью 95%, для сдавших экзамен на 5 – от 152,8 мс до 160,3 мс с вероятностью 95%.

Проверять нулевую гипотезу можно и по доверительным интервалам для средних, а не только для разности средних. Например, как в нашем случае, если доверительные интервалы для средних перекрываются, то нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Для того чтобы отвергнуть гипотезу на выбранном уровне значимости, соответствующие доверительные интервалы не должны перекрываться.

Найдём доверительный интервал для разности среднего времени нажатия в группах сдавших экзамен на 2 и на 5. Разность средних: 162,19 – 156,55 = 5,64. Коэффициент Стьюдента: = t(0,05;49+62-2) = t(0,05;109) = 1,982. Групповые средние квадратические отклонения будут равны: ; . Вычисляем среднюю ошибку разности средних: . Доверительный интервал: =(5,64-1,982*2,87 ; 5,64+1,982*2,87) = (-0,044 ; 11,33).

Итак, разница среднего времени нажатия в группах, сдавших экзамен на 2 и на 5, будет находиться в интервале от -0,044 мс до 11,33 мс. В этот интервал входит ноль, т.е. среднее время нажатия у отлично сдавших экзамен, может и увеличиться и уменьшится по сравнению с неудовлетворительно сдавшими, т.е. нулевую гипотезу отвергнуть нельзя. Но ноль находится очень близко к нижней границе, время нажатия гораздо вероятнее всё-таки уменьшается у отлично сдавших. Таким образом, можно сделать вывод, что различия в среднем времени нажатия между сдавшими на 2 и на 5 всё-таки есть, просто мы не смогли их обнаружить при данном изменении среднего времени, разбросе среднего времени и объёмах выборок.

Мощность критерия – это вероятность отвергнуть неверную нулевую гипотезу, т.е. найти различия там, где они действительно есть.

Мощность критерия определяется исходя из уровня значимости, величины различий между группами, разброса значений в группах и объёма выборок.

Для критерия Стьюдента и дисперсионного анализа можно воспользоваться диаграммами чувствительности.

Мощность критерия можно использовать при предварительном определении необходимой численности групп.

Доверительный интервал показывает, в каких пределах с заданной вероятностью находится истинное значение оцениваемого параметра.

С помощью доверительных интервалов можно проверять статистические гипотезы и делать выводы о чувствительности критериев.

ЛИТЕРАТУРА.

Гланц С. – Глава 6,7.

Реброва О.Ю. – с.112-114, с.171-173, с.234-238.

Сидоренко Е. В. – с.32-33.

Вопросы для самопроверки студентов.

1. Что такое мощность критерия?

2. В каких случаях необходимо оценить мощность критериев?

3. Способы расчёта мощности.

6. Как проверить статистическую гипотезу с помощью доверительного интервала?

7. Что можно сказать о мощности критерия при расчёте доверительного интервала?

Задачи.

ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ЧАСТОТ И ДОЛЕЙ

© 2008 г.

Национальный институт общественного здоровья, г. Осло, Норвегия

В статье описывается и обсуждается расчет доверительных интервалов для частот и долей по методам Вальда, Уилсона, Клоппера – Пирсона, с помощью углового преобразования и по методу Вальда с коррекцией по Агрести – Коуллу. Изложенный материал дает общие сведения о способах расчета доверительных интервалов для частот и долей и призван вызвать интерес читателей журнала не только к использованию доверительных интервалов при представлении результатов собственных исследований, но и к прочтению специализированной литературы перед началом работы над будущими публикациями.

Ключевые слова : доверительный интервал, частота, доля

В одной из предыдущих публикаций кратко упоминалось описание качественных данных и сообщалось, что их интервальная оценка предпочтительнее точечной для описания частоты встречаемости изучаемой характеристики в генеральной совокупности . Действительно, поскольку исследования проводятся с использованием выборочных данных, проекция результатов на генеральную совокупность должна содержать элемент неточности выборочной оценки. Доверительный интервал представляет собой меру точности оцениваемого параметра. Интересно, что в некоторых книгах по основам статистики для медиков тема доверительных интервалов для частот полностью игнорируется . В данной статье мы рассмотрим несколько способов расчета доверительных интервалов для частот, подразумевая такие характеристики выборки, как бесповторность и репрезентативность, а также независимость наблюдений друг от друга. Под частотой в данной статье понимается не абсолютное число, показывающее, сколько раз встречается в совокупности то или иное значение, а относительная величина , определяющая долю участников исследования, у которых встречается изучаемый признак.

В биомедицинских исследованиях чаще всего используются 95 % доверительные интервалы. Данный доверительный интервал представляет собой область, в которую попадает истинное значение доли в 95 % случаев. Другими словами, можно с 95 % надежностью сказать, что истинное значение частоты встречаемости признака в генеральной совокупности будет находиться в пределах 95 % доверительного интервала.

В большинстве пособий по статистике для исследователей от медицины сообщается , что ошибка частоты рассчитывается с помощью формулы

где p – частота встречаемости признака в выборке (величина от 0 до 1). В большинстве отечественных научных статей указывается значение частоты встречаемости признака в выборке (р), а также ее ошибка (s) в виде p ± s. Целесообразнее, однако, представлять 95 % доверительный интервал для частоты встречаемости признака в генеральной совокупности, который будет включать значения от

до.

В некоторых пособиях рекомендуется при малых выборках заменять значение 1,96 на значение t для N – 1 степеней свободы, где N – количество наблюдений в выборке. Значение t находится по таблицам для t-распределения, имеющимся практически во всех пособиях по статистике. Использование распределения t для метода Вальда не дает видимых преимуществ по сравнению с другими методами, рассмотренными ниже , и потому некоторыми авторами не приветствуется .

Представленный выше метод расчета доверительных интервалов для частот или долей носит имя Вальда в честь Авраама Вальда (Abraham Wald, 1902–1950), поскольку широкое применение его началось после публикации Вальда и Вольфовица в 1939 году . Однако сам метод был предложен Пьером Симоном Лапласом (1749–1827) еще в 1812 году.

Метод Вальда очень популярен, однако его применение связано с существенными проблемами. Метод не рекомендуется при малых объемах выборок, а также в случаях, когда частота встречаемости признака стремится к 0 или 1 (0 % или 100 %) и просто невозможно для частот 0 и 1. Кроме того, аппроксимация нормального распределения, которая используется при расчете ошибки, «не работает» в случаях, когда n · p < 5 или n · (1 – p) < 5 . Более консервативные статистики считают, что n · p и n · (1 – p) должны быть не менее 10 . Более детальное рассмотрение метода Вальда показало, что полученные с его помощью доверительные интервалы в большинстве случаев слишком узки, то есть их применение ошибочно создает слишком оптимистичную картину, особенно при удалении частоты встречаемости признака от 0,5, или 50 % . К тому же при приближении частоты к 0 или 1 доверительный интревал может принимать отрицательные значения или превышать 1, что выглядит абсурдно для частот. Многие авторы совершенно справедливо не рекомендуют применять данный метод не только в уже упомянутых случаях, но и тогда, когда частота встречаемости признака менее 25 % или более 75 % . Таким образом, несмотря на простоту расчетов, метод Вальда может применяться лишь в очень ограниченном числе случаев. Зарубежные исследователи более категоричны в своих выводах и однозначно рекомендуют не применять этот метод для небольших выборок , а ведь именно с такими выборками часто приходится иметь дело исследователям-медикам.

Поскольку новая переменная имеет нормальное распределение, нижняя и верхняя границы 95 % доверительного интервала для переменной φ будут равны φ-1,96 и φ+1,96left">

Вместо 1,96 для малых выборок рекомендуется подставлять значение t для N – 1 степеней свободы . Данный метод не дает отрицательных значений и позволяет более точно оценить доверительные интервалы для частот, чем метод Вальда. Кроме того, он описан во многих отечественных справочниках по медицинской статистике , что, правда, не привело к его широкому использованию в медицинских исследованиях. Расчет доверительных интервалов с использованием углового преобразования не рекомендуется при частотах, приближающихся к 0 или 1 .

На этом описание способов оценки доверительных интервалов в большинстве книг по основам статистики для исследователей-медиков обычно заканчивается, причем эта проблема характерна не только для отечественной, но и для зарубежной литературы. Оба метода основаны на центральной предельной теореме, которая подразумевает наличие большой выборки.

Принимая во внимание недостатки оценки доверительных интервалов с помощью вышеупомянутых методов, Клоппер (Clopper) и Пирсон (Pearson) предложили в 1934 году способ расчета так называемого точного доверительного интервала с учетом биномиального распределения изучаемого признака . Данный метод доступен во многих онлайн-калькуляторах, однако доверительные интервалы, полученные таким образом, в большинстве случаев слишком широки. В то же время этот метод рекомендуется применять в тех случаях, когда необходима консервативная оценка. Степень консервативности метода увеличивается по мере уменьшения объема выборки, особенно при N < 15 . описывает применение функции биномиального распределения для анализа качественных данных с использованием MS Excel, в том числе и для определения доверительных интервалов, однако расчет последних для частот в электронных таблицах не «затабулирован» в удобном для пользователя виде, а потому, вероятно, и не используется большинством исследователей.

По мнению многих статистиков , наиболее оптимальную оценку доверительных интервалов для частот осуществляет метод Уилсона (Wilson), предложенный еще в 1927 году , но практически не используемый в отечественных биомедицинских исследованиях. Данный метод не только позволяет оценить доверительные интервалы как для очень малых и очень больших частот, но и применим для малого числа наблюдений. В общем виде доверительный интервал по формуле Уилсона имеет вид от

где принимает значение 1,96 при расчете 95 % доверительного интервала, N – количество наблюдений, а р – частота встречаемости признака в выборке. Данный метод доступен в онлайн-калькуляторах, поэтому его применение не является проблематичным. и не рекомендуют использовать этот метод при n · p < 4 или n · (1 – p) < 4 по причине слишком грубого приближения распределения р к нормальному в такой ситуации, однако зарубежные статистики считают метод Уилсона применимым и для малых выборок .

