Метод наискорейшего спуска постоянным шагом. Минимум функции методом наискорейшего спуска

Аннотация: В данной лекции широко освещены такие методы многопараметрической оптимизации как метод наискорейшего спуска и метод Давидона – Флетчера – Пауэлла. Кроме того, проводится сравнительный анализ вышеперечисленных методов с целью определения наиболее действенного, выявляются их преимущества и недостатки; а также рассматриваются проблемы многомерной оптимизации, такие как метод оврагов и метод многоэкстремальности.

1. Метод наискорейшего спуска

Суть данного метода заключается в том, что с помощью упомянутого ранее метода покоординатного спуска осуществляется поиск из заданной точки в направлении, параллельном одной из осей, до точки минимума в данном направлении. Затем поиск производится в направлении, параллельном другой оси, и т.д. Направления, конечно, фиксированы. Кажется разумным попытаться модифицировать этот метод таким образом, чтобы на каждом этапе поиск точки минимума производился вдоль "наилучшего" направления. Не ясно, какое направление является "наилучшим", но известно, что направление градиента является направлением наискорейшего возрастания функции. Следовательно, противоположное направление является направлением наискорейшего убывания функции. Это свойство может быть обосновано следующим образом.

Предположим, что осуществляется перемещение из точки x в следующую точку х + hd , где d - некоторое направление, a h - шаг некоторой длины. Следовательно, перемещение производится из точки (x 1 , х 2 , ..., х n) в точку (x 1 + zx 1 , x 2 + zх 2 , ..., х n + zх n) , где

Изменение значений функции определяется соотношениями

С точностью до первого порядка zx i , причем частные производные вычисляются в точке x . Как следует выбрать направления d i , удовлетворяющие уравнению (1.2), чтобы получить наибольшее значение изменения функции df ? Здесь возникает задача максимизации с ограничением. Применим метод множителей Лагранжа, с помощью которого определим функцию

Величина df , удовлетворяющая ограничению (1.2), достигает максимума, когда функция

Достигает максимума. Ее производная

Следовательно,

(1.6)

Тогда di ~ df/dx i и направление d параллельно направлению V/(x) в точке х .

Таким образом, наибольшее локальное возрастание функции для заданного малого шага h имеет место, когда d есть направление Vf(x) или g(х) . Поэтому направлением наискорейшего спуска является направление

В более простом виде уравнение (1.3) можно записать так:

Где - угол между векторами Vf(x) и dx . Для заданной величины dx мы минимизируем df , выбирая , чтобы направление dx совпадало с направлением -Vf(x) .

Замечание . Направление градиента перпендикулярно в любой точке линии постоянного уровня, поскольку вдоль этой линии функция постоянна. Таким образом, если (d 1 , d 2 , ..., d n) - малый шаг вдоль линии уровня, то

И, следовательно,

(1.8)

Метод наискорейшего спуска (в англ. литературе «method of steepest descent») - это итерационный численный метод (первого порядка) решения оптимизационных задач, который позволяет определить экстремум (минимум или максимум) целевой функции:

- это значения аргумента функции (управляемые параметры) на вещественной области.

В соответствии с рассматриваемым методом экстремум (максимум или минимум) целевой функции определяют в направлении наиболее быстрого возрастания (убывания) функции, т.е. в направлении градиента (антиградиента) функции. Градиентом функции в точке называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются частные производные функции по координатам:

где i, j,…, n - единичные векторы, параллельные координатным осям.

Градиент в базовой точке строго ортогонален к поверхности, а его направление показывает направление наискорейшего возрастания функции, а противоположное направление (антиградиент), соответственно, показывает направление наискорейшего убывания функции.

Метод наискорейшего спуска является дальнейшим развитием метода градиентного спуска. В общем случае процесс нахождения экстремума функции является итерационной процедурой, которая записывается следующим образом:

где знак «+» используется для поиска максимума функции, а знак «-» используется для поиска минимума функции;

Единичный вектор направления, который определяется по формуле:

- модуль градиента определяет скорость возрастания или убывания функции в направлении градиента или антиградиента:

Константа, определяющая размеры шага и одинаковая для всех i-х направлений.

Величина шага выбирается из условия минимума целевой функции f(х) в направлении движения, т. е. в результате решения задачи одномерной оптимизации в направлении градиента или антиградиента:

Другими словами, величину шага определяют при решении данного уравнения:

Таким образом, шаг расчета выбирается такой величины, что движение выполняется до тех пор, пока происходит улучшение функции, достигая, таким образом, экстремума в некоторой точке. В этой точке вновь определяют направление поиска (с помощью градиента) и ищут новую точку оптимума целевой функции и т.д. Таким образом, в данном методе поиск происходит более крупными шагами, и градиент функции вычисляется в меньшем числе точек.

В случае функции двух переменных данный метод имеет следующую геометрическую интерпретацию: направление движения из точки касается линии уровня в точке . Траектория спуска зигзагообразная, причем соседние звенья зигзага ортогональны друг другу. Условие ортогональности векторов направлений спуска в соседних точках записывается следующим выражением:

Траектория движения к точке экстремума при использовании метода наискорейшего спуска, изображенная на графике линии равного уровня функции f(x)

Поиск оптимального решения завершается в случае, когда на итерационном шаге расчета (несколько критериев):

Траектория поиска остается в малой окрестности текущей точки поиска:

Приращение целевой функции не меняется:

Градиент целевой функции в точке локального минимума обращается в нуль:

Следует отметить, что метод градиентного спуска оказывается очень медленным при движении по оврагу, причём при увеличении числа переменных целевой функции такое поведение метода становится типичным. Овраг представляет собой впадину, линии уровня которой приближенно имеют форму эллипсов с различающимися во много раз полуосями. При наличии оврага траектория спуска имеет вид зигзагообразной линии с малым шагом, вследствие чего результирующая скорость спуска к минимуму сильно замедляется. Это объясняется тем, что направление антиградиента этих функций существенно отклоняется от направления в точку минимума, что приводит к дополнительной задержке в расчете. В результате алгоритм теряет вычислительную эффективность.

Овражная функция

Метод градиента вместе с его многочисленными модификациями является распространенным и эффективным методом поиска оптимума исследуемых объектов. Недостатком градиентного поиска (так же и рассмотренных выше методов) является то, что при его использовании можно обнаружить только локальный экстремум функции. Для отыскания других локальных экстремумов необходимо производить поