Найти объем тела вращения ограниченного линиями онлайн. Урок «Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла

Объем тела вращения можно вычислить по формуле:

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Как расставить пределы интегрирования «а» и «бэ», думаю, легко догадаться из выполненного чертежа.

Функция … что это за функция? Давайте посмотрим на чертеж. Плоская фигура ограничена графиком параболы сверху. Это и есть та функция, которая подразумевается в формуле.

В практических заданиях плоская фигура иногда может располагаться и ниже оси . Это ничего не меняет – функция в формуле возводится в квадрат: , таким образом объем тела вращения всегда неотрицателен , что весьма логично.

Вычислим объем тела вращения, используя данную формулу:

Как я уже отмечал, интеграл почти всегда получается простой, главное, быть внимательным.

Ответ:

В ответе нужно обязательно указать размерность – кубические единицы . То есть, в нашем теле вращения примерно 3,35 «кубиков». Почему именно кубические единицы ? Потому что наиболее универсальная формулировка. Могут быть кубические сантиметры, могут быть кубические метры, могут быть кубические километры и т.д., это уж, сколько зеленых человечков ваше воображение поместит в летающую тарелку.

Пример 2

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями , ,

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Рассмотрим две более сложные задачи, которые тоже часто встречаются на практике.

Пример 3

Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями , , и

Решение: Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями , , , , не забывая при этом, что уравнение задает ось :

Искомая фигура заштрихована синим цветом. При её вращении вокруг оси получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.

Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел .

Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через .

Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси , то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через .

И, очевидно, разность объемов – в точности объем нашего «бублика».

Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения:

1) Фигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

2) Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой , поэтому:

3) Объем искомого тела вращения:

Ответ:

Любопытно, что в данном случае решение можно проверить, используя школьную формулу для вычисления объема усеченного конуса.

Само решение чаще оформляют короче, примерно в таком духе:

Теперь немного отдохнем, и расскажу о геометрических иллюзиях.

У людей часто возникают иллюзии, связанная с объемами, которую подметил еще Перельман (не тот) в книге Занимательная геометрия . Посмотрите на плоскую фигуру в прорешанной задаче – она вроде бы невелика по площади, а объем тела вращения составляет чуть более 50 кубических единиц, что кажется слишком большим. Кстати, среднестатистический человек за всю свою жизнь выпивает жидкость объемом с комнату площадью 18 квадратных метров, что, наоборот, кажется слишком маленьким объемом.

Вообще, система образования в СССР действительно была самой лучшей. Та же книга Перельмана, написанная им еще в 1950 году, очень хорошо развивает, как сказал юморист, соображаловку и учит искать оригинальные нестандартные решения проблем. Недавно с большим интересом перечитал некоторые главы, рекомендую, доступно даже для гуманитариев. Нет, не нужно улыбаться, что я предложил беспонтовое времяпровождение, эрудиция и широкий кругозор в общении – отличная штука.

После лирического отступления как раз уместно решить творческое задание:

Пример 4

Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси плоской фигуры, ограниченной линиями , , где .

Это пример для самостоятельного решения. Обратите внимание, что все дела происходят в полосе , иными словами, даны практически готовые пределы интегрирования. Также постарайтесь правильно начертить графики тригонометрических функций, если аргумент делится на два: , то графики растягиваются по оси в два раза. Попробуйте найти хотя бы 3-4 точки по тригонометрическим таблицам и точнее выполнить чертеж. Полное решение и ответ в конце урока. Кстати, задание можно решить рационально и не очень рационально.

