Минимальный поток в сети. Метод нахождения максимального потока

Пусть задан ориентированный граф G=, в котором направление каждой дуги vÎV означает направление движения потока (например поток автомобилей), пропускная способность каждой дуги равна d(v). На множестве вершин E выделены две вершины t и s . Вершина t является источником потока, s - стоком. Требуется определить максимальный поток, который может быть пропущен из вершины t в s .

Обозначим через x(v) величину потока, движущегося по дуге v . Очевидно, что

0£ x(v) £ d(v) , vÎV . (6. 1)

В каждой вершине iÎE\{t,s} объем потока входящего равен объему потока выходящего, т.е. справедливо равенство

{x(v )|i Î V + (i)}= {x(v)| iÎ V - (i)}

{x(v)| iÎV + (i)} - {x(v)| iÎV - (i)}=0. (6.2)

Для вершины t

{x(v)| iÎV + (i)} -{x(v)¦ iÎV - (i)}=-Q, (6.3)

для вершины s

{x(v)| iÎ V + (i)} -{x(v)¦ i Î V - (i)}= Q. (6.4)

Величина Q является величиной потока, который выходит из вершины t и входит в вершину s .

Требуется определить

Q ® max (6.5)

при ограничениях (6.1-6.4).

Величины Q, x(v) , vÎV, удовлетворяющие ограничениям (6.1-6.4) будем называть потоком в сети, и если они максимизируют величину Q , то максимальным потоком. Нетрудно видеть, что значения Q=0, x(v)=0, vÎV , являются потоком в сети.

Задача (6.1-6.5) является задачей линейного программирования и ее можно решить алгоритмами симплекс-метода.

Разобьем множество вершины Е на две непересекающиеся части Е1 и Е2 таким образом, чтобы tÎE1, sÎE2 . Разрезом V(E1,E2) , разделяющим t и s будем называть множество V(E1,E2)ÌV такое, что для каждой дуги v Î V(E1,E2) либо h1(v)ÎE1 и h2(v)ÎE2 , либо h1(v)ÎE2 и h2(v)ÎE1 .

Разобьем множество V(E1,E2) на две части V(E1,E2,+),V(E1,E2,-) следующим образом:

V(E1,E2,+)={vÎV(E1,E2)| h1(v)ÎE1 и h2(v)ÎE2}

V(E1,E2,-)= { vÎV(E1,E2)| h2(v)ÎE1 и h1(v)ÎE2}

Пропускной способностью разреза будем называть

Q(E1,E2) = {x(v)| vÎV(E1,E2,+)}-{x(v)| vÎV(E1,E2,-)}

Справедлива следующая

Теорема 1 . (О максимальном потоке и минимальном разрезе).

В любой сети величина максимального потока из источника t в сток s равна минимальной пропускной способности Q(E1,E2) среди всех разрезов V(E1,E2) , разделяющих вершины t и s .

Заметим, что в максимальном потоке

x(v)=d(v) , vÎV(E1,E2,+),

x(v)=0 , vÎV(E1,E2,-).

Пусть Q, x(v), vÎV, - некоторый поток в сети, последовательность

t=i(0),v(1),i(1),v(2),i(2),...,v(k),i(k)=s,

является цепью, соединяющих вершины t и s . Зададим на этой цепи направление движения от вершины t к s . Дуга v(j) из этой цепи называется прямой, если ее направление совпадает с направлением движения от t к s , и обратной в противном случае. Эту цепь будем называть путем увеличения потока , если для прямых дуг v цепи x(v) < d(v) и для обратных x(v) > 0 . По этой цепи можно пропустить дополнительный поток q из t к s величиной q = min (q1,q2), где q1=min (d(v) -x(v)) , минимум берется по всем прямым дугам цепи, q1=min (x(v)) , минимум берется по всем обратным дугам цепи.

Теорема 2 .

Поток Q, x(v) , vÎV , максимальный тогда и только тогда, когда не существует пути увеличения потока.

Предлагаемый алгоритм решения задачи о максимальном потоке в сети, основан на поиске пути увеличения потока из t в s , который в свою очередь основан на процессе расстановки пометок вершин. Будем говорить, что

вершина i помечена пометкой q(i)>0 , а также известна дуга прямая дуга v(i) , через которую поступил этот поток, либо помечена пометкой , если до нее дошел некоторый дополнительный поток величиной q(i)>0 , а также известна обратная дуга v(i) , через которую поступил этот поток;

вершина i просмотрена, если помечены все соседние с ней вершины.

Если помечена вершина s, то найден путь увеличения потока величиной q , который пропускается по этому пути. Для описания алгоритма нам понадобится также массив SPW , в который помещаются номера помеченных вершин в порядке их пометки. С1 - номер в массиве SPW просматриваемой вершины, С2 - номер последней помеченной вершины в этом массиве.

