Найти касательную графику функции точке. Уравнение касательной к графику функции

В этой статье мы разберем все типы задач на нахождение

Вспомним геометрический смысл производной : если к графику функции в точке проведена касательная, то коэффициент наклона касательной (равный тангенсу угла между касательной и положительным направлением оси ) равен производной функции в точке .

Возьмем на касательной произвольную точку с координатами :

И рассмотрим прямоугольный треугольник :

В этом треугольнике

Отсюда

Это и есть уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке .

Чтобы написать уравнение касательной, нам достаточно знать уравнение функции и точку, в которой проведена касательная. Тогда мы сможем найти и .

Есть три основных типа задач на составление уравнения касательной.

1. Дана точка касания

2. Дан коэффициент наклона касательной, то есть значение производной функции в точке .

3. Даны координаты точки, через которую проведена касательная, но которая не является точкой касания.

Рассмотрим каждый тип задач.

1 . Написать уравнение касательной к графику функции в точке .

б) Найдем значение производной в точке . Сначала найдем производную функции

Подставим найденные значения в уравнение касательной:

Раскроем скобки в правой части уравнения. Получим:

Ответ: .

2 . Найти абсциссы точек, в которых касательные к графику функции параллельны оси абсцисс.

Если касательная параллельна оси абсцисс, следовательно угол между касательной и положительным направлением оси равен нулю, следовательно тангенс угла наклона касательной равен нулю. Значит, значение производной функции в точках касания равно нулю.

а) Найдем производную функции .

б) Приравняем производную к нулю и найдем значения , в которых касательная параллельна оси :

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

Ответ: 0;3;5

3 . Написать уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .

Касательная параллельна прямой . Коэффициент наклона этой прямой равен -1. Так как касательная параллельна этой прямой, следовательно, коэффициент наклона касательной тоже равен -1. То есть мы знаем коэффициент наклона касательной , а, тем самым, значение производной в точке касания .

Это второй тип задач на нахождение уравнения касательной.

Итак, у нас дана функция и значение производной в точке касания.

а) Найдем точки, в которых производная функции равна -1.

Сначала найдем уравнение производной.

Приравняем производную к числу -1.

Найдем значение функции в точке .

(по условию)

б) Найдем уравнение касательной к графику функции в точке .

Найдем значение функции в точке .

(по условию).

Подставим эти значения в уравнение касательной:

Ответ:

4 . Написать уравнение касательной к кривой , проходящей через точку

Сначала проверим, не является ли точка точкой касания. Если точка является точкой касания, то она принадлежит графику функции, и её координаты должны удовлетворять уравнению функции. Подставим координаты точки в уравнение функции.

Title="1sqrt{8-3^2}">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и не является точкой касания.

Это последний тип задач на нахождение уравнения касательной. Первым делом нам нужно найти абсциссу точки касания .

Найдем значение .

Пусть - точка касания. Точка принадлежит касательной к графику функции . Если мы подставим координаты этой точки в уравнение касательной, то получим верное равенство:

Значение функции в точке равно .

Найдем значение производной функции в точке .

Сначала найдем производную функции . Это .

Производная в точке равна .

Подставим выражения для и в уравнение касательной. Получим уравнение относительно :

Решим это уравнение.

Сократим числитель и знаменатель дроби на 2:

Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю. Получим:

Упростим числитель дроби и умножим обе части на - это выражение строго больше нуля.

Получим уравнение

Решим его. Для этого возведем обе части в квадрат и перейдем к системе.

Title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{64-48{x_0}+9{x_0}^2=8-{x_0}^2} {8-3x_0>=0} }}{ }">

Решим первое уравнение.

Решим квадратное уравнение, получим

Второй корень не удовлетворяет условию title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .

Напишем уравнение касательной к кривой в точке . Для этого подставим значение в уравнение - мы его уже записывали.

Ответ:
.

Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» демонстрирует учебный материал для освоения темы. В ходе видеоурока представлен теоретический материал, необходимый для формирования понятия об уравнении касательной к графику функции в данной точке, алгоритм нахождения такой касательной, описаны примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.

В видеоуроке используются методы, улучшающие наглядность материала. В представлении вставлены рисунки, схемы, даются важные голосовые комментарии, применяется анимация, выделение цветом и другими инструментами.

Видеоурок начинается с представления темы урока и изображения касательной к графику некоторой функции y=f(x) в точке M(a;f(a)). Известно, что угловой коэффициент касательной, построенной к графику в данной точке, равен производной функции f΄(a) в данной точке. Также из курса алгебры известно уравнение прямой y=kx+m. Схематично представлено решение задачи нахождения уравнения касательной в точке, которая сводится к нахождению коэффициентов k, m. Зная координаты точки, принадлежащей графику функции, можем найти m, подставив значение координат в уравнение касательной f(a)=ka+m. Из него находим m=f(a)-ka. Таким образом, зная значение производной в данной точке и координаты точки, можно представить уравнение касательной таким образом y=f(a)+f΄(a)(x-a).

Далее рассматривается пример составления уравнения касательной, следуя схеме. Дана функция y=x 2 , x=-2. Приняв а=-2, находим значение функции в данной точке f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Определяем производную функции f΄(х)=2х. В данной точке производная равна f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Для составления уравнения найдены все коэффициенты а=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, поэтому уравнение касательной у=4+(-4)(х+2). Упростив уравнение, получаем у=-4-4х.

В следующем примере предлагается составить уравнение касательной в начале координат к графику функции y=tgx. В данной точке а=0, f(0)=0, f΄(х)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Таким образом, уравнение касательной выглядит у=х.

В качестве обобщения процесс составления уравнения касательной к графику функции в некоторой точке оформляется в виде алгоритма, состоящего из 4 шагов:

Вводится обозначение а абсциссы точки касания;
Вычисляется f(a);
Определяется f΄(х) и вычисляется f΄(a). В формулу уравнения касательной y=f(a)+f΄(a)(x-a) подставляются найденные значения а, f(a), f΄(a).

В примере 1 рассматривается составление уравнения касательной к графику функции у=1/х в точке х=1. Для решения задачи пользуемся алгоритмом. Для данной функции в точке а=1 значение функции f(a)=-1. Производная функции f΄(х)=1/х 2 . В точке а=1 производная f΄(a)= f΄(1)=1. Используя полученные данные, составляется уравнение касательной у=-1+(х-1), или у=х-2.

В примере 2 необходимо найти уравнение касательной к графику функции у=х 3 +3х 2 -2х-2. Основное условие - параллельность касательной и прямой у=-2х+1. Сначала находим угловой коэффициент касательной, равный угловому коэффициенту прямой у=-2х+1. Так как f΄(a)=-2 для данной прямой, то k=-2 и для искомой касательной. Находим производную функции (х 3 +3х 2 -2х-2)΄=3х 2 +6х-2. Зная, что f΄(a)=-2, находим координаты точки 3а 2 +6а-2=-2. Решив уравнение, получаем а 1 =0, а 2 =-2. Используя найденные координаты, можно найти уравнение касательной с помощью известного алгоритма. Находим значение функции в точках f(а 1)=-2, f(а 2)=-18. Значение производной в точке f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Подставив найденные значения в уравнение касательной, получим для первой точки а 1 =0 у=-2х-2, а для второй точки а 2 =-2 уравнение касательной у=-2х-22.

В примере 3 описывается составление уравнения касательной для ее проведения в точке (0;3) к графику функции y=√x. Решение производится по известному алгоритму. Точка касания имеет координаты х=а, где а>0. Значение функции в точке f(a)=√x. Производная функции f΄(х)=1/2√х, поэтому в данной точке f΄(а)=1/2√а. Подставив все полученные значения в уравнение касательной, получаем у=√а+(х-а)/2√а. Преобразовав уравнение, получаем у=х/2√а+√а/2. Зная, что касательная проходит через точку (0;3), находим значение а. Находим а из 3=√а/2. Отсюда √а=6, а=36. Находим уравнение касательной у=х/12+3. На рисунке изображается график рассматриваемой функции и построенная искомая касательная.

Ученикам напоминаются приближенные равенства Δy=≈f΄(x)Δxи f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Принимая х=а, x+Δx=х, Δx=х-а, получаем f(х)- f(а)≈f΄(а)(х-а), отсюда f(х)≈f(а)+f΄(а)(х-а).

В примере 4 необходимо найти приближенное значение выражение 2,003 6 . Так как необходимо отыскать значение функции f(х)=х 6 в точке х=2,003, можем воспользоваться известной формулой, приняв f(х)=х 6 , а=2, f(а)= f(2)=64, f΄(x)=6х 5 . Производная в точке f΄(2)=192. Поэтому 2,003 6 ≈65-192·0,003. Вычислив выражение, получаем 2,003 6 ≈64,576.

Видеоурок «Уравнение касательной к графику функции» рекомендуется использовать на традиционном уроке математики в школе. Учителю, осуществляющему обучению дистанционно, видеоматериал поможет более понятно объяснить тему. Видео может быть рекомендовано для самостоятельного рассмотрения учениками при необходимости углубить их понимание предмета.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

Нам известно, что если точка М (а; f(а)) (эм с координатами а и эф от а) принадлежит графику функции у =f (x) и если в этой точке к графику функции можно провести касательную, не перпендикулярную к оси абсцисс, то угловой коэффициент касательной равен f"(a) (эф штрих от а).

Пусть даны функция у = f(x) и точка М (a; f(a)), a также известно, что существует f´(a). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в заданной точке. Это уравнение, как уравнение любой прямой, не параллельной оси ординат, имеет вид y = kx+m (игрек равный ка икс плюс эм), поэтому задача состоит в отыскании значений коэффициентов k и m.(ка и эм)

Угловой коэффициент k= f"(a). Для вычисления значения m воспользуемся тем, что искомая прямая проходит через точку М(а; f (а)). Это значит, что, если подставить координаты точки М в уравнение прямой, получим верное равенство: f(a) = ka+m, откуда находим, что m = f(a) - ka.

Осталось подставить найденные значения коэффициентов kи mв уравнение прямой:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

y = f (a )+ f "(a ) (x - a ). (игрек равен эф от а плюс эф штрих от а, умноженный на икс минус а).

Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х=а.

Если, скажем, у = х 2 и х= -2 (т.е. а = -2), то f(а) = f(-2) = (-2) 2 =4; f´(x) = 2х, значит, f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (то эф от а равно четыре, эф штрих от икс равно два икс, значит эф штрих от а равно минус четыре)

Подставив в уравнение найденные значения a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, получим: у = 4+(-4)(х+2), т.е. у = -4х-4.

(игрек равен минус четыре икс минус четыре)

Составим уравнение касательной к графику функции у = tgx(игрек равен тангенс икс) в начале координат. Имеем: а = 0, f(0) = tg0=0;

f"(x)= , значит, f"(0) = l. Подставив в уравнение найденные значения а=0, f(a)=0, f´(a) = 1, получим: у=х.

Обобщим наши шаги нахождения уравнения касательной к графику функции в точке х с помощью алгоритма.

АЛГОРИТМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ у = f(x):

1) Обозначить абсциссу точки касания буквой а.

2) Вычислить f (а).

3) Найти f´(x) и вычислить f´(a).

4) Подставить найденные числа a, f(a), f´(а) в формулуy = f (a )+ f "(a ) (x - a ).

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции у = - в

точке х = 1.

Решение. Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что в данном примере

2) f(a)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Подставим найденные три числа: а = 1, f(а) = -1, f"(а) = 1 в формулу. Получим: у = -1+(х-1), у = х-2.

Ответ: у = х-2.