Вычисление объема тела, образованного вращением
плоской фигуры вокруг оси

Второй параграф будет еще интереснее, чем первый. Задание на вычисление объема тела вращения вокруг оси ординат – тоже достаточно частый гость в контрольных работах. Попутно будет рассмотрена задача о нахождении площади фигуры вторым способом – интегрированием по оси , это позволит вам не только улучшить свои навыки, но и научит находить наиболее выгодный путь решения. В этом есть и практический жизненный смысл! Как с улыбкой вспоминала мой преподаватель по методике преподавания математики, многие выпускники благодарили её словами: «Нам очень помог Ваш предмет, теперь мы эффективные менеджеры и оптимально руководим персоналом». Пользуясь случаем, я тоже выражаю ей свою большую благодарность, тем более, что использую полученные знания по прямому назначению =).

Пример 5

Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.
2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .

Внимание! Даже если вы хотите ознакомиться только со вторым пунктом, сначалаобязательно прочитайте первый!

Решение: Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.

1) Выполним чертёж:

Легко заметить, что функция задает верхнюю ветку параболы, а функция – нижнюю ветку параболы. Перед нами тривиальная парабола, которая «лежит на боку».

Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.

Как найти площадь фигуры? Её можно найти «обычным» способом, который рассматривался на уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры . Причем, площадь фигуры находится как сумма площадей:
– на отрезке ;
– на отрезке .

Поэтому:

Чем в данном случае плох обычный путь решения? Во-первых, получилось два интеграла. Во-вторых, под интегралами корни, а корни в интегралах – не подарок, к тому же можно запутаться в подстановке пределов интегрирования. На самом деле, интегралы, конечно, не убийственные, но на практике всё бывает значительно печальнее, просто я подобрал для задачи функции «получше».

Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .

Как перейти к обратным функциям? Грубо говоря, нужно выразить «икс» через «игрек». Сначала разберемся с параболой:

Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:

С прямой всё проще:

Теперь смотрим на ось : пожалуйста, периодически наклоняйте голову вправо на 90 градусов по ходу объяснений (это не прикол!). Нужная нам фигура лежит на отрезке , который обозначен красным пунктиром. При этом на отрезке прямая расположена выше параболы , а значит, площадь фигуры следует найти по уже знакомой вам формуле: . Что поменялось в формуле? Только буква, и не более того.

! Примечание: Пределы интегрирования по оси следует расставлять строго снизу вверх !

Находим площадь:

На отрезке , поэтому:

Обратите внимание, как я осуществил интегрирование, это самый рациональный способ, и в следующем пункте задания будет понятно – почему.

Для читателей, сомневающихся в корректности интегрирования, найду производные:

Получена исходная подынтегральная функция, значит интегрирование выполнено правильно.

Ответ:

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси .

Перерисую чертеж немного в другом оформлении:

Итак, фигура, заштрихованная синим цветом, вращается вокруг оси . В результате получается «зависшая бабочка», которая вертится вокруг своей оси.

Для нахождения объема тела вращения будем интегрировать по оси . Сначала нужно перейти к обратным функциям. Это уже сделано и подробно расписано в предыдущем пункте.

Теперь снова наклоняем голову вправо и изучаем нашу фигуру. Очевидно, что объем тела вращения, следует найти как разность объемов.

Вращаем фигуру, обведенную красным цветом, вокруг оси , в результате получается усеченный конус. Обозначим этот объем через .

Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси и обозначаем через объем полученного тела вращения.

Объем нашей бабочки равен разности объемов .

Используем формулу для нахождения объема тела вращения:

В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.

А вот и преимущество интегрирования, о котором я недавно говорил, гораздо легче найти , чем предварительно возводить подынтегральную функцию в 4-ую степень.

Ответ:

Однако нехилая бабочка.

Заметьте, что если эту же плоскую фигуру вращать вокруг оси , то получится совершенно другое тело вращения, другого, естественно, объема.

Пример 6

Дана плоская фигура, ограниченная линиями , и осью .

1) Перейти к обратным функциям и найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями, интегрированием по переменной .
2) Вычислить объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .

плоской фигуры вокруг оси

Пример 3

Дана плоская фигура, ограниченная линиями , , .

1) Найти площадь плоской фигуры, ограниченной данными линиями.

2) Найти объем тела, полученного вращением плоской фигуры, ограниченной данными линиями, вокруг оси .

Внимание! Даже если вы хотите ознакомиться только со вторым пунктом, сначала обязательно прочитайте первый!

Решение : Задача состоит из двух частей. Начнем с площади.

1) Выполним чертёж:

Нужная фигура, площадь которой предстоит найти, заштрихована синим цветом.

Как найти площадь фигуры? Её можно найти «обычным» способом. Причем, площадь фигуры находится как сумма площадей:

– на отрезке ;

– на отрезке .

Поэтому:

Есть более рациональный путь решения: он состоит в переходе к обратным функциям и интегрированию по оси .

Этого достаточно, но убедимся, что такую же функцию можно вывести из нижней ветки:

С прямой всё проще:

! Примечание : Пределы интегрирования по оси следует расставлять строго снизу вверх !

Находим площадь:

На отрезке , поэтому:

Для читателей, сомневающихся в корректности интегрирования, найду производные:

Получена исходная подынтегральная функция, значит интегрирование выполнено правильно.

Ответ :

2) Вычислим объем тела, образованного вращением данной фигуры, вокруг оси .

Перерисую чертеж немного в другом оформлении:

Вращаем фигуру, обведенную зеленым цветом, вокруг оси и обозначаем через объем полученного тела вращения.

Объем нашей бабочки равен разности объемов .

Используем формулу для нахождения объема тела вращения:

В чем отличие от формулы предыдущего параграфа? Только в букве.

Ответ :

Пример 7

Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной кривыми и .

Решение : Выполним чертеж:

Попутно знакомимся с графиками некоторых других функций. Такой вот интересный график чётной функции ….

Для цели нахождения объема тела вращения достаточно использовать правую половину фигуры, которую я заштриховал синим цветом. Обе функции являются четными, их графики симметричны относительно оси , симметрична и наша фигура. Таким образом, заштрихованная правая часть, вращаясь вокруг оси , непременно совпадёт с левой нештрихованной частью.

Тема: «Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла»

Тип урока: комбинированный.

Цель урока: научиться вычислять объемы тел вращения с помощью интегралов.

Задачи:

закрепить умение выделять криволинейные трапеции из ряда геометрических фигур и отработать навык вычислений площадей криволинейных трапеций;

познакомиться с понятием объемной фигуры;

научиться вычислять объемы тел вращения;

способствовать развитию логического мышления, грамотной математической речи, аккуратности при построении чертежей;

воспитывать интерес к предмету, к оперированию математическими понятиями и образами, воспитать волю, самостоятельность, настойчивость при достижении конечного результата.

Ход урока

I. Организационный момент.

Приветствие группы. Сообщение учащимся целей урока.

Сегодняшний урок мне бы хотелось начать с притчи. “Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: “Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?” А сам думает: “Скажет живая - я ее у мертвлю, скажет мертвая - выпущу”. Мудрец, подумав, ответил: “Все в твоих руках”.

Поэтому давайте сегодня плодотворно поработаем, приобретем новый багаж знаний, и полученные умения и навыки будем применять в дальнейшей жизни и в практической деятельности.“Все в Ваших руках”.

II. Повторение ранее изученного материала.

Давайте вспомним основные моменты ранее изученного материала. Для этого выполним задание“Исключите лишнее слово”.

(Студенты говорят лишнее слово.)

Правильно “Дифференциал”. Попробуйте оставшиеся слова назвать одним общим словом. (Интегральное исчисление.)

Давайте вспомним основные этапы и понятия связанные с интегральным исчислением..

Задание. Восстановите пропуски. (Студент выходит и вписывает маркером необходимые слова.)

Работа в тетрадях.

Формулу Ньютона-Лейбница вывели английский физик Исаака Ньютона (1643-1727) и немецкий философ Готфрида Лейбница (1646-1716). И это не удивительно, ведь математика - язык, на котором говорит сама природа.

