Метод трапеций онлайн численное интегрирование. Метод трапеций

Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл ∫ a b f (x) d x , подынтегральная функция которого y = f (x) непрерывна на отрезке [ a ; b ] . Для этого разделим отрезок [ a ; b ] на несколько равных интервалов длины h точками a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Обозначим количество полученных интервалов как n .

Найдем шаг разбиения: h = b - a n . Определим узлы из равенства x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n .

На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . , n .

При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

Выделим отрезки x i - 1 ; x i , i = 1 , 2 , . . . , n . Заменим на каждом из графиков функцию y = f (x) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами x i - 1 ; f x i - 1 и x i ; f x i . Отметим их на рисунках синим цветом.

Возьмем выражение f (x i - 1) + f (x i) 2 · h в качестве приближенного значения интеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Т.е. примем ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h .

Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями f (x i - 1) , f (x i) высотой h . В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл ∫ x i - 1 x f (x) d x приближенно равен площади трапеции с основаниями - f (x i - 1) , - f (x i) и высотой h , которую необходимо взять со знаком « - ». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла ∫ x i - 1 x i f (x) d x во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл ∫ a b f (x) d x в виде суммы интегралов вида ∫ x i - 1 x i f (x) d x на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ f (x i - 1) + f (x i) 2 · h .

Формула метода трапеций

Вспомним пятое свойство определенного интеграла: ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x . Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов ∫ x i - 1 x i f (x) d x подставить их приближенные значения: ∫ x i - 1 x i f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n f (x i - 1) + f (x i) 2 · h = = h 2 · (f (x 0) + f (x 1) + f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + f (x 3) + . . . + f (x n)) = = h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) ⇒ ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Определение 1

Формула метода трапеций: ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Оценка абсолютной погрешности метода трапеций

Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:

Определение 2

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2

Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:

Примеры вычислений

Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

• вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
• нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n .

Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0 , 01 , то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0 , 0001 или 0 , 00001 . При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

Итак, ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 7 a r c t g (x) 0 5 = 7 a r c t g 5 ≈ 9 , 613805 .

Пример 1

Вычислим по методу трапеций определенный интеграл ∫ 0 5 7 x 2 + 1 d x для n равным 10 .

Решение

Формула метода трапеций имеет вид ∫ x i - 1 x i f (x) d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n)

Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h = b - a n , определить узлы x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n , вычислить значения подынтегральной функции f (x) = 7 x 2 + 1 .

Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h = b - a n = 5 - 0 10 = 0 . 5 . Для вычисления подынтегральной функции в узлах x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , n будем брать четыре знака после запятой:

i = 0: x 0 = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 7 0 2 + 1 = 7 i = 1: x 1 = 0 + 1 · 0 . 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 7 0 , 5 2 + 1 = 5 , 6 . . . i = 10: x 10 = 0 + 10 · 0 . 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 7 5 2 + 1 ≈ 0 , 2692

Внесем результаты вычислений в таблицу:

Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 0 , 5 2 · 7 + 2 · 5 , 6 + 3 , 5 + 2 , 1538 + 1 , 4 + 0 , 9655 + 0 , 7 + 0 , 5283 + 0 , 4117 + 0 , 3294 + 0 , 2692 = 9 , 6117

Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

Ответ: ∫ 0 5 7 d x x 2 + 1 = 9 , 6117

Пример 2

Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x с точностью до 0 , 01 .

Решение

Согласно условию задачи a = 1 ; b = 2 , f (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 ; δ n ≤ 0 , 01 .

Найдем n , которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 . Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n , для которых будет выполняться неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 . При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [ 1 ; 2 ] .

f " (x) = 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 " = 1 3 x 3 + 1 3 ⇒ f "" (x) = 1 3 x 3 + 1 3 " = x 2

Вторая производная функция является квадратичной параболой f "" (x) = x 2 . Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [ 1 ; 2 ] . В связи с этим m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) = f "" (2) = 2 2 = 4 .

В приведенном примере процесс нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) .

Подставим полученное значение в неравенство m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · (b - a) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01

4 · (2 - 1) 3 12 n 2 ≤ 0 , 01 ⇒ n 2 ≥ 100 3 ⇒ n ≥ 5 , 7735

Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

Вычислим шаг: h = b - a n = 2 - 1 6 = 1 6 .

Найдем узлы x i = a + i · h , i = 1 , 0 , . . . , n , определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

i = 0: x 0 = 1 + 0 · 1 6 = 1 ⇒ f (x 0) = f (1) = 1 12 · 1 4 + 1 3 · 1 - 1 60 = 0 , 4 i = 1: x 1 = 1 + 1 · 1 6 = 7 6 ⇒ f (x 1) = f 7 6 = 1 12 · 7 6 4 + 1 3 · 7 6 - 1 60 ≈ 0 , 5266 . . . i = 6: x 10 = 1 + 6 · 1 6 = 2 ⇒ f (x 6) = f (2) = 1 12 · 2 4 + 1 3 · 2 - 1 60 ≈ 1 , 9833

Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ h 2 · f (x 0) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x i) + f (x n) = = 1 12 · 0 , 4 + 2 · 0 , 5266 + 0 , 6911 + 0 , 9052 + 1 , 1819 + 1 , 5359 + 1 , 9833 ≈ 1 , 0054

Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x = x 5 60 + x 2 6 - x 60 1 2 = 1

Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

Ответ: ∫ 1 2 1 12 x 4 + 1 3 x - 1 60 d x ≈ 1 , 0054

Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как I n . Выберем произвольное число n . По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном (n = 10) и удвоенном (n = 20) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I 20 - I 10 .

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I 20 - I 10 < δ n , то мы прекращаем вычисления и выбираем значение I 20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов (n = 40) .

Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

Пример 3

Необходимо вычислить определенный интеграл ∫ 0 2 x e x d x по методу трапеций с точностью до 0 , 001 .

Решение

Возьмем n равное 10 и 20 . По формуле трапеций получим I 10 = 8 , 4595380 , I 20 = 8 , 4066906 .

I 20 - I 10 = 8 , 4066906 - 8 , 4595380 = 0 , 0528474 > 0 , 001 , что требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 40: I 40 = 8 , 3934656 .

I 40 - I 20 = 8 , 3934656 - 8 , 4066906 = 0 , 013225 > 0 , 001 , что также требует продолжения вычислений.

Возьмем n равное 80: I 80 = 8 , 3901585 .

I 80 - I 40 = 8 , 3901585 - 8 , 3934656 = 0 , 0033071 > 0 , 001 , что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

Возьмем n равное 160: I 160 = 8 , 3893317 .

I 160 - I 80 = 8 , 3893317 - 8 , 3901585 = 0 , 0008268 < 0 , 001

Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I 160 = 8 , 3893317 до тысячных: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389 .

Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: ∫ 0 2 x e x d x = e x · (x - 1) 0 2 = e 2 + 1 ≈ 8 , 3890561 . Требуемая точность достигнута.

Ответ: ∫ 0 2 x e x d x ≈ 8 , 389

Погрешности

Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 12 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 12 n 2 δ n ≤ m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) n · h 3 24 = m a x x ∈ [ a ; b ] f "" (x) · b - a 3 24 n 2 .

Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

5.3 Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x 0 , x 1 , x 2 ,…, x n = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке длины h = , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I=»I тр =h= (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке . Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I тр | £ h 2 , (5.8)

где M 2 = |f "(x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: I тр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| £ M 2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)

I – I тр | £ (0.1) 2 » 1.7× 10 -3 .

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

5.4 Метод Симпсона (метод парабол)

Заменим график функции y = f(x) на отрезке , i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (x i , f(x i)), (x,f(x)), (x i+ 1 , f(x i+ 1)), где x - середина отрезка . Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L 2 (x) с узлами x i , x, x i+ 1 . Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

f(x) + (x – x) + (x - x) 2 , (5.9)

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке , получим

I i = » = (f(x i) + 4f(x) + f(x i+ 1)). (5.10)

Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

I =» I С = (f(x 0) + f(x n) + 4 + 2). (5.11)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы Симпсона воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке непрерывную производную четвертого порядка f (4) (x). Тогда для формулы Симпсона (5.9) справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I С | £ h 4 , (5.12)

где M 4 = | f (4) (x)|.

Замечание. Если число элементарных отрезков, на которые делится отрезок , четно, т.е. n = 2m, то параболы можно проводить через узлы с целыми индексами, и вместо элементарного отрезка длины h рассматривать отрезок длины 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:

I » (f(x 0) + f(x 2m) + 4 + 2), (5.13)

а вместо оценки (5.10) будет справедлива следующая оценка погрешности:

| I – I С | £ h 4 , (5.14)

Пример 5.3.