Решить задачу нахождения максимального потока в транспортной сети с помощью алгоритма Форда-Фалкерсона, и построить разрез сети S.
Исходные данные:
Дана сеть S(X,U)
- исток сети; - сток сети, где ∈X; ∈X.
Значения пропускных способностей дуг заданы по направлению ориентации дуг: от индекса i к индексу j.

r = 39; r = 44; r = 33; r = 53; r = 10;
r = 18; r = 95; r = 16; r = 23; r = 61;
r = 81; r = 71; r = 25; r = 15; r = 20

1. Зададим на сети нулевой поток (на всех дугах величина потока равна 0). Нулевой поток - это начальный допустимый поток на сети. Значение потока на каждой дуге будем указывать за скобками пропускной способности дуги.). Значение потока, равное «0», не указываем.
2. Выбираем на сети (произвольно) путь, ведущий из вершины x0 в вершину x7:
X0-X1-X4-X6-X7
3. Находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х1-Х4 помечаем как рассмотренное.


4. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х0-Х2 помечаем как рассмотренное.


5. Выбираем еще один путь, например: Х0-Х3-Х2-Х5-Х7, находим и увеличиваем поток на эту величину. Ребро Х3-Х2 помечаем как рассмотренное.


6. Более путей от Х0 до Х7 нет, суммируем увеличения потока: 25+10+20=55.
Вывод: максимальный поток равен 55.

2) Построить разрез сети S.
Процедура «пометок вершин».
Начальное состояние: все вершины не имеют пометок.
Вершине Х0 приписывается пометка. Всем вершинам , для которых дуга не насыщена присваиваются пометки (красные круги)


Определяем дуги минимального разреза: это дуги, начала которых находятся в помеченных вершинах, а концы - в непомеченных вершинах.
Это дуги:
Таким образом, минимальный разрез данной сети
Вычисление величины максимального потока

Идея этого алгоритма состоит в поиске сквозных путей с положительными потоками от источника к стоку.

Рассмотрим ребро (i, j) с (начальной) пропускной способностью. В процессе выполнения алгоритма части этих пропускных способностей «забираются» потоками, проходящими через данное ребро, в результате каждое ребро будет иметь остаточную пропускную способность. Запись - остаточная пропускная способность. Сеть в которой все ребра имеют остаточную пропускную способность, назовем остаточной.

Для произвольного узла j, получающего поток из узла i, определим метку, где - величина потока, протекающего от j узла к узлу i. Чтобы найти максимальный поток, выполняем следующие действия.

Для всех ребер положим остаточную пропускную способность равной первоначальной пропускной способности, т.е. приравняем =. Назначим и пометим узел 1 меткой. Полагаем i=1.

Множество узлов j, в которые можно перейти из узла I по ребру с положительной остаточной пропускной способностью >0 для всех j. Если, выполняем 3 этап, в противном случае переходим к 4.

В находим узел k, такой, что. Положим и пометим узел k меткой. Если k=n, сквозной путь найден, и переходим к 5 этапу, в противном случае полагаем i=k и возвращаемся к 2 этапу.

Откат назад. Если i=1, сквозной путь не возможен, и переходим к 6. Если, находим помеченный узел r, непосредственно предшествующий узлу i, и удаляем его из множества узлов, смежных с узлом r. Полагаем i=r и возвращаемся ко 2 этапу.

Определение остаточной сети. Обозначим через множество узлов, через которые проходит p_й найденный сквозной путь от узла источника (узел 1) до узла стока (узел n).тогда максимальный поток, проходящий по этому пути

Остаточные пропускные способности ребер, составляющих сквозной путь, уменьшаются на величину в направлении движения потока и увеличиваются на эту же величину в противоположном направлении.

Т.о. для ребра (i, j), входящего в сквозной путь, текущие остаточные пропускные способности изменяются:

1) , если поток идет от узла i к j,

2) , если поток идет от узла j к i.

а) при m найденных сквозных путях максимальный поток выражается

б) Имея значения начальных и конечных пропускных способностей ребра (i, j), можно вычислить оптимальный поток через это ребро следующим образом. Положим. Если >0, поток, проходящий через ребро (i, j) равен. Если >0, тогда поток равен. (случай, когда одновременно >0 и >0, невозможен).

Пример 1. Найти максимальный поток в сети рис. 1

Итерация 1. =

3) k=3, так как. Назначаем и помечаем узел 3 меткой. i=3 и возвращаемся к 2)

5) k=5 и. Помечаем узел 5 меткой. Получаем сквозной путь.