Рассмотрим, как при решении практических заданий используется эта формула.

Пример 1: Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение: Построим на координатной плоскости графики функций . Выделим площадь фигуры, которую надо найти.

III. Изучение нового материала.

Обратите внимание на экран. Что изображено на первом рисунке? (На рисунке представлена плоская фигура.)

Что изображено на втором рисунке? Является ли эта фигура плоской? (На рисунке представлена объемная фигура.)

В космосе, на земле и в повседневной жизни мы встречаемся не только с плоскими фигурами, но и объемными, а как же вычислить объем таких тел? Например: объем планеты, кометы, метеорита, и т.д.

Об объеме задумываются и строя дома, и переливая воду из одного сосуда в другой. Правила и приёмы вычисления объёмов должны были возникать, другое дело, насколько они были точны и обоснованы.

1612 год был для жителей австрийского города Линц, где жил тогда известный астроном Иоганн Кеплер очень урожайным, особенно на виноград. Люди заготовляли винные бочки и хотели знать, как практически определить их объёмы.

Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. оформлением в трудах И. Ньютона и Г.В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления. Математика переменных величии заняла с этого времени ведущее место в системе математических знаний.

Вот сегодня мы с вами и займемся такой практической деятельностью, следовательно,

Тема нашего урока: “Вычисление объемов тел вращения с помощью определенного интеграла”.

Определение тела вращения вы узнаете, выполнив следующее задание.

“Лабиринт”.

Задание. Найдите выход из запутанного положения и запишите определение.

IV Вычисление объемов.

При помощи определенного интеграла можно вычислить объем того или иного тела, в частности, тела вращения.

Телом вращения называется тело, полученное вращением криволинейной трапеции вокруг ее основания (рис. 1, 2)

Объем тела вращения вычисляется по одной из формул :

1. вокруг оси ОХ.

2. , если вращение криволинейной трапеции вокруг оси ОУ.

Студенты записывают основные формулы в тетрадь..

Преподаватель объясняет решение примеров на доске.

1. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси ординат криволинейной трапеции, ограниченной линиями: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Ответ: 1163 cm3.

2. Найти объем тела, получаемого вращением параболической трапеции, вокруг оси абсцисс y = , x = 4, y = 0.

Решение.

V . Математический тренажер.

2. Совокупность всех первообразных от данной функции называется

А) неопределенным интегралом,

Б) функцией,

В) дифференциацией.

7. Найти объем тела, получаемого вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями:

Д/З. Закрепление нового материала

Вычислить объем тела, образованного вращением лепестка, вокруг оси абсцисс y = x2, y2 = x.

Построим графики функции. y = x2, y2 = x. График y2 = x преобразуем к виду y = .

Имеем V = V1 - V2 Вычислим объем каждой функции:

Вывод :

Определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики, которая вносит незаменимый вклад в решение задач практического содержания.

Тема “Интеграл” ярко демонстрирует связь математики с физикой, биологией, экономикой и техникой.

Развитие современной науки немыслимо без использования интеграла. В связи с этим, начинать его изучение необходимо в рамках средне специального образования!

VI . Выставление оценок. (С комментированием.)

Великий Омар Хайям - математик, поэт, философ. Он призывает быть хозяевами своей судьбы. Слушаем отрывок из его произведения:

Ты скажешь, эта жизнь - одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт.
Не забывай: она - твоё творенье.

Определение 3. Тело вращения – это тело, полученное вращением плоской фигуры вокруг оси, не пересекающей фигуру и лежащей с ней в одной плоскости.

Ось вращения может и пересекать фигуру, если это ось симметрии фигуры.

Теорема 2.
, осью
и отрезками прямых
и

вращается вокруг оси
. Тогда объём получающегося тела вращения можно вычислить по формуле

(2)

Доказательство. Для такого тела сечение с абсциссой – это круг радиуса
, значит
и формула (1) даёт требуемый результат.