Считается, что помимо метода Уилсона метод Вальда с коррекцией по Агрести – Коуллу также дает оптимальную оценку доверительного интервала для частот . Коррекция по Агрести – Коуллу представляет собой замену в формуле Вальда частоты встречаемости признака в выборке (р) на р`, при расчете которой к числителю добавляется 2, а к знаменателю добавляется 4, то есть p` = (X + 2) / (N + 4), где Х – количество участников исследования, у которых имеется изучаемый признак, а N – объем выборки . Такая модификация приводит к результатам, очень похожим на результаты применения формулы Уилсона, за исключением случаев, когда частота события приближается к 0 % или 100 %, а выборка мала . Кроме вышеупомянутых способов расчета доверительных интервалов для частот были предложены поправки на непрерывность как для метода Вальда, так и для метода Уилсона для малых выборок, однако исследования показали, что их применение нецелесообразно .

Рассмотрим применение вышеописанных способов расчета доверительных интервалов на двух примерах. В первом случае мы изучаем большую выборку, состоящую из 1 000 случайно отобранных участников исследования, из которых 450 имеют изучаемый признак (это может быть фактор риска, исход или любой другой признак), что составляет частоту 0,45, или 45 %. Во втором случае исследование проводится с использованием малой выборки, допустим, всего 20 человек, причем изучаемый признак имеется всего у 1 участника исследования (5 %). Доверительные интервалы по методу Вальда, по методу Вальда с коррекцией по Агрести – Коуллу, по методу Уилсона рассчитывались с помощью онлайн-калькулятора, разработанного Jeff Sauro (http://www. /wald. htm). Доверительные интервалы по методу Уилсона с поправкой на непрерывность рассчитывались с помощью калькулятора, предложенного порталом Wassar Stats: Web Site for Statistical Computation (http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html). Расчеты с помощью углового преобразования Фишера производились «вручную» с использованием критического значения t для 19 и 999 степеней свободы соответственно. Результаты расчетов представлены в таблице для обоих примеров.

Доверительные интервалы, рассчитанные шестью разными способами для двух примеров, описанных в тексте

Как видно из таблицы, для первого примера доверительный интервал, рассчитанный по «общепринятому» методу Вальда заходит в отрицательную область, чего для частот быть не может. К сожалению, подобные казусы нередки в отечественной литературе. Традиционный способ представления данных в виде частоты и ее ошибки частично маскирует эту проблему. Например, если частота встречаемости признака (в процентах) представлена как 2,1 ± 1,4, то это не настолько «режет глаз», как 2,1 % (95 % ДИ: –0,7; 4,9), хоть и обозначает то же самое. Метод Вальда с коррекцией по Агрести – Коуллу и расчет с помощью углового преобразования дают нижнюю границу, стремящуюся к нулю. Метод Уилсона с поправкой на непрерывность и «точный метод» дают более широкие доверительные интервалы, чем метод Уилсона. Для второго примера все методы дают приблизительно одинаковые доверительные интервалы (различия появляются только в тысячных), что неудивительно, так как частота встречаемости события в этом примере не сильно отличается от 50 %, а объем выборки достаточно велик.

Для читателей, заинтересовавшихся данной проблемой, можно порекомендовать работы R. G. Newcombe и Brown, Cai и Dasgupta , в которых приводятся плюсы и минусы применения 7 и 10 различных методов расчета доверительных интервалов соответственно . Из отечественных пособий рекомендуется книга и , в которой помимо подробного описания теории представлены методы Вальда, Уилсона, а также способ расчета доверительных интервалов с учетом биномиального распределения частот. Кроме бесплатных онлайн-калькуляторов (http://www. /wald. htm и http://faculty. vassar. edu/lowry/prop1.html) доверительные интервалы для частот (и не только!) можно рассчитывать с помощью программы CIA (Confidence Intervals Analysis), которую можно загрузить с http://www. medschool. soton. ac. uk/cia/ .

В следующей статье будут рассмотрены одномерные способы сравнения качественных данных.

Список литературы

CONFIDENCE INTERVALS FOR PROPORTIONS

A. M. Grjibovski

National Institute of Public Health, Oslo, Norway

The article presents several methods for calculations confidence intervals for binomial proportions, namely, Wald, Wilson, arcsine, Agresti-Coull and exact Clopper-Pearson methods. The paper gives only general introduction to the problem of confidence interval estimation of a binomial proportion and its aim is not only to stimulate the readers to use confidence intervals when presenting results of own empirical research, but also to encourage them to consult statistics books prior to analysing own data and preparing manuscripts.

Key words : confidence interval, proportion

Контактная информация:

– старший советник Национального института общественного здоровья, г. Осло, Норвегия