Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y "" + p · y " + q · y = f (x) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f (х) непрерывная на интервале интегрирования x .
Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Теорема общего решения ЛДНУ
Теорема 1Общим решением, находящимся на интервале х, неоднородного дифференциального уравнения вида y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + . . . + f 0 (x) · y = f (x) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) и непрерывной функцией f (x) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y ~ , где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y ~ .
Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y ~ . Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y ~ .
Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f (x) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.
Когда f (x) считается за многочлен n -ой степени f (x) = P n (x) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y ~ = Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y ~ является частным решением y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n (x) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 1
Вычислить по теореме Коши y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Решение
Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y "" - 2 y " = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 .
Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y ~ , то есть y = y 0 + y ~ .
Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.
Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что
k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2
Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем
y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .
Найдем y ~ . Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y ~ будет
y ~ = Q 2 (x) · x γ = (A x 2 + B x + C) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А, В, С принимают неопределенные коэффициенты.
Найдем их из равенства вида y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .
Тогда получим, что:
y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C " - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1
Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = - 1 6 , B = - 1 4 , C = - 3 4 и y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .
Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Получаем, что:
y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4
Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .
Применив теорему Коши, имеем, что
y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x
Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .
Когда функция f (x) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f (x) = P n (x) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .
Коэффициенты, принадлежащие Q n (x) находятся по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 2
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .
Решение
Уравнение общего вида y = y 0 + y ~ . Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y "" - 2 y " = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.
Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y ~ = e a x · Q n (x) · x γ , где Q n (x) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что
y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .
А, В, С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x .
Получили, что
y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C
y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 · x 2 + 0 · x + 1
Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А, В, С:
A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3
Ответ: видно, что y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.
Когда функция записывается как f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 3
Найти общее решение дифференциального уравнения вида y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Решение
Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда
k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i , k 2 = - 2 i
Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:
y 0 = e 0 · (C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x)) = C 1 cos 2 x + C 2 sin (2 x)
Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x) . Отсюда видно, что поиск y ~ будет производиться из y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) · x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .
Преобразуем:
y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) · x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) · x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x)
Тогда видно, что
y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) · x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) · x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)
Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:
4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4
Следует, что y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) · x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x .
Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается
y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) · x
Когда f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x) , тогда y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n (x) , Q k (x) , L m (x) и N m (x) являются многочленами степени n , k , т, m , где m = m a x (n , k) . Нахождение коэффициентов L m (x) и N m (x) производится, исходя из равенства y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .
Пример 4
Найти общее решение y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .
Решение
По условию видно, что
α = 3 , β = 5 , P n (x) = - 38 x - 45 , Q k (x) = - 8 x + 5 , n = 1 , k = 1
Тогда m = m a x (n , k) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:
k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2
Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y ~ вида
y ~ = e α x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) · x γ = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) · x 0 = = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))
Известно, что А, В, С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:
y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))
Нахождение производной и подобных слагаемых дает
E 3 x · ((15 A + 23 C) · x · sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) · sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x) + + 8 · x · cos (5 x) - 5 · cos (5 x))
После приравнивания коэффициентов получаем систему вида
15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1
Из всего следует, что
y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:
y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) sin (5 x))
Алгоритм решения ЛДНУ
Определение 1Любой другой вид функции f (x) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:
- нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
- принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
- определение производных функции через систему вида C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " (x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , а нахождение функций C 1 (x) и C 2 (x) посредствам интегрирования.
Пример 5
Найти общее решение для y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x .
Решение
Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y "" + 36 y = 0 . Запишем и решим:
k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = sin (6 x)
Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 (x) и C 2 (x) по системе с уравнениями:
C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 " (x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x
Необходимо произвести решение относительно C 1 " (x) и C 2 " (x) при помощи любого способа. Тогда запишем:
C 1 " (x) = - 4 sin 2 (6 x) + 2 sin (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x sin (6 x) C 2 " (x) = 4 sin (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)
Каждое из уравнений следует проинтегрировать. Тогда запишем получившиеся уравнения:
C 1 (x) = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4
Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:
y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 · cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 · sin (6 x) = = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)
Ответ: y = y 0 + y ~ = - 2 x · cos (6 x) - x · sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos (6 x) + C 4 · sin (6 x)
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Мы убедились, что, в случае когда известно общее решение линейного однородного уравнения, можно по методу вариации произвольных постоянных найти общее решение неоднородного уравнения. Однако вопрос о том, как найти общее решение однородного уравнения, остался открытым. В частном случае, когда в линейном дифференциальном уравнении (3) все коэффициенты р i (х ) = а i - константы, он решается достаточно просто, даже без интегрирования.
Рассмотримлинейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, т. е. уравнения вида
y (n ) + а 1 y (n – 1) +… а n – 1 y " + а n y = 0, (14)
где а i - константы (i = 1, 2, ..., n ).
Как известно, для линейного однородного уравнения 1-го порядка решением является функция вида е kx . Будем искать решение уравнения (14) в виде j (х ) = е kx .
Подставим в уравнение (14) функцию j (х ) и ее производные порядка m (1 £ m £ n )j (m ) (х ) = k m е kx . Получим
(k n + а 1 k n – 1 +… а n – 1 k + а n )е kx = 0,
но е k х ¹ 0 при любом х , поэтому
k n + а 1 k n – 1 +… а n – 1 k + а n = 0. (15)
Уравнение (15) называется характеристическим уравнением, многочлен, стоящий в левой части, - характеристическим многочленом , его корни - характеристическими корнями дифференциального уравнения (14).
Вывод:
функция j (х ) = е kx - решение линейного однородного уравнения (14)тогда и только тогда, когда число k - корень характеристического уравнения (15).
Таким образом, процесс решения линейного однородного уравнения (14) сводится к решению алгебраического уравнения (15).
Возможны различные случаи характеристических корней.
1. Все корни характеристического уравнения действительные и различные.
В этом случае n различным характеристическим корням k 1 , k 2 , ..., k n соответствует n различныx решений однородного уравнения (14)
Можно показать, что эти решения линейно независимы, следовательно, образуют фундаментальную систему решений. Таким образом, общим решением уравнения является функция
где С 1 , C 2 , ..., С n - произвольные константы.
П р и м е р7. Найти общее решение линейного однородного уравнения:
а) у ¢¢ (х ) - 6у ¢ (х ) + 8у (х ) = 0,б) у ¢¢¢ (х ) + 2у ¢¢ (х ) - 3у ¢ (х ) = 0.
Решение. Составим характеристическое уравнение. Для этого заменим производную порядка m функции y (x ) на соответствующую степень
k (у (m ) (x ) « k m ),
при этом сама функция у (х ) как производная нулевого порядка заменяется на k 0 = 1.
В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид k 2 - 6k + 8 = 0. Корни этого квадратного уравнения k 1 = 2, k 2 = 4. Так как они действительные и различные, то общее решение имеет вид j (х ) = С 1 е 2х + С 2 е 4х.
Для случая (б) характеристическим уравнением является уравнение 3-йстепени k 3 + 2k 2 - 3k = 0. Найдем корни этого уравнения:
k (k 2 + 2 k - 3)= 0 Þ k = 0и k 2 + 2 k - 3 = 0 Þ k = 0, (k - 1)(k + 3) = 0,
т. е. k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = - 3.
Этим характеристическим корням соответствует фундаментальная система решений дифференциального уравнения:
j 1 (х ) = е 0х = 1, j 2 (х ) = е х , j 3 (х ) = е - 3х .
Общим решением, согласно формуле (9), является функция
j (х ) = С 1 + С 2 е х + С 3 е - 3х .
II. Все корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные.
Все коэффициенты дифференциального уравнения (14), а следовательно, и его характеристического уравнения (15) - действительные числа, значит, если c реди характеристических корней есть комплексный корень k 1 = а + ib, то есть и сопряженный ему корень k 2 = ` k 1 = а - ib. Первому корню k 1 соответствует решение дифференциального уравнения (14)
j 1 (х ) = е (a + ib )х = е a х е ibх = е aх (cosbx + isinbx )
(воспользовались формулой Эйлера е i х = cosx + isinx ). Аналогично, корнюk 2 = а - ib соответствует решение
j 2 (х ) = е (a - -ib )х = е a х е - ib х = е aх (cosbx - isinbx ).
