Найти частичные пределы последовательности онлайн. Замечательные пределы

Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят – это ОЧЕНЬ важно. Почему? Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме.

А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы . Их можно найти на странице . Лучше всего методички распечатать – это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне.

Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходится мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически.

Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел , Второй замечательный предел . Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел.

Первый замечательный предел

Рассмотрим следующий предел: (вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала).

Согласно нашему правилу нахождения пределов (см. статью Пределы. Примеры решений ) пробуем подставить ноль в функцию: в числителе у нас получается ноль (синус нуля равен нулю), в знаменателе, очевидно, тоже ноль. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью вида , которую, к счастью, раскрывать не нужно. В курсе математического анализа, доказывается, что:

Данный математический факт носит название Первого замечательного предела . Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке о бесконечно малых функциях .

Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет:

– тот же самый первый замечательный предел.

Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в виде , то и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя.

На практике в качестве параметра может выступать не только переменная , но и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю .

Примеры:
, , ,

Здесь , , , , и всё гуд – первый замечательный предел применим.

А вот следующая запись – ересь:

Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке.

Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел ? Ответ можно найти в конце урока.

На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль – все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример («а может он (а) все-таки знает чего?!»).

Переходим к рассмотрению практических примеров:

Пример 1

Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, у нас есть неопределенность вида , ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится , а в знаменателе .

В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас , значит, в знаменателе нам тоже нужно получить ».
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.
Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике Горячие формулы школьного курса математики .

Готово. Окончательный ответ:

Если не хочется использовать пометки карандашом, то решение можно оформить так:

“

Используем первый замечательный предел

“

Пример 2

Найти предел

Опять мы видим в пределе дробь и синус. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль:

Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке Пределы. Примеры решений мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенность , то нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь – то же самое, степени мы представим в виде произведения (множителей):

Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы (здесь их два), и указываем, что они стремятся к единице:

Собственно, ответ готов:

В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради – Вам уже понятно.

Пример 3

Найти предел

Подставляем ноль в выражение под знаком предела:

Получена неопределенность , которую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле (кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. методический материал Горячие тригонометрические формулы на странице Математические формулы, таблицы и справочные материалы ).

В данном случае:

Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться (не забываем пометить, что он стремится к единице):

Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении.

Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу и исчезает в произведении:

В итоге получена бесконечность, бывает и такое.

Пример 4

Найти предел

Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель:

Получена неопределенность (косинус нуля, как мы помним, равен единице)

Используем тригонометрическую формулу . Возьмите на заметку! Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень часто.

Постоянные множители вынесем за значок предела:

Организуем первый замечательный предел:

Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу и исчезает в произведении:

Избавимся от трехэтажности:

Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю:

Пример 5

Найти предел

Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно:

Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье Методы решения пределов .

Второй замечательный предел

В теории математического анализа доказано, что:

Данный факт носит название второго замечательного предела .

Справка: – это иррациональное число.

В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности .

Пример 6

Найти предел

Когда выражение под знаком предела находится в степени – это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел.

Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражение , по какому принципу это делается, разобрано на уроке Пределы. Примеры решений .

Нетрудно заметить, что при основание степени , а показатель – , то есть имеется, неопределенность вида :

Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметр , значит, в показателе нам тоже нужно организовать . Для этого возводим основание в степень , и, чтобы выражение не изменилось – возводим в степень :

Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем:

Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву :

При этом сам значок предела перемещаем в показатель :

Пример 7

Найти предел

Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример.

Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела:

В результате получена неопределенность . Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида . Что делать? Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у нас , значит, в числителе тоже нужно организовать .

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам если нужно вычислить предел функции . Программа решения пределов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями , т.е. отображает процесс вычисления предела.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек...

Если вы заметили ошибку в решении , то об этом вы можете написать в Форме обратной связи .
Не забудте указать какую задачу вы решаете и что вводите в поля .

Наши игры, головоломки, эмуляторы:

Немного теории.