Вычислим значение интеграла по формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.

Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле Симпсона (5.11) , получим:

I С = 0.74682418.

Оценим погрешность полученного значения. Вычислим четвертую производную f (4) (x).

f (4) (x) = (16x 4 – 48x 2 + 12) e, | f (4) (x)| £ 12.

| I – I С | £ (0.1) 4 » 0.42 × 10 -6 .

Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и 5.3, видим, что метод Симпсона имеет меньшую погрешность, чем метод средних прямоугольников и метод трапеций.

Учебно-воспитательные задачи:

• Дидактическая цель. Познакомить учащихся с методами приближённого вычисления определённого интеграла.
• Воспитательная цель. Тема данного занятия имеет большое практическое и воспитательное значение. Наиболее просто к идее численного интегрирования можно подойти, опираясь на определение определённого интеграла как предела интегральных сумм. Например, если взять какое-либо достаточно мелкое разбиение отрезка [a ; b ] и построить для него интегральную сумму, то её значение можно приближённо принять за значение соответствующего интеграла. При этом важно быстро и правильно производить вычисления с привлечением вычислительной техники.

Основные знания и умения. Иметь понятие о приближённых методах вычисления определённого интеграла по формулам прямоугольников и трапеций.

Обеспечение занятия

• Раздаточный материал. Карточки-задания для самостоятельной работы.
• ТСО. Мультипроектор, ПК, ноутбуки.
• Оснащение ТСО. Презентации: “Геометрический смысл производной”, “Метод прямоугольников”, “Метод трапеций”. (Презентации можно взять у автора).
• Вычислительные средства: ПК, микрокалькуляторы.
• Методические рекомендации

Вид занятия. Интегрированное практическое.

Мотивация познавательной деятельности учащихся. Очень часто приходится вычислять определённые интегралы, для которых невозможно найти первообразную. В этом случае применяют приближённые методы вычисления определённых интегралов. Иногда приближённый метод применяют и для “берущихся” интегралов, если вычисление по формуле Ньютона-Лейбница не рационально. Идея приближённого вычисления интеграла заключается в том, что кривая заменяется новой, достаточно “близкой” к ней кривой. В зависимости от выбора новой кривой можно использовать ту или иную приближённую формулу интегрирования.

Последовательность занятия.

1. Формула прямоугольников.
2. Формула трапеций.
3. Решение упражнений.

План занятия

1. Повторение опорных знаний учащихся.

Повторить с учащимися: основные формулы интегрирования, сущность изученных методов интегрирования, геометрический смысл определённого интеграла.

1. Выполнение практической работы.

Решение многих технических задач сводится к вычислению определённых интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближённого значения.

Пусть, например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно. В этом случае можно заменить данную линию более простой, уравнение которой известно. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближённое значение искомого интеграла.

Простейшим приближённым методом является метод прямоугольников. Геометрически идея способа вычисления определённого интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции АВСD заменяется суммой площадей прямоугольников, одна сторона которых равна , а друга - .

Если суммировать площади прямоугольников, которые показывают площадь криволинейной трапеции с недостатком [Рисунок1], то получим формулу:

[Рисунок1]

то получим формулу:

Если с избытком

[Рисунок2],

то

Значения у 0 , у 1 ,..., у n находят из равенств , к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.

Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла , нужно:

Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Пример 1. Вычислить по формуле прямоугольников . Найти абсолютную и относительную погрешности вычислений.

Разобьём отрезок [a, b ] на несколько (например, на 6) равных частей. Тогда а = 0, b = 3 ,

х k = a + k х
х 0 = 2 + 0 = 2
х 1 = 2 + 1 = 2,5
х 2 = 2 + 2 =3
х 3 = 2 + 3 = 3
х 4 = 2 + 4 = 4
х 5 = 2 + 5 = 4,5

f (x 0) = 2 2 = 4
f (x 1) = 2 ,5 2 = 6,25
f (x 2) = 3 2 = 9
f (x 3) = 3,5 2 = 12,25
f (x 4) = 4 2 = 16
f (x 5) = 4,5 2 = 20,25.

По формуле (1):

Для того, чтобы вычислить относительную погрешность вычислений, надо найти точное значение интеграла:

Вычисления проходили долго и мы получили довольно-таки грубое округление. Чтобы вычислить этот интеграл с меньшим приближением, можно воспользоваться техническими возможностями компьютера.

Для нахождения определённого интеграла методом прямоугольников необходимо ввести значения подынтегральной функции f(x) в рабочую таблицу Excel в диапазоне х с заданным шагом х = 0,1.

1. Составляем таблицу данных (х и f(x)). х f(x). Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция 2 2,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А32, до значения х=5 ).
2. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение. Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2 и с клавиатуры ввести формулу =А2^2 (при английской раскладке клавиатуры). Нажимаем клавишу Enter . В ячейке В2 появляется 4 . Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В32.
   В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
3. Теперь в ячейке В33 может быть найдено приближённое значение интеграла. Для этого в ячейку В33 вводим формулу = 0,1*, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В2:В31. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В33 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (37,955 ) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла (39 ), можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

= |39 - 37 , 955| = 1 ,045

Пример 2. Используя метод прямоугольников, вычислить с заданным шагом х = 0,05.

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла , можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае равна

Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций

[Рисунок3]

Пример 3. Методом трапеций найти с шагом х = 0,1.

1. Открываем чистый рабочий лист.
2. Составляем таблицу данных (х и f(x)). Пусть первый столбец будет значениями х , а второй соответствующими показателями f(x). Для этого в ячейку А1 вводим слово Аргумент , а в ячейку В1 – слово Функция . В ячейку А2 вводится первое значение аргумента – левая граница диапазона (0 ). В ячейку А3 вводится второе значение аргумента – левая граница диапазона плюс шаг построения (0,1 ). Затем, выделив блок ячеек А2:А3, автозаполнением получаем все значения аргумента (за правый нижний угол блока протягиваем до ячейки А33, до значения х=3,1 ).
3. Далее вводим значения подынтегральной функции. В ячейку В2 необходимо записать её уравнение (в примере синуса). Для этого табличный курсор необходимо установить в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции f(x) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию SIN . Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN . Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А ). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2. Автозаполнением копируем эту формулу в диапазон В2:В33. В результате должна быть получена таблица данных для нахождения интеграла.
4. Теперь в ячейке В34 может быть найдено приближённое значение интеграла по методу трапеций. Для этого в ячейку В34 вводим формулу = 0,1*((В2+В33)/2+, затем вызываем Мастер функций (нажатием на панели инструментов кнопки Вставка функции (f(x)) . В появившемся диалоговом окне Мастер функции-шаг 1 из 2 слева в поле Категория выбираем Математические. Справа в поле Функция - функцию Сумм. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно Сумм. В рабочее поле мышью вводим диапазон суммирования В3:В32. Нажимаем кнопку ОК и ещё раз ОК. В ячейке В34 появляется приближённое значение искомого интеграла с недостатком (1,997 ) .

Сравнивая полученное приближённое значение с истинным значением интеграла можно видеть, что ошибка приближения метода прямоугольников в данном случае вполне приемлемая для практики.

1. Решение упражнений.

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников, трапеций и формуле Симпсона. Оценка погрешностей.

Методические указания по теме 4.1:

Вычисление интегралов по формулам прямоугольников. Оценка погрешности:

Решение многих технических задач сводится к вычислению определенных интегралов, точное выражение которых сложно, требует длительных вычислений и не всегда оправдано практически. Здесь бывает вполне достаточно их приближенного значения. Например, необходимо вычислить площадь, ограниченную линией, уравнение которой неизвестно, осью х и двумя ординатами. В этом случае можно заменить данную линию более простой, для которой известно уравнение. Площадь полученной таким образом криволинейной трапеции принимается за приближенное значение искомого интеграла. Геометрически идея способа вычислений определенного интеграла по формуле прямоугольников состоит в том, что площадь криволинейной трапеции А 1 АВВ 1 заменяется площадью равновеликого прямоугольника А 1 А 2 В 1 В 2 , которая по теореме о среднем равна

Где f(c) --- высота прямоугольника А 1 А 2 В 1 В 2 , представляющая собой значение подынтегральной функции в некоторой промежуточной точке c(a< c