Данные решения являются комплексными. Чтобы получить из них действительные решения, воспользуемся свойствами решений линейного однородного уравнения (см. 13.2). Функции
являются действительными решениями уравнения (14). Кроме того, эти решения линейно независимы . Таким образом, можно сделать следующий вывод.
Правило 1 . Паре сопряженных комплексных корней а ± ib характеристического уравнения в ФСР линейного однородного уравнения (14) соответствует два действительных частных решения и .
П р и м е р8. Найти общее решение уравнения:
а) у ¢¢ (х ) - 2у ¢ (х ) + 5у (х ) = 0 ;б) у ¢¢¢ (х ) - у ¢¢ (х ) + 4у ¢ (х ) - 4у (х ) = 0.
Решение. В случае уравнения (а) корнями характеристического уравнения k 2 - 2k + 5 = 0 являются два сопряженных комплексных числа
k 1, 2 = .
Следовательно, им, согласно правилу 1, соответствует два действительных линейно независимых решения: и ,а общим решением уравнения является функция
j (х ) = С 1 е х cos 2x + С 2 е х sin 2x.
В случае (б), чтобы найти корни характеристического уравненияk 3 - k 2 + 4k - 4 = 0, разложим на множители его левую часть:
k 2 (k - 1) + 4(k - 1) = 0 Þ (k - 1)(k 2 + 4) = 0 Þ (k - 1) = 0, (k 2 + 4) = 0.
Следовательно, имеем три характеристических корня: k 1 = 1, k 2 , 3 = ± 2i. Корню k 1 соответствует решение , а паре сопряженных комплексных корней k 2, 3 = ± 2i = 0 ± 2i - два действительных решения: и . Составляем общее решение уравнения:
j (х ) = С 1 е х + С 2 cos 2x + С 3 sin 2x.
III. C реди корней характеристического уравнения есть кратные.
Пусть k 1 - действительный корень кратности m характеристического уравнения (15), т. е. среди корней есть m равных корней. Каждому из них соответствует одно и то же решение дифференциального уравнения (14) Однако включить m равных решений в ФСР нельзя, так как они составляют линейно зависимую систему функций.
Можно показать, что в случае кратного корня k 1 решениями уравнения (14), кроме функции являются функции
Функции линейно независимы на всей числовой оси, так как , т. е. их можно включить в ФСР.
Правило 2. Действительному характеристическому корню k 1 кратности m в ФСР соответствует m решений:
Если k 1 - комплексный корень кратности m характеристического уравнения (15), то существует сопряженный ему корень k 1 кратности m . По аналогии получаем следующее правило.
Правило 3 . Паре сопряженных комплексных корней a ± ib в ФСР соответствует 2mдействительных линейно независимых решений:
, , ..., ,
, , ..., .
П р и м е р9. Найти общее решение уравнения:
а) у ¢¢¢ (х ) + 3у ¢¢ (х ) + 3у ¢ (х ) + у( х )= 0;б) у IV (х ) + 6у ¢¢ (х ) + 9у (х ) = 0.
Решение. В случае (а) характеристическое уравнение имеет вид
k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 = 0
(k + 1) 3 = 0,
т. е. k = - 1 - корень кратности 3. На основании правила 2 записываем общее решение:
j (х ) = С 1 + С 2 x + С 3 x 2 .
Характеристическим уравнением в случае (б) является уравнение
k 4 + 6k 2 + 9 = 0
или, иначе,
(k 2 + 3) 2 = 0 Þ k 2 = - 3 Þ k 1, 2 = ± i .
Имеем пару сопряженных комплексных корней, каждый из которых кратности 2. Согласно правилу 3 общее решение записывается в виде
j (х ) = С 1 + С 2 x + С 3 + С 4 x .
Из сказанного выше следует, что для любого линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами можно найти фундаментальную систему решений и составить общее решение. Следовательно, решение соответствующего неоднородного уравнения при любой непрерывной функции f (x ) в правой части можно найти, используя метод вариации произвольных постоянных (см. параграф 5.3).