Предел функции при х->х 0

Пусть функция f(x) определена на некотором множестве X и пусть точка \(x_0 \in X \) или \(x_0 \notin X \)

Возьмем из X последовательность точек, отличных от х 0:
x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n , ... (1)
сходящуюся к х*. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность
f(x 1), f(x 2), f(x 3), ..., f(x n), ... (2)
и можно ставить вопрос о существовании ее предела.

Определение . Число А называется пределом функции f(х) в точке х = х 0 (или при х -> x 0), если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1) значений аргумента x, отличных от x 0 соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу A.

$$ \lim_{x\to x_0}{ f(x)} = A $$

Функция f(x) может иметь в точке x 0 только один предел. Это следует из того, что последовательность
{f(x n)} имеет только один предел.

Существует другое определение предела функции.

Определение Число А называется пределом функции f(x) в точке х = x 0 , если для любого числа \(\varepsilon > 0 \) существует число \(\delta > 0 \) такое, что для всех \(x \in X, \; x \neq x_0 \), удовлетворяющих неравенству \(|x-x_0| Используя логические символы, это определение можно записать в виде
\((\forall \varepsilon > 0) (\exists \delta > 0) (\forall x \in X, \; x \neq x_0, \; |x-x_0| Отметим, что неравенства \(x \neq x_0, \; |x-x_0| Первое определение основано на понятии предела числовой последовательности, поэтому его часто называют определением «на языке последовательностей». Второе определение называют определением «на языке \(\varepsilon - \delta \)».
Эти два определения предела функции эквивалентны и можно использовать любое из них в зависимости от того, какое более удобно при решении той или иной задачи.

Заметим, что определение предела функции «на языке последовательностей» называют также определением предела функции по Гейне, а определение предела функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)» - определением предела функции по Коши.

Предел функции при x->x 0 - и при x->x 0 +

В дальнейшем будут использованы понятия односторонних пределов функции, которые определяются следующим образом.

Определение Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке x 0 , если для любой сходящейся к x 0 последовательности (1), элементы x n которой больше (меньше) x 0 , соответствующая последовательность (2) сходится к А.

Символически это записывается так:
$$ \lim_{x \to x_0+} f(x) = A \; \left(\lim_{x \to x_0-} f(x) = A \right) $$

Можно дать равносильное определение односторонних пределов функции «на языке \(\varepsilon - \delta \)»:

Определение число А называется правым (левым) пределом функции f(х) в точке x 0 , если для любого \(\varepsilon > 0 \) существует \(\delta > 0 \) такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенствам \(x_0 Символические записи:

Понятия пределов последовательностей и функций. Когда требуется найти предел последовательности, это записывают следующим образом: lim xn=a. В такой последовательности последовательности xn стремится к a, а n к бесконечности. Последовательность обычно представляют в виде ряда, например:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Последовательности подразделяются на возрастающие и убывающие. Например:
xn=n^2 - возрастающая последовательность
yn=1/n - последовательность
Так, например, предел последовательности xn=1/n^ :
lim 1/n^2=0

x→∞
Данный предел равен нулю, поскольку n→∞, а последовательность 1/n^2 стремится к нулю.

Обычно переменная величина x стремится к конечному пределу a, причем, x постоянно приближается к a, а величина a постоянна. Это записывают следующим образом: limx =a, при этом, n также может стремиться как к нулю, так и к бесконечности. Существуют бесконечные функции, для них предел стремится к бесконечности. В других случаях, когда, например, функцией замедление хода поезда, можно о пределе, стремящемся к нулю.
У пределов имеется ряд свойств. Как правило, любая функция имеет только один предел. Это главное свойство предела. Другие их перечислены ниже:
* Предел суммы равен сумме пределов:
lim(x+y)=lim x+lim y
* Предел произведения равен произведению пределов:
lim(xy)=lim x*lim y
* Предел частного равен частному от пределов:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Постоянный множитель выносят за знак предела:
lim(Cx)=C lim x
Если дана функция 1 /x, в которой x →∞, ее предел равен нулю. Если же x→0, предел такой функции равен ∞.
Для тригонометрических функций имеются из этих правил. Так как функция sin x всегда стремится к единице, когда приближается к нулю, для нее справедливо тождество:
lim sin x/x=1