Если фигура ограничена графиками двух непрерывных функций
и
, и отрезками прямых
и
, причём
и
, то при вращении вокруг оси абсцисс получим тело, объём которого

Пример 3. Вычислить объём тора, полученного вращением круга, ограниченного окружностью

вокруг оси абсцисс.

Решение. Указанный круг снизу ограничен графиком функции
, а сверху –
. Разность квадратов этих функций:

Искомый объём

(графиком подынтегральной функции является верхняя полуокружность, поэтому написанный выше интеграл – это площадь полукруга).

Пример 4. Параболический сегмент с основанием
, и высотой, вращается вокруг основания. Вычислить объём получающегося тела («лимон» Кавальери).

Решение. Параболу расположим как показано на рисунке. Тогда её уравнение
, причем
. Найдём значение параметра:
. Итак, искомый объём:

Теорема 3. Пусть криволинейная трапеция, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции
, осью
и отрезками прямых
и
, причём
, вращается вокруг оси
. Тогда объём получающегося тела вращения может быть найден по формуле

(3)

Идея доказательства. Разбиваем отрезок
точками

, на части и проводим прямые
. Вся трапеция разложится на полоски, которые можно считать приближенно прямоугольниками с основанием
и высотой
.

Получающийся при вращении такого прямоугольника цилиндр разрежем по образующей и развернём. Получим «почти» параллелепипед с размерами:
,
и
. Его объём
. Итак, для объёма тела вращения будем иметь приближенноё равенство

Для получения точного равенства надо перейти к пределу при
. Написанная выше сумма есть интегральная сумма для функции
, следовательно, в пределе получим интеграл из формулы (3). Теорема доказана.

Замечание 1. В теоремах 2 и 3 условие
можно опустить: формула (2) вообще нечувствительна к знаку
, а в формуле (3) достаточно
заменить на
.

Пример 5. Параболический сегмент (основание
, высота) вращается вокруг высоты. Найти объём получающегося тела.

Решение. Расположим параболу как показано на рисунке. И хотя ось вращения пересекает фигуру, она – ось – является осью симметрии. Поэтому надо рассматривать лишь правую половину сегмента. Уравнение параболы
, причем
, значит
. Имеем для объёма:

Замечание 2. Если криволинейная граница криволинейной трапеции задана параметрическими уравнениями
,
,
и
,
то можно использовать формулы (2) и (3) с заменойна
и
на
при измененииt от
до.

Пример 6. Фигура ограничена первой аркой циклоиды
,
,
, и осью абсцисс. Найти объём тела, полученного вращением этой фигуры вокруг: 1) оси
; 2) оси
.

Решение. 1) Общая формула
В нашем случае:

2) Общая формула
Для нашей фигуры:

Предлагаем студентам самостоятельно провести все вычисления.

Замечание 3. Пусть криволинейный сектор, ограниченный непре-рывной линией
и лучами
,

, вращается вокруг полярной оси. Объём получающегося тела можно вычислить по формуле.

Пример 7. Часть фигуры, ограниченной кардиоидой
, лежащая вне окружности
, вращается вокруг полярной оси. Найти объём тела, которое при этом получается.

Решение. Обе линии, а значит и фигура, которую они ограничивают, симметричны относительно полярной оси. Поэтому необходимо рассматривать лишь ту часть, для которой
. Кривые пересекаются при
и

при
. Далее, фигуру можно рассматривать как разность двух секторов, а значит и объём вычислять как разность двух интегралов. Имеем:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Круговой сегмент, основание которого
, высота , вращается вокруг основания. Найти объём тела вращения.

2. Найти объём параболоида вращения, основание которого , а высота равна.

3. Фигура, ограниченная астроидой
,
вращает-ся вокруг оси абсцисс. Найти объём тела, которое получается при этом.

4. Фигура, ограниченная линиями
и
вращается вокруг оси абсцисс. Найти объём тела вращения.