П р и м е р10.Методом вариации найти общее решение неоднородного уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = x e 2x .
Решение. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = 0. Корнями характеристического уравнения k 2 - k - 6 = 0 являются k 1 = 3, k 2 = - 2, а общим решением однородного уравнения - функция ` у( х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х .
Будем искать решение неоднородного уравнения в виде
у ( х ) = С 1 (х )е 3х + С 2 (х )е 2х . (*)
Найдем определитель Вронского
W [е 3х , е 2х ] = .
Составим систему уравнений (12) относительно производных неизвестных функций С ¢ 1 (х ) и С ¢ 2 (х ):
Решая систему по формулам Крамера, получим
Интегрируя, найдем С 1 (х ) и С 2 (х ):
Подставляя функции С 1 (х ) и С 2 (х ) в равенство (*), получим общее решение уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = x e 2x :
В случае когда правая часть линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет специальный вид, частное решение неоднородного уравнения можно найти, не прибегая к методу вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим уравнение c постоянными коэффициентами
y (n ) + а 1 y (n – 1) +… а n – 1 y " + а n y = f (x ), (16)
f ( x ) = е ax (P n (x )cosbx + R m (x )sinbx ), (17)
где P n (x ) и R m (x ) - многочлены степени n и m соответственно.
Частное решение у* (х ) уравнения (16) определяется формулой
у * (х ) = x s е ax (M r (x )cosbx + N r (x )sinbx ), (18)
гдеM r (x ) иN r (x ) - многочлены степени r = max (n, m ) с неопределенными коэффициентами, а s равно кратности корня k 0 = a + ib характеристического многочлена уравнения (16), при этом полагают s = 0, если k 0 не является характеристическим корнем.
Чтобы по формуле (18) составить частное решение, нужно найти четыре параметра - a, b, r и s. Первые три определяются по правой части уравнения, причем r - это фактически наивысшая степень x , встречающаяся в правой части. Параметр s находится из сравнения числа k 0 = a + ib и набора всех (c учетом кратностей) характеристических корней уравнения (16), которые находятся при решении соответствующего однородного уравнения.
Рассмотрим частные случаи вида функции (17):
1) при a ¹ 0, b = 0f (x )= e ax P n (x );
2) при a = 0, b ¹ 0f (x )= P n (x ) с osbx + R m (x )sinbx;
3) при a = 0, b = 0f (x ) = P n (x ).
Замечание 1. Если P n (x) º 0 или R m (x) º 0, то правая часть уравненияf(x) = e ax P n (x)с osbx или f(x) = e ax R m (x)sinbx, т. е. содержит только одну из функций - косинус или синус. Но в записи частного решения они должны присутствовать обе, так как, согласно формуле (18), каждая из них умножается на многочлен с неопределенными коэффициентами одной и той же степени r = max(n, m).
П р и м е р 11. Определить вид частного решения линейного однородного уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами, если известна правая часть уравнения f (х ) = e x (2xcos 3x + (x 2 + 1)sin 3x ) и корни характеристического уравнения:
а) k 1 = k 2 = 1, k 3 = 3, k 4 = - 1;
б) k 1, 2 = 1 ± 3i , k 3, 4 = ± 1;
в) k 1, 2 = 1 ± 3i , k 3, 4 = 1 ± 3i.
Решение. По правой части находим, что в частном решении у *(х ), которое определяется формулой (18), параметры: a = 1, b = 3, r = 2. Они остаются неизменными для всех трех случаев, следовательно, число k 0 , которое определяет последний параметр s формулы (18) равно k 0 = 1+ 3i . В случае (а) среди характеристических корней нет числа k 0 = 1 + 3i, значит, s = 0, а частное решение имеет вид
у* (х ) = x 0 е x (M 2 (x )cos 3x + N 2 (x )sin 3x ) =
= е x ( (Ax 2 + Bx + C )cos 3x + (A 1 x 2 + B 1 x + C 1)sin 3x.
В случае (б) число k 0 = 1 + 3i встречается среди характеристических корней один раз, значит, s = 1 и
у* (х ) = х е x ((Ax 2 + Bx + C )cos 3x + (A 1 x 2 + B 1 x + C 1)sin 3x.
Для случая (в) имеем s = 2 и
у* (х ) = х 2 е x ((Ax 2 + Bx + C )cos 3x + (A 1 x 2 + B 1 x + C 1)sin 3x.
В примере 11 в записи частного решения присутствуют два многочлена 2-й степени с неопределенными коэффициентами. Для нахождения решения нужно определить числовые значения этих коэффициентов. Сформулируем общее правило.
Для определения неизвестных коэффициентов многочленов M r (x ) и N r (x ) равенство (17) дифференцируют нужное число раз, подставляют функцию у* (х ) и ее производные в уравнение (16). Сравнивая его левую и правую части, получают систему алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов.
П р и м е р 12. Найти решение уравнения у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = xe 2x , определив частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.
Решение. Общее решение неоднородного уравнения имеет вид
у ( х ) = ` у (х ) + у* (х ),
где ` у( х ) - общее решение соответствующего однородного уравнения, а у* (х ) - частное решение неоднородного уравнения.
Сначала решим однородное уравнение у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = 0. Его характеристическое уравнение k 2 - k - 6 = 0 имеет два корня k 1 = 3, k 2 = - 2, следовательно, ` у( х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х .
Воспользуемся формулой (18) для определения вид частного решения у *(х ). Функция f (x ) = xe 2x представляет собой частный случай (а) формулы (17), при этом a = 2, b = 0 и r = 1, т. е. k 0 = 2 + 0i = 2. Сравнивая с характеристическими корнями, заключаем, что s = 0. Подставляя значения всех параметров в формулу (18), имеем у* (х ) = (Ах + B )e 2х .
Чтобы найти значения А и В , найдем производные первого и второго порядков функции у* (х ) = (Ах + B )e 2х :
у* ¢ (х ) = Аe 2х + 2(Ах + B )e 2х = (2Ах + А + 2B )e 2х,
у* ¢¢ (х ) = 2Аe 2х + 2(2Ах + А + 2B )e 2х = (4Ах + 4А + 4B )e 2х .
После подстановки функции у* (х ) и ее производных в уравнение имеем
(4Ах + 4А + 4B )e 2х - (2Ах + А + 2B )e 2х - 6(Ах + B )e 2х = xe 2x Þ Þ A = - 1/4, B = - 3/16.
Таким образом, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
у* (х ) = (- 1/4х - 3/16)e 2х ,
а общее решение - у( х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х + (- 1/4х - 3/16)e 2х .
Замечание 2. В том случае, когда поставлена задача Коши для неоднородного уравнения, нужно сначала найти общее решение уравнения
у ( х ) = ,
определив все числовые значения коэффициентов в у *(х ). Затем воспользоваться начальными условиями и, подставив их в общее решение (а не в у* (х )), найти значения констант C i .
П р и м е р 13. Найти решение задачи Коши:
у ¢¢ (х ) - у ¢ (х ) - 6у (х ) = xe 2x ,у (0) = 0, у ¢ (х ) = 0.
Решение. Общее решение этого уравнения
у (х ) = С 1 е 3х + С 2 е - 2х + (- 1/4х - 3/16)e 2х
было найдено в примере 12. Для нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям данной задачи Коши, получаем систему уравнений
Решая ее, имеем C 1 = 1/8, C 2 = 1/16. Следовательно, решением задачи Коши является функция
у (х ) = 1/8е 3х + 1/16е - 2х + (- 1/4х - 3/16)e 2х .
Замечание 3 (принцип суперпозиции ). Если в линейном уравнении L n [y (x )] = f (x ), где f (x ) = f 1 (x ) + f 2 (x ) и у* 1 (x ) - решение уравнения L n [y (x )] = f 1 (x ), а у* 2 (x ) - решение уравнения L n [y (x )] = f 2 (x ), то функция у* (х ) = у* 1 (x ) + у* 2 (x ) является решением уравнения L n [y (x )] = f (x ).