Пример 2. Дана функция у = х 3 +3х 2 -2х-2 . Записать уравнение касательной к графику функции у= f(х), параллельной прямой у = -2х +1.

Используя алгоритм составления уравнения касательной, учтем, что в данном примере f(x) = х 3 +3х 2 -2х-2 , но здесь не указана абсцисса точки касания.

Начнем рассуждать так. Искомая касательная должна быть параллельна прямой у = -2х+1. А параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту заданной прямой: k кас. = -2. Hok кас. = f"(a). Таким образом, значение а мы можем найти из уравнения f ´(а) = -2.

Найдем производную функции у= f (x ):

f "(x )= (х 3 +3х 2 -2х-2)´ =3х 2 +6х-2; f "(а)= 3а 2 +6а-2.

Из уравнения f"(а) = -2, т.е. 3а 2 +6а-2 =-2 находим а 1 =0, a 2 =-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 0, другая в точке с абсциссой -2.

Теперь можно действовать по алгоритму.

1) а 1 =0, а 2 =-2.

2) f(a 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2 ; f(a 2)=(-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6 ;

3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.

4) Подставив значения a 1 = 0, f(a 1) =-2, f"(a 1) = -2 в формулу, получим:

у=-2-2(х-0), у=-2х-2.

Подставив значения а 2 =-2, f(a 2) =6, f"(a 2)= -2 в формулу, получим:

у=6-2(х+2), у=-2х+2.

Ответ: у=-2х-2, у=-2х+2.

Пример 3. Из точки (0; 3) провести касательную к графику функции у = . Решение. Воспользуемся алгоритмом составления уравнения касательной, учитывая, что в данном примере f(x) = . Заметим, что и здесь, как в примере 2, не указана явно абсцисса точки касания. Тем не менее, действуем по алгоритму.

1) Пусть х = а — абсцисса точки касания; ясно, что а >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Подставив значения a, f(a) = , f"(a) = в формулу

y=f (a) +f "(a) (x-a) , получим:

По условию касательная проходит через точку (0; 3). Подставив в уравнение значения х = 0, у = 3, получим: 3 = , и далее =6, a =36.

Как видите, в этом примере только на четвертом шаге алгоритма нам удалось найти абсциссу точки касания. Подставив значение a =36 в уравнение, получим: y=+3

На рис. 1 представлена геометрическая иллюстрация рассмотренного примера: построен график функции у =, проведена прямая у = +3.

Ответ: у = +3.

Нам известно, что для функции y = f(x), имеющей производную в точке х, справедливо приближенное равенство: Δyf´(x)Δx (дельта игрек приближенно равно эф штрих от икс, умноженное на дельта икс)

или, подробнее, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (эф от икс плюс дельта икс минус эф от икс приближенно равно эф штрих от икс на дельта икс).

Для удобства дальнейших рассуждений изменим обозначения:

вместо х будем писать а ,

вместо х+Δxбудем писать х

вместо Δх будем писать х-а.

Тогда написанное выше приближенное равенство примет вид:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (эф от икс приближенно равно эф от а плюс эф штрих от а, умноженное на разность икса и а).

Пример 4. Найти приближенное значение числового выражения 2,003 6 .

Решение. Речь идет об отыскании значения функции у = х 6 в точке х = 2,003. Воспользуемся формулой f(x)f(a)+f´(a)(x-a), учтя, что в данном примере f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 и, следовательно, f"(а) = f"(2) = 6·2 5 =192.

В итоге получаем:

2,003 6 64+192· 0,003, т.е. 2,003 6 =64,576.

Если мы воспользуемся калькулятором, то получим:

2,003 6 = 64,5781643...

Как видите, точность приближения вполне приемлема.

Теме «Угловой коэффициент касательной как тангенс угла наклона» в аттестационном экзамене отводится сразу несколько заданий. В зависимости от их условия, от выпускника может требоваться как полный ответ, так и краткий. При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике ученику обязательно стоит повторить задачи, в которых требуется вычислить угловой коэффициент касательной.

Сделать это вам поможет образовательный портал «Школково». Наши специалисты подготовили и представили теоретический и практический материал максимально доступно. Ознакомившись с ним, выпускники с любым уровнем подготовки смогут успешно решать задачи, связанные с производными, в которых требуется найти тангенс угла наклона касательной.

Основные моменты

Для нахождения правильного и рационального решения подобных заданий в ЕГЭ необходимо вспомнить базовое определение: производная представляет собой скорость изменения функции; она равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в определенной точке. Не менее важно выполнить чертеж. Он позволит найти правильное решение задач ЕГЭ на производную, в которых требуется вычислить тангенс угла наклона касательной. Для наглядности лучше всего выполнить построение графика на плоскости ОХY.

Если вы уже ознакомились с базовым материалом на тему производной и готовы приступить к решению задач на вычисление тангенса угла наклона касательной, подобных заданиям ЕГЭ, сделать это можно в режиме онлайн. Для каждого задания, например, задач на тему «Связь производной со скоростью и ускорением тела» , мы прописали правильный ответ и алгоритм решения. При этом учащиеся могут попрактиковаться в выполнении задач различного уровня сложности. В случае необходимости упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы потом обсудить решение с преподавателем.

Рассмотрим следующий рисунок:

На нем изображена некоторая функция y = f(x), которая дифференцируема в точке a. Отмечена точка М с координатами (а; f(a)). Через произвольную точку Р(a + ∆x; f(a + ∆x)) графика проведена секущая МР.

Если теперь точку Р сдвигать по графику к точке М, то прямая МР будет поворачиваться вокруг точки М. При этом ∆х будет стремиться к нулю. Отсюда можно сформулировать определение касательной к графику функции.

Касательная к графику функции

Касательная к графику функции есть предельное положение секущей при стремлении приращения аргумента к нулю. Следует понимать, что существование производной функции f в точке х0, означает, что в этой точке графика существует касательная к нему.

При этом угловой коэффициент касательной будет равен производной этой функции в этой точке f’(x0). В этом заключается геометрический смысл производной. Касательная к графику дифференцируемой в точке х0 функции f - это некоторая прямая, проходящая через точку (x0;f(x0)) и имеющая угловой коэффициент f’(x0).

Уравнение касательной

Попытаемся получить уравнение касательной к графику некоторой функции f в точке А(x0; f(x0)). Уравнение прямой с угловым коэффициентом k имеет следующий вид:

Так как у нас угловой коэффициент равен производной f’(x0) , то уравнение примет следующий вид: y = f’(x0) *x + b.

Теперь вычислим значение b. Для этого используем тот факт, что функция проходит через точку А.

f(x0) = f’(x0)*x0 + b, отсюда выражаем b и получим b = f(x0) - f’(x0)*x0.

Подставляем полученное значение в уравнение касательной:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

y = f(x0) + f’(x0)*(x - x0).

Рассмотрим следующий пример: найти уравнение касательной к графику функции f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 в точке х = 2.

2. f(x0) = f(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1.

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x.

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. Подставим полученные значения в формулу касательной, получим: y = 1 + 4*(x - 2). Раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые получим: y = 4*x - 7.

Ответ: y = 4*x - 7.

Общая схема составления уравнения касательной к графику функции y = f(x):

1. Определить х0.

2. Вычислить f(x0).

3. Вычислить f’(x)

Уравнение касательной к графику функции

П. Романов, Т. Романова,
г. Магнитогорск,
Челябинская обл.

Уравнение касательной к графику функции

Статья опубликована при поддержке Гостиничного комплекса «ИТАКА+». Останавливаясь в городе судостроителей Северодвинске, вы не столкнетесь с проблемой поиска временного жилья. , на сайте гостиничного комплекса «ИТАКА+» http://itakaplus.ru, вы сможете легко и быстро снять квартиру в городе, на любой срок, с посуточной оплатой.

На современном этапе развития образования в качестве одной из основных его задач выступает формирование творчески мыслящей личности. Способность же к творчеству у учащихся может быть развита лишь при условии систематического привлечения их к основам исследовательской деятельности. Фундаментом для применения учащимися своих творческих сил, способностей и дарований являются сформированные полноценные знания и умения. В связи с этим проблема формирования системы базовых знаний и умений по каждой теме школьного курса математики имеет немаловажное значение. При этом полноценные умения должны являться дидактической целью не отдельных задач, а тщательно продуманной их системы. В самом широком смысле под системой понимается совокупность взаимосвязанных взаимодействующих элементов, обладающая целостностью и устойчивой структурой.

Рассмотрим методику обучения учащихся составлению уравнения касательной к графику функции. По существу, все задачи на отыскание уравнения касательной сводятся к необходимости отбора из множества (пучка, семейства) прямых тех из них, которые удовлетворяют определенному требованию – являются касательными к графику некоторой функции. При этом множество прямых, из которого осуществляется отбор, может быть задано двумя способами:

а) точкой, лежащей на плоскости xOy (центральный пучок прямых);
б) угловым коэффициентом (параллельный пучок прямых).

В связи с этим при изучении темы «Касательная к графику функции» с целью вычленения элементов системы нами были выделены два типа задач:

1) задачи на касательную, заданную точкой, через которую она проходит;
2) задачи на касательную, заданную ее угловым коэффициентом.

Обучение решению задач на касательную осуществлялось при помощи алгоритма, предложенного А.Г. Мордковичем . Его принципиальное отличие от уже известных заключается в том, что абсцисса точки касания обозначается буквой a (вместо x0), в связи с чем уравнение касательной приобретает вид

y = f(a) + f "(a)(x – a)

(сравните с y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)). Этот методический прием, на наш взгляд, позволяет учащимся быстрее и легче осознать, где в общем уравнении касательной записаны координаты текущей точки, а где – точки касания.

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f(x)

1. Обозначить буквой a абсциссу точки касания.
2. Найти f(a).
3. Найти f "(x) и f "(a).
4. Подставить найденные числа a, f(a), f "(a) в общее уравнение касательной y = f(a) = f "(a)(x – a).

Этот алгоритм может быть составлен на основе самостоятельного выделения учащимися операций и последовательности их выполнения.

Практика показала, что последовательное решение каждой из ключевых задач при помощи алгоритма позволяет формировать умения написания уравнения касательной к графику функции поэтапно, а шаги алгоритма служат опорными пунктами действий. Данный подход соответствует теории поэтапного формирования умственных действий, разработанной П.Я. Гальпериным и Н.Ф. Талызиной .

В первом типе задач были выделены две ключевые задачи:

касательная проходит через точку, лежащую на кривой (задача 1);
касательная проходит через точку, не лежащую на кривой (задача 2).

Задача 1. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2).

Решение. Точка M(3; – 2) является точкой касания, так как

1. a = 3 – абсцисса точки касания.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) = x 2 – 4, f "(3) = 5.
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – уравнение касательной.

Задача 2. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = – x 2 – 4x + 2, проходящих через точку M(– 3; 6).

Решение. Точка M(– 3; 6) не является точкой касания, так как f(– 3) 6 (рис. 2).

2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) = – 2x – 4, f "(a) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – уравнение касательной.

Касательная проходит через точку M(– 3; 6), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.

6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0 ^ a 1 = – 4, a 2 = – 2.

Если a = – 4, то уравнение касательной имеет вид y = 4x + 18.

Если a = – 2, то уравнение касательной имеет вид y = 6.

Во втором типе ключевыми задачами будут следующие:

касательная параллельна некоторой прямой (задача 3);
касательная проходит под некоторым углом к данной прямой (задача 4).

Задача 3. Напишите уравнения всех касательных к графику функции y = x 3 – 3x 2 + 3, параллельных прямой y = 9x + 1.

Решение.

1. a – абсцисса точки касания.
2. f(a) = a 3 – 3a 2 + 3.
3. f "(x) = 3x 2 – 6x, f "(a) = 3a 2 – 6a.

Но, с другой стороны, f "(a) = 9 (условие параллельности). Значит, надо решить уравнение 3a 2 – 6a = 9. Его корни a = – 1, a = 3 (рис. 3).

4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – уравнение касательной;

1) a = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – уравнение касательной.

Задача 4. Напишите уравнение касательной к графику функции y = 0,5x 2 – 3x + 1, проходящей под углом 45° к прямой y = 0 (рис. 4).

Решение. Из условия f "(a) = tg 45° найдем a: a – 3 = 1 ^ a = 4.

1. a = 4 – абсцисса точки касания.
2. f(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. f "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4).

y = x – 7 – уравнение касательной.

Несложно показать, что решение любой другой задачи сводится к решению одной или нескольких ключевых задач. Рассмотрим в качестве примера следующие две задачи.

1. Напишите уравнения касательных к параболе y = 2x 2 – 5x – 2, если касательные пересекаются под прямым углом и одна из них касается параболы в точке с абсциссой 3 (рис. 5).

Решение. Поскольку дана абсцисса точки касания, то первая часть решения сводится к ключевой задаче 1.

1. a = 3 – абсцисса точки касания одной из сторон прямого угла.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) = 4x – 5, f "(3) = 7.
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – уравнение первой касательной.

Пусть a – угол наклона первой касательной. Так как касательные перпендикулярны, то – угол наклона второй касательной. Из уравнения y = 7x – 20 первой касательной имеем tg a = 7. Найдем

Это значит, что угловой коэффициент второй касательной равен .

Дальнейшее решение сводится к ключевой задаче 3.

Пусть B(c; f(c)) есть точка касания второй прямой, тогда

1. – абсцисса второй точки касания.
2.
3.
4.
– уравнение второй касательной.

Примечание. Угловой коэффициент касательной может быть найден проще, если учащимся известно соотношение коэффициентов перпендикулярных прямых k 1 k 2 = – 1.

2. Напишите уравнения всех общих касательных к графикам функций

Решение. Задача сводится к отысканию абсцисс точек касания общих касательных, то есть к решению ключевой задачи 1 в общем виде, составлению системы уравнений и последующему ее решению (рис. 6).

1. Пусть a – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y = a 2 + a + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2 .

1. Пусть c – абсцисса точки касания, лежащей на графике функции
2.
3. f "(c) = c.
4.

Так как касательные общие, то

Итак, y = x + 1 и y = – 3x – 3 – общие касательные.

Основная цель рассмотренных задач – подготовить учащихся к самостоятельному распознаванию типа ключевой задачи при решении более сложных задач, требующих определенных исследовательских умений (умения анализировать, сравнивать, обобщать, выдвигать гипотезу и т. д.). К числу таких задач можно отнести любую задачу, в которую ключевая задача входит как составляющая. Рассмотрим в качестве примера задачу (обратную задаче 1) на нахождение функции по семейству ее касательных.

3. При каких b и c прямые y = x и y = – 2x являются касательными к графику функции y = x 2 + bx + c?

Решение.

Пусть t – абсцисса точки касания прямой y = x с параболой y = x 2 + bx + c; p – абсцисса точки касания прямой y = – 2x с параболой y = x 2 + bx + c. Тогда уравнение касательной y = x примет вид y = (2t + b)x + c – t 2 , а уравнение касательной y = – 2x примет вид y = (2p + b)x + c – p 2 .

Составим и решим систему уравнений

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции y = 2x 2 – 4x + 3 в точках пересечения графика с прямой y = x + 3.

Ответ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9,5.

2. При каких значениях a касательная, проведенная к графику функции y = x 2 – ax в точке графика с абсциссой x 0 = 1, проходит через точку M(2; 3)?

Ответ: a = 0,5.