В ряде встречаются функции, при вычислении пределов которых возникает неопределенность - ситуация, при которой предел невозможно вычислить. Единственным выходом из такой ситуации становится Лопиталя. Существует два вида неопределенностей:
* неопределенность вида 0/0
* неопределенность вида ∞/∞
К примеру, дан предел следующего вида: lim f(x)/l(x), причем, f(x0)=l(x0)=0. В таком случае, возникает неопределенность вида 0/0. Для решения такой задачи обе функции подвергают дифференцированию, после чего находят предел результата. Для неопределенностей вида 0/0 предел равен:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (при x→0)
Это же правило справедливо и для неопределенностей типа ∞/∞. Но в этом случае справедливо следующее равенство: f(x)=l(x)=∞
С помощью правила Лопиталя можно находить значения любых пределов, в которых фигурируют неопределенности. Обязательное условие при

том - отсутствие ошибок при нахождении производных. Так, например, производная функции (x^2)" равна 2x. Отсюда можно сделать вывод, что:
f"(x)=nx^(n-1)

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что "скучная теория" должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Что делать с неопределенностью вида: $ \bigg [\frac{0}{0} \bigg ] $

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ \bigg [\frac{\infty}{\infty} \bigg ] $

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: "ноль делить на ноль" или "бесконечность делить на бесконечность" и переходим к следующим пунктам инструкции.
2. Чтобы устранить неопределенность "ноль делить на ноль" нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
3. Если неопределенность "бесконечность делить на бесконечность", тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Первым замечательным пределом именуют следующее равенство:

\begin{equation}\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1 \end{equation}

Так как при $\alpha\to{0}$ имеем $\sin\alpha\to{0}$, то говорят, что первый замечательный предел раскрывает неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Вообще говоря, в формуле (1) вместо переменной $\alpha$ под знаком синуса и в знаменателе может быть расположено любое выражение, - лишь бы выполнялись два условия:

1. Выражения под знаком синуса и в знаменателе одновременно стремятся к нулю, т.е. присутствует неопределенность вида $\frac{0}{0}$.
2. Выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают.

Часто используются также следствия из первого замечательного предела:

\begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1 \end{equation} \begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1 \end{equation} \begin{equation} \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1 \end{equation}

На данной странице решены одиннадцать примеров. Пример №1 посвящен доказательству формул (2)-(4). Примеры №2, №3, №4 и №5 содержат решения с подробными комментариями. Примеры №6-10 содержат решения практически без комментариев, ибо подробные пояснения были даны в предыдущих примерах. При решении используются некоторые тригонометрические формулы, которые можно найти .

Замечу, что наличие тригонометрических функций вкупе с неопределённостью $\frac {0} {0}$ ещё не означает обязательное применение первого замечательного предела. Иногда бывает достаточно простых тригонометрических преобразований, - например, см. .

Пример №1

Доказать, что $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg\alpha}{\alpha}=1$, $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1$, $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1$.

а) Так как $\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, то:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\tg{\alpha}}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha\cos{\alpha}} $$

Так как $\lim_{\alpha\to{0}}\cos{0}=1$ и $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin\alpha}{\alpha}=1$, то:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha\cos{\alpha}} =\frac{\displaystyle\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\sin{\alpha}}{\alpha}}{\displaystyle\lim_{\alpha\to{0}}\cos{\alpha}} =\frac{1}{1} =1. $$

б) Сделаем замену $\alpha=\sin{y}$. Поскольку $\sin{0}=0$, то из условия $\alpha\to{0}$ имеем $y\to{0}$. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arcsin\alpha=\arcsin(\sin{y})=y$, поэтому:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{y\to{0}}\frac{y}{\sin{y}} =\lim_{y\to{0}}\frac{1}{\frac{\sin{y}}{y}} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{y\to{0}}\frac{\sin{y}}{y}} =\frac{1}{1} =1. $$

Равенство $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arcsin\alpha}{\alpha}=1$ доказано.

в) Сделаем замену $\alpha=\tg{y}$. Поскольку $\tg{0}=0$, то условия $\alpha\to{0}$ и $y\to{0}$ эквивалентны. Кроме того, существует окрестность нуля, в которой $\arctg\alpha=\arctg\tg{y})=y$, поэтому, опираясь на результаты пункта а), будем иметь:

$$ \lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{y\to{0}}\frac{y}{\tg{y}} =\lim_{y\to{0}}\frac{1}{\frac{\tg{y}}{y}} =\frac{1}{\displaystyle\lim_{y\to{0}}\frac{\tg{y}}{y}} =\frac{1}{1} =1. $$

Равенство $\lim_{\alpha\to{0}}\frac{\arctg\alpha}{\alpha}=1$ доказано.

Равенства а), б), в) часто используются наряду с первым замечательным пределом.

Пример №2

Вычислить предел $\lim_{x\to{2}}\frac{\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)}{\frac{x^2-4}{x+7}}$.

Так как $\lim_{x\to{2}}\frac{x^2-4}{x+7}=\frac{2^2-4}{2+7}=0$ и $\lim_{x\to{2}}\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)=\sin{0}=0$, т.е. и числитель и знаменатель дроби одновременно стремятся к нулю, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$, т.е. выполнено. Кроме того, видно, что выражения под знаком синуса и в знаменателе совпадают (т.е. выполнено и ):

Итак, оба условия, перечисленные в начале страницы, выполнены. Из этого следует, что применима формула , т.е. $\lim_{x\to{2}} \frac{\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)}{\frac{x^2-4}{x+7}}=1$.

Ответ : $\lim_{x\to{2}}\frac{\sin\left(\frac{x^2-4}{x+7}\right)}{\frac{x^2-4}{x+7}}=1$.

Пример №3

Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}\sin{9x}=0$ и $\lim_{x\to{0}}x=0$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$, т.е. выполнено. Однако выражения под знаком синуса и в знаменателе не совпадают. Здесь требуется подогнать выражение в знаменателе под нужную форму. Нам необходимо, чтобы в знаменателе расположилось выражение $9x$, - тогда станет истинным. По сути, нам не хватает множителя $9$ в знаменателе, который не так уж сложно ввести, - просто домножить выражение в знаменателе на $9$. Естественно, что для компенсации домножения на $9$ придётся тут же на $9$ и разделить:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x\cdot\frac{1}{9}} =9\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x} $$

Теперь выражения в знаменателе и под знаком синуса совпали. Оба условия для предела $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}$ выполнены. Следовательно, $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}=1$. А это значит, что:

$$ 9\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{9x}=9\cdot{1}=9. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{9x}}{x}=9$.

Пример №4

Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}\sin{5x}=0$ и $\lim_{x\to{0}}\tg{8x}=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Однако форма первого замечательного предела нарушена. Числитель, содержащий $\sin{5x}$, требует наличия в знаменателе $5x$. В этой ситуации проще всего разделить числитель на $5x$, - и тут же на $5x$ домножить. Кроме того, проделаем аналогичную операцию и со знаменателем, домножив и разделив $\tg{8x}$ на $8x$:

$$\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}\cdot{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}\cdot{8x}}$$

Сокращая на $x$ и вынося константу $\frac{5}{8}$ за знак предела, получим:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}\cdot{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}\cdot{8x}} =\frac{5}{8}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}} $$

Обратите внимание, что $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{5x}$ полностью удовлетворяет требованиям для первого замечательного предела. Для отыскания $\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{8x}}{8x}$ применима формула :

$$ \frac{5}{8}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{5x}}{5x}}{\frac{\tg{8x}}{8x}} =\frac{5}{8}\cdot\frac{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{5x}}{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{8x}}{8x}} =\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{1} =\frac{5}{8}. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{5x}}{\tg{8x}}=\frac{5}{8}$.