П р и м е р14. Указать вид общего решения линейного уравнения
у ¢¢ (х ) + 4у (х ) = х + sinx.
Решение. Общее решение соответствующего однородного уравнения
` у (x ) = С 1 сos 2x + С 2 sin 2x ,
так как характеристическое уравнение k 2 + 4 = 0 имеет корни k 1, 2 = ± 2i .Правая часть уравнения не соответствует формуле (17), но если ввести обозначения f 1 (x ) = х , f 2 (x ) = sinx и воспользоваться принципом суперпозиции, то частное решение неоднородного уравнения можно найти в видеу* (х ) = у* 1 (x ) + у* 2 (x ), где у* 1 (x ) - решение уравнения у ¢¢ (х ) + 4у (х ) = х , а у* 2 (x ) - решение уравнения у ¢¢ (х ) + 4у (х ) = sinх. По формуле (18)
у* 1 (x ) = Ах + В ,у* 2 (x ) = Ссosx + Dsinx.
Тогда частное решение
у* (х ) = Ах + В + Ссosx + Dsinx ,
следовательно, общее решение имеет вид
у (х ) = С 1 сos 2x + С 2 е - 2х+ А х + В + Ссosx + Dsinx.
П р и м е р15. Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с эдс e (t ) = E sin w t, индуктивности L и емкости С , причем
Основы решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка (ЛНДУ-2) с постоянными коэффициентами (ПК)
ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $p$ и $q$ имеет вид $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, где $f\left(x\right)$ - непрерывная функция.
В отношении ЛНДУ 2-го с ПК справедливы два следующих утверждения.
Предположим, что некоторая функция $U$ является произвольным частным решением неоднородного дифференциального уравнения. Предположим также, что некоторая функция $Y$ является общим решением (ОР) соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения (ЛОДУ) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогда ОР ЛНДУ-2 равно сумме указанных частного и общего решений, то есть $y=U+Y$.
Если правая часть ЛНДУ 2-го порядка представляет собой сумму функций, то есть $f\left(x\right)=f_{1} \left(x\right)+f_{2} \left(x\right)+...+f_{r} \left(x\right)$, то сначала можно найти ЧР $U_{1} ,U_{2} ,...,U_{r} $, которые соответствуют каждой из функций $f_{1} \left(x\right),f_{2} \left(x\right),...,f_{r} \left(x\right)$, а уже после этого записать ЧР ЛНДУ-2 в виде $U=U_{1} +U_{2} +...+U_{r} $.
Решение ЛНДУ 2-го порядка с ПК
Очевидно, что вид того или иного ЧР $U$ данного ЛНДУ-2 зависит от конкретного вида его правой части $f\left(x\right)$. Простейшие случаи поиска ЧР ЛНДУ-2 сформулированы в виде четырех следующих правил.
Правило № 1.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)=a_{0} \cdot x^{n} +a_{1} \cdot x^{n-1} +...+a_{n-1} \cdot x+a_{n} $, то есть называется многочленом степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных нулю. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом неопределенных коэффициентов (НК).
Правило № 2.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot P_{n} \left(x\right)$, где $P_{n} \left(x\right)$ представляет собой многочлен степени $n$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=Q_{n} \left(x\right)\cdot x^{r} \cdot e^{\alpha \cdot x} $, где $Q_{n} \left(x\right)$ - другой многочлен той же степени, что и $P_{n} \left(x\right)$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha $. Коэффициенты многочлена $Q_{n} \left(x\right)$ находят методом НК.
Правило № 3.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)$, где $a$, $b$ и $\beta $ - известные числа. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right)\right)\cdot x^{r} $, где $A$ и $B$ - неизвестные коэффициенты, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $i\cdot \beta $. Коэффициенты $A$ и $B$ находят методом НК.
Правило № 4.