3. При каких значениях p прямая y = px – 5 касается кривой y = 3x 2 – 4x – 2?

Ответ: p 1 = – 10, p 2 = 2.

4. Найдите все общие точки графика функции y = 3x – x 3 и касательной, проведенной к этому графику через точку P(0; 16).

Ответ: A(2; – 2), B(– 4; 52).

5. Найдите кратчайшее расстояние между параболой y = x 2 + 6x + 10 и прямой

Ответ:

6. На кривой y = x 2 – x + 1 найдите точку, в которой касательная к графику параллельна прямой y – 3x + 1 = 0.

Ответ: M(2; 3).

7. Напишите уравнение касательной к графику функции y = x 2 + 2x – | 4x |, которая касается его в двух точках. Сделайте чертеж.

Ответ: y = 2x – 4.

8. Докажите, что прямая y = 2x – 1 не пересекает кривую y = x 4 + 3x 2 + 2x. Найдите расстояние между их ближайшими точками.

Ответ:

9. На параболе y = x 2 взяты две точки с абсциссами x 1 = 1, x 2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей? Напишите уравнения секущей и касательной.

Ответ: y = 4x – 3 – уравнение секущей; y = 4x – 4 – уравнение касательной.

10. Найдите угол q между касательными к графику функции y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1, проведенными в точках с абсциссами 0 и 1.

Ответ: q = 45°.

11. В каких точках касательная к графику функции образует с осью Ox угол в 135°?

Ответ: A(0; – 1), B(4; 3).

12. В точке A(1; 8) к кривой проведена касательная. Найдите длину отрезка касательной, заключенного между осями координат.

Ответ:

13. Напишите уравнение всех общих касательных к графикам функций y = x 2 – x + 1 и y = 2x 2 – x + 0,5.

Ответ: y = – 3x и y = x.

14. Найдите расстояние между касательными к графику функции параллельными оси абсцисс.

Ответ:

15. Определите, под какими углами парабола y = x 2 + 2x – 8 пересекает ось абсцисс.

Ответ: q 1 = arctg 6, q 2 = arctg (– 6).

16. На графике функции найдите все точки, касательная в каждой из которых к этому графику пересекает положительные полуоси координат, отсекая от них равные отрезки.

Ответ: A(– 3; 11).

17. Прямая y = 2x + 7 и парабола y = x 2 – 1 пересекаются в точках M и N. Найдите точку K пересечения прямых, касающихся параболы в точках M и N.

Ответ: K(1; – 9).

18. При каких значениях b прямая y = 9x + b является касательной к графику функции y = x 3 – 3x + 15?

Ответ: – 1; 31.

19. При каких значениях k прямая y = kx – 10 имеет только одну общую точку с графиком функции y = 2x 2 + 3x – 2? Для найденных значений k определите координаты точки.

Ответ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).

20. При каких значениях b касательная, проведенная к графику функции y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точке с абсциссой x 0 = 2, проходит через точку M(1; 8)?

Ответ: b = – 3.

21. Парабола с вершиной на оси Ox касается прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(2; 4), в точке B. Найдите уравнение параболы.

Ответ:

22. При каком значении коэффициента k парабола y = x 2 + kx + 1 касается оси Ox?

Ответ: k = д 2.

23. Найдите углы между прямой y = x + 2 и кривой y = 2x 2 + 4x – 3.

29. Найдите расстояние между касательными к графику функции образующими с положительным направлением оси Ox угол 45°.

Ответ:

30. Найдите геометрическое место вершин всех парабол вида y = x 2 + ax + b, касающихся прямой y = 4x – 1.

Ответ: прямая y = 4x + 3.

Литература

1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и начала анализа: 3600 задач для школьников и поступающих в вузы. – М., Дрофа, 1999.
2. Мордкович А. Семинар четвертый для молодых учителей. Тема «Приложения производной». – М., «Математика», № 21/94.
3. Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного усвоения умственных действий. / Под ред. П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызиной. – М., МГУ, 1968.