Пример №5

Найти $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}-\cos^3{5x}}{x^2}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}(\cos{5x}-\cos^3{5x})=1-1=0$ (напомню, что $\cos{0}=1$) и $\lim_{x\to{0}}x^2=0$, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac{0}{0}$. Однако чтобы применить первый замечательный предел следует избавиться от косинуса в числителе, перейдя к синусам (дабы потом применить формулу ) или тангенсам (чтобы потом применить формулу ). Сделать это можно таким преобразованием:

$$\cos{5x}-\cos^3{5x}=\cos{5x}\cdot\left(1-\cos^2{5x}\right)$$ $$\cos{5x}-\cos^3{5x}=\cos{5x}\cdot\left(1-\cos^2{5x}\right)=\cos{5x}\cdot\sin^2{5x}.$$

Вернемся к пределу:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}-\cos^3{5x}}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}\cdot\sin^2{5x}}{x^2} =\lim_{x\to{0}}\left(\cos{5x}\cdot\frac{\sin^2{5x}}{x^2}\right) $$

Дробь $\frac{\sin^2{5x}}{x^2}$ уже близка к той форме, что требуется для первого замечательного предела. Немного поработаем с дробью $\frac{\sin^2{5x}}{x^2}$, подгоняя её под первый замечательный предел (учтите, что выражения в числителе и под синусом должны совпасть):

$$\frac{\sin^2{5x}}{x^2}=\frac{\sin^2{5x}}{25x^2\cdot\frac{1}{25}}=25\cdot\frac{\sin^2{5x}}{25x^2}=25\cdot\left(\frac{\sin{5x}}{5x}\right)^2$$

Вернемся к рассматриваемому пределу:

$$ \lim_{x\to{0}}\left(\cos{5x}\cdot\frac{\sin^2{5x}}{x^2}\right) =\lim_{x\to{0}}\left(25\cos{5x}\cdot\left(\frac{\sin{5x}}{5x}\right)^2\right)=\\ =25\cdot\lim_{x\to{0}}\cos{5x}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{5x}}{5x}\right)^2 =25\cdot{1}\cdot{1^2} =25. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos{5x}-\cos^3{5x}}{x^2}=25$.

Пример №6

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{6x}}{1-\cos{2x}}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}(1-\cos{6x})=0$ и $\lim_{x\to{0}}(1-\cos{2x})=0$, то мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Раскроем ее с помощью первого замечательного предела. Для этого перейдем от косинусов к синусам. Так как $1-\cos{2\alpha}=2\sin^2{\alpha}$, то:

$$1-\cos{6x}=2\sin^2{3x};\;1-\cos{2x}=2\sin^2{x}.$$

Переходя в заданном пределе к синусам, будем иметь:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{6x}}{1-\cos{2x}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{2\sin^2{3x}}{2\sin^2{x}} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin^2{3x}}{\sin^2{x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin^2{3x}}{(3x)^2}\cdot(3x)^2}{\frac{\sin^2{x}}{x^2}\cdot{x^2}} =\lim_{x\to{0}}\frac{\left(\frac{\sin{3x}}{3x}\right)^2\cdot{9x^2}}{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2\cdot{x^2}} =9\cdot\frac{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{3x}}{3x}\right)^2}{\displaystyle\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^2} =9\cdot\frac{1^2}{1^2} =9. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{1-\cos{6x}}{1-\cos{2x}}=9$.

Пример №7

Вычислить предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}$ при условии $\alpha\neq\beta$.

Подробные пояснения были даны ранее, здесь же просто отметим, что вновь наличествует неопределенность $\frac{0}{0}$. Перейдем от косинусов к синусам, используя формулу

$$\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}.$$

Используя указанную формулу, получим:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{-2\sin\frac{\alpha{x}+\beta{x}}{2}\cdot\sin\frac{\alpha{x}-\beta{x}}{2}}{x^2}=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cdot\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x^2} =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x}\right)=\\ =-2\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}}\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\\ =-\frac{(\alpha+\beta)\cdot(\alpha-\beta)}{2}\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha+\beta}{2}}\cdot\lim_{x\to{0}}\frac{\sin\left(x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}{x\cdot\frac{\alpha-\beta}{2}} =-\frac{\alpha^2-\beta^2}{2}\cdot{1}\cdot{1} =\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\cos(\alpha{x})-\cos(\beta{x})}{x^2}=\frac{\beta^2-\alpha^2}{2}$.