Правая часть ЛНДУ-2 имеет вид $f\left(x\right)=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left$, где $P_{n} \left(x\right)$ - многочлен степени $n$, а $P_{m} \left(x\right)$ - многочлен степени $m$. Тогда его ЧР $U$ ищут в виде $U=e^{\alpha \cdot x} \cdot \left\cdot x^{r} $, где $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ - многочлены степени $s$, число $s$ - максимальное из двух чисел $n$ и $m$, а $r$ - количество корней характеристического уравнения соответствующего ЛОДУ-2, равных $\alpha +i\cdot \beta $. Коэффициенты многочленов $Q_{s} \left(x\right)$ и $R_{s} \left(x\right)$ находят методом НК.
Метод НК состоит в применении следующего правила. Для того чтобы найти неизвестные коэффициенты многочлена, которые входят в состав частного решения неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ-2, необходимо:
- подставить ЧР $U$, записанное в общем виде, в левую часть ЛНДУ-2;
- в левой части ЛНДУ-2 выполнить упрощения и сгруппировать члены с одинаковыми степенями $x$;
- в полученном тождестве приравнять коэффициенты при членах с одинаковыми степенями $x$ левой и правой частей;
- решить полученную систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов.
Пример 1
Задача: найти ОР ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. Найти также ЧР, удовлетворяющее начальным условиям $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$.
Записываем соответствующее ЛОДУ-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.
Характеристическое уравнение: $k^{2} -3\cdot k-18=0$. Корни характеристического уравнения: $k_{1} =-3$, $k_{2} =6$. Эти корни действительны и различны. Таким образом, ОР соответствующего ЛОДУ-2 имеет вид: $Y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} $.
Правая часть данного ЛНДУ-2 имеет вид $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x} $. В ней необходимо рассматривать коэффициент показателя степени экспоненты $\alpha =3$. Этот коэффициент не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения. Поэтому ЧР данного ЛНДУ-2 имеет вид $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
Будем искать коэффициенты $A$, $B$ методом НК.
Находим первую производную ЧР:
$U"=\left(A\cdot x+B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Находим вторую производную ЧР:
$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^{{"} } \cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^{3\cdot x} \right)^{{"} } =$
$=3\cdot A\cdot e^{3\cdot x} +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем функции $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в данное ЛНДУ-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^{3\cdot x}. $ При этом, поскольку экспонента $e^{3\cdot x} $ входит как множитель во все составляющие, то её можно опустить. Получаем:
$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$
Выполняем действия в левой части полученного равенства:
$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$
Применяем метод НК. Получаем систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
$-18\cdot A=36;$
$3\cdot A-18\cdot B=12.$
Решение этой системы таково: $A=-2$, $B=-1$.
ЧР $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^{3\cdot x} $ для нашей задачи выглядит следующим образом: $U=\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
ОР $y=Y+U$ для нашей задачи выглядит следующим образом: $y=C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +C_{2} \cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
С целью поиска ЧР, удовлетворяющего заданным начальным условиям, находим производную $y"$ ОР:
$y"=-3\cdot C_{1} \cdot e^{-3\cdot x} +6\cdot C_{2} \cdot e^{6\cdot x} -2\cdot e^{3\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^{3\cdot x} .$
Подставляем в $y$ и $y"$ начальные условия $y=6$ при $x=0$ и $y"=1$ при $x=0$:
$6=C_{1} +C_{2} -1; $
$1=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -2-3=-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} -5.$
Получили систему уравнений:
$C_{1} +C_{2} =7;$
$-3\cdot C_{1} +6\cdot C_{2} =6.$
Решаем её. Находим $C_{1} $ по формуле Крамера, а $C_{2} $ определяем из первого уравнения:
$C_{1} =\frac{\left|\begin{array}{cc} {7} & {1} \\ {6} & {6} \end{array}\right|}{\left|\begin{array}{cc} {1} & {1} \\ {-3} & {6} \end{array}\right|} =\frac{7\cdot 6-6\cdot 1}{1\cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1} =\frac{36}{9} =4; C_{2} =7-C_{1} =7-4=3.$
Таким образом, ЧР данного дифференциального уравнения имеет вид: $y=4\cdot e^{-3\cdot x} +3\cdot e^{6\cdot x} +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^{3\cdot x} $.