6) сквозной путь определяем по меткам, начиная с узла 5 и заканчивая узлом 1: . и. Вычисляем остаточные пропускные способности вдоль пути:

Итерация 2.

1) и помечаем узел 1 меткой. i=1

2») (, поэтому узел 5 не включается в

3») k=4, и помечаем узел 4 меткой. i=4 и возвращаемся к 2)

2""") (так как узлы 1 и 3 помечены, они не включаются в)

3""") k=5 и. Помечаем узел 5 меткой. Получен сквозной путь. Переходим к 5)

Итерация 3.

1) и помечаем узел 1 меткой. i=1

3) k=2, и помечаем узел 2 меткой. i=2 и возвращаемся к 2)

3") k=3 и. Помечаем узел 3 меткой. i=3 и возвращаемся к 2)

2») (так как) переходим к 4)

4) метка узла 3 показывает номер предшествующего узла. На этой итерации узел 3 в дальнейшем во внимание не принимается, его метку вычеркиваем. и возвращаемся к 2)

2""") (так как узел 3 удален из возможного сквозного пути)

3""") и. Помечаем узел 5 меткой. Получен сквозной путь. Переходим к 5)

5) и. Вычисляем остаточные пропускные способности вдоль пути:

Итерация 4. на этой итерации получен путь с

Итерация 5. на этой итерации получен путь с

Итерация 6. новые сквозные пути невозможны, поскольку все ребра, исходящие из узла 1, имеют нулевые остаточные пропускные способности. Переходим к 6) для определения решения

6) максимальный объем потока в сети равен единиц.

Значения потоков по различным ребрам вычисляются путем вычитания последних значений остаточных пропускных способностей из первоначальных значений пропускных способностей.

Результаты вычислений: табл. 1

Графическое последовательное выполнение алгоритма нахождения максимального потока (пример 1)

д) е) Сквозных путей нет

Рис.

Исходные данные о транспортной системе, например, внутризаводской, приведенные на рис. 2, можно также задать таблицей (табл. 2).

Табл.2. Исходные данные к задаче о максимальном потоке

Очевидно, максимальная пропускная способность транспортной системы не превышает 6, поскольку не более 6 единиц грузов можно направить из начального пункта 0, а именно, 2 единицы в пункт 1, 3 единицы в пункт 2 и 1 единицу в пункт 3. Далее надо добиться, чтобы все 6 вышедших из пункта 0 единиц груза достигли конечного пункта 4. Очевидно, 2 единицы груза, пришедшие в пункт 1, можно непосредственно направить в пункт 4. Пришедшие в пункт 2 грузы придется разделить: 2 единицы сразу направить в пункт 4, а 1 единицу - в промежуточный пункт 3 (из-за ограниченной пропускной способности участка между пунктами 2 и 4). В пункт 3 доставлены такие грузы: 1 единица из пункта 0 и 1 единица из пункта 3. Их направляем в пункт 4. Итак, максимальная пропускная способность рассматриваемой транспортной системы - 6 единиц груза. При этом не используются внутренние участки (ветки) между пунктами 1 и 2, а также между пунктами 1 и 3. Не догружена ветка между пунктами 1 и 4 - по ней направлены 2 единицы груза при пропускной способности в 3 единицы. Решение можно представить в виде таблицы (табл. 3)

Табл.3. Решение задачи о максимальном потоке

Задача линейного программирования при максимизации потока. Дадим формулировку задачи о максимальном потоке в терминах линейного программирования. Пусть Х KM - объем перевозок из пункта К в пункт М. Согласно рис. 2 К = 0,1,2,3, М = 1,2,3,4, причем перевозки возможны лишь в пункт с большим номером. Значит, всего имеется 9 переменных Х KM, а именно, Х 01, Х 02, Х 03, Х 12, Х 13, Х 14, Х 23, Х 24, Х 34. Задача линейного программирования, нацеленная на максимизацию потока, имеет вид:

Х 01 + Х 02 + Х 03 = F (0)

Х 01 + Х 12 + Х 13 + Х 14 = 0 (1)

Х 02 - Х 12 + Х 23 + Х 24 = 0 (2)

Х 03 - Х 13 - Х 23 + Х 34 = 0 (3)

Х 14 - Х 24 - Х 34 = - F (4)

Х КМ? 0, К, М = 0, 1, 2, 3, 4

Здесь F - целевая функция, условие (0) описывает вхождение грузов в транспортную систему. Условия (1) - (3) задают балансовые соотношения для узлов 1- 3 системы. Другими словами, для каждого из внутренних узлов входящий поток грузов равен выходящему потоку, грузы не скапливаются внутри и системы и не «рождаются» в ней. Условие (4) - это условие «выхода» грузов из системы. Вместе с условием (0) оно составляет балансовое соотношение для системы в целом («вход» равен «выходу»). Следующие девять неравенств задают ограничения на пропускную способность отдельных «веток» транспортной системы. Затем указана неотрицательность объемов перевозок и целевой функции. Ясно, что последнее неравенство вытекает из вида целевой функции (соотношения (0) или (4)) и неотрицательности объемов перевозок. Однако последнее неравенство несет некоторую общую информацию - через систему может быть пропущен либо положительный объем грузов, либо нулевой (например, если внутри системы происходит движение по кругу), но не отрицательный (он не имеет экономического смысла, но формальная математическая модель об этом «не знает»).

Это пособие предназначено для студентов, изучающих курс дискретной математики и (или) теории графов. С его помощью Вы освоите тему "Максимальный поток и минимальный разрез в сети". Прямо из этого пособия Вы можете посчитать своё ИДЗ, даже если у Вас нет на компьютере MATLAB. Если же у Вас есть MATLAB, перейдите на эту страницу : там у Вас есть возможность вмешаться в сценарий (программу) вычислений. Здесь же задача о максимальном потоке в сети решается путём сведения к задаче линейного программирования.

Введём обозначения:

• n =|V | − размер графа (количество вершин);
• m =|E | − мощность графа (количество рёбер);
• A − матрица инцидентности орграфа сети размером n ×m ; каждый её элемент a ik =1, если из i -й вершины выходит k -я дуга; a ik =−1, если в i -ю вершину входит k -я дуга; и a ik =0 в остальных случаях; в каждом столбце такой матрицы ровно одна единица, одна минус единица, а остальные нули;
• s − номер вершины-источника сети; из этой вершины должны только выходить дуги, и любая другая вершина должна быть достижима из источника;
• t − номер вершины-стока сети; в эту вершину должны только входить дуги, и из любой другой вершины должен быть достижим сток;
• a s − s A ; в ней должны быть только единицы, т.к. из источника должны только выходить дуги;
• a t − t -я строка матрицы инцидентности орграфа сети A ; в ней должны быть только минус единицы, т.к. в сток должны только входить дуги;
• A st − матрица инцидентности орграфа сети A с выброшенными из неё s -й и t -й строками;
• e − вектор-столбец длины m ; в каждом его элементе e k будет величина потока в k -й дуге;
• c − вектор-столбец длины m ; в каждом его элементе c k ≥0 задаётся пропускная способность k -й дуги.

Тогда задача о максимальном потоке в сети может быть сформулирована как задача линейного программирования:

Максимизируется общий поток, выходящий из источника (1). При этом в любой промежуточной вершине входящий поток равен выходящему (2), а пропускные способности дуг ограничены (3).

Задача, двойственная к задаче о максимальном потоке − это задача о минимальном разрезе. Для построения минимального разреза можно воспользоваться теоремами двойственности. Нужно:

• удалить из орграфа сети все пустые (e k = 0) и насыщенные (e k = c k ) дуги;
• найти компоненты связности оставшегося графа;
• если таких компонент две, то выброшенные дуги дают минимальный разрез;
• если появится больше двух компонент связности, то у орграфа сети есть несколько минимальных разрезов (соответствующая задача линейного программирования вырожденная).

Для вырожденной задачи на данной странице строится первый, ближайщий к источнику минимальный разрез.

Для правильной работы с этой страницей Ваш браузер должен поддерживать сценарии Java Script . Включите их.

Введите исходные данные в находящиеся ниже области ввода. В первой области нужно (точнее, можно) ввести координаты вершин для рисования орграфа сети. Они задаются в виде матрицы n ×2: в первом столбце − x -е координаты, во втором − y -е. Числа можно задавать целые, с десятичной точкой или в экспоненциальной форме. Числа разделяйте пробелами. Общее количество строк в этой области ввода определяет размер орграфа n − количество вершин. Эти исходные данные (координаты вершин) не являются обязательными: если их не задать, то орграф сети будет рисоваться в виде правильного n -угольника, а количество вершин будет определяться максимальным номером вершины в следующей области ввода.

В следующей области ввода левая часть − обязательная для заполнения. В ней определяется структура орграфа сети. Каждая дуга в орграфе соединяет две вершины. Номера этих вершин задаются в виде матрицы m ×2 в левой части второй области ввода. На каждой строке вначале задаётся 1-я вершина (хвост, источник) дуги, а затем через пробел 2-я (остриё, сток) дуги. В этих столбцах должны быть натуральные числа от 1 до n включительно. Числа разделяйте пробелами. В правой части задаются пропускные способности дуг − положительные действительные числа. Если этот столбец не задан, все пропускные способности считаются одинаковыми (единичными). Общее количество чисел в каждом из этих столбцов определяет мощность орграфа m − количество дуг.