Пример №8

Найти предел $\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}$.

Так как $\lim_{x\to{0}}(\tg{x}-\sin{x})=0$ (напомню, что $\sin{0}=\tg{0}=0$) и $\lim_{x\to{0}}x^3=0$, то здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Раскроем её следующим образом:

$$ \lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}=\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to{0}}\frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}-\sin{x}}{x^3} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(\frac{1}{\cos{x}}-1\right)}{x^3} =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot\left(1-\cos{x}\right)}{x^3\cdot\cos{x}}=\\ =\lim_{x\to{0}}\frac{\sin{x}\cdot{2}\sin^2\frac{x}{2}}{x^3\cdot\cos{x}} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{x\to{0}}\left(\frac{\sin{x}}{x}\cdot\left(\frac{\sin\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}\right)^2\cdot\frac{1}{\cos{x}}\right) =\frac{1}{2}\cdot{1}\cdot{1^2}\cdot{1} =\frac{1}{2}. $$

Ответ : $\lim_{x\to{0}}\frac{\tg{x}-\sin{x}}{x^3}=\frac{1}{2}$.

Пример №9

Найти предел $\lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}$.

Так как $\lim_{x\to{3}}(1-\cos(x-3))=0$ и $\lim_{x\to{3}}(x-3)\tg\frac{x-3}{2}=0$, то наличествует неопределенность вида $\frac{0}{0}$. Перед тем, как переходить к её раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах переменная $\alpha \to 0$). Проще всего ввести переменную $t=x-3$. Однако ради удобства дальнейших преобразований (эту выгоду можно заметить по ходу приведённого ниже решения) стоит сделать такую замену: $t=\frac{x-3}{2}$. Отмечу, что обе замены применимы в данном случае, просто вторая замена позволит поменьше работать с дробями. Так как $x\to{3}$, то $t\to{0}$.

$$ \lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}=\left|\frac{0}{0}\right| =\left|\begin{aligned}&t=\frac{x-3}{2};\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{2t}}{2t\cdot\tg{t}} =\lim_{t\to{0}}\frac{2\sin^2t}{2t\cdot\tg{t}} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2t}{t\cdot\tg{t}}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2t}{t\cdot\frac{\sin{t}}{\cos{t}}} =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}\cos{t}}{t} =\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sin{t}}{t}\cdot\cos{t}\right) =\lim_{t\to{0}}\frac{\sin{t}}{t}\cdot\lim_{t\to{0}}\cos{t} =1\cdot{1} =1. $$

Ответ : $\lim_{x\to{3}}\frac{1-\cos(x-3)}{(x-3)\tg\frac{x-3}{2}}=1$.

Пример №10

Найти предел $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}$.

Вновь мы имеем дело с неопределенностью $\frac{0}{0}$. Перед тем, как переходить к ее раскрытию, удобно сделать замену переменной таким образом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (обратите внимание, что в формулах переменная $\alpha\to{0}$). Проще всего ввести переменную $t=\frac{\pi}{2}-x$. Так как $x\to\frac{\pi}{2}$, то $t\to{0}$:

$$ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2} =\left|\frac{0}{0}\right| =\left|\begin{aligned}&t=\frac{\pi}{2}-x;\\&t\to{0}\end{aligned}\right| =\lim_{t\to{0}}\frac{1-\sin\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{t^2} =\lim_{t\to{0}}\frac{1-\cos{t}}{t^2}=\\ =\lim_{t\to{0}}\frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{t^2} =2\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2\frac{t}{2}}{t^2} =2\lim_{t\to{0}}\frac{\sin^2\frac{t}{2}}{\frac{t^2}{4}\cdot{4}} =\frac{1}{2}\cdot\lim_{t\to{0}}\left(\frac{\sin\frac{t}{2}}{\frac{t}{2}}\right)^2 =\frac{1}{2}\cdot{1^2} =\frac{1}{2}. $$

Ответ : $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)^2}=\frac{1}{2}$.

Пример №11

Найти пределы $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\cos^2x}$, $\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1}$.

В данном случае нам не придётся использовать первый замечательный предел. Обратите внимание: как в первом, так и во втором пределах присутствуют только тригонометрические функции и числа. Зачастую в примерах такого рода удаётся упростить выражение, расположенное под знаком предела. При этом после упомянутого упрощения и сокращения некоторых сомножителей неопределённость исчезает. Я привёл данный пример лишь с одной целью: показать, что наличие тригонометрических функций под знаком предела вовсе не обязательно означает применение первого замечательного предела.

Так как $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}(1-\sin{x})=0$ (напомню, что $\sin\frac{\pi}{2}=1$) и $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cos^2x=0$ (напомню, что $\cos\frac{\pi}{2}=0$), то мы имеем дело с неопределенностью вида $\frac{0}{0}$. Однако это вовсе не означает, что нам потребуется использовать первый замечательный предел. Для раскрытия неопределенности достаточно учесть, что $\cos^2x=1-\sin^2x$:

$$ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\cos^2x} =\left|\frac{0}{0}\right| =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{1-\sin^2x} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{(1-\sin{x})(1+\sin{x})} =\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{1+\sin{x}} =\frac{1}{1+1} =\frac{1}{2}. $$

Аналогичный способ решения есть и в решебнике Демидовича (№475) . Что же касается второго предела, то как и в предыдущих примерах этого раздела, мы имеем неопределённость вида $\frac{0}{0}$. Отчего она возникает? Она возникает потому, что $\tg\frac{2\pi}{3}=-\sqrt{3}$ и $2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$. Используем эти значения с целью преобразования выражений в числителе и в знаменателе. Цель наших действий: записать сумму в числителе и знаменателе в виде произведения. Кстати сказать, зачастую в пределах аналогичного вида удобна замена переменной, сделанная с таким расчётом, чтобы новая переменная устремилась к нулю (см., например, примеры №9 или №10 на этой странице). Однако в данном примере в замене смысла нет, хотя при желании замену переменной $t=x-\frac{2\pi}{3}$ несложно осуществить.

$$ \lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cdot\left(\cos{x}+\frac{1}{2}\right)} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}-\tg\frac{2\pi}{3}}{2\cdot\left(\cos{x}-\cos\frac{2\pi}{3}\right)}=\\ =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\ =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{2\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}} =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\cos\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{-2\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\ =\frac{1}{-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} =-\frac{4}{\sqrt{3}}. $$

Как видите, нам не пришлось применять первый замечательный предел. Конечно, при желании это можно сделать (см. примечание ниже), но необходимости в этом нет.

Каким будет решение с использованием первого замечательного предела? показать\скрыть

При использовании первого замечательного предела получим:

$$ \lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{-4\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}=\\ =\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\left(\frac{\sin\left(x-\frac{2\pi}{3}\right)}{x-\frac{2\pi}{3}}\cdot\frac{1}{\frac{\sin\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}{\frac{x-\frac{2\pi}{3}}{2}}}\cdot\frac{1}{-2\sin\frac{x+\frac{2\pi}{3}}{2}\cos{x}\cos\frac{2\pi}{3}}\right) =1\cdot{1}\cdot\frac{1}{-2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)} =-\frac{4}{\sqrt{3}}. $$

Ответ : $\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1-\sin{x}}{\cos^2x}=\frac{1}{2}$, $\lim_{x\to\frac{2\pi}{3}}\frac{\tg{x}+\sqrt{3}}{2\cos{x}+1}=-\frac{4}{\sqrt{3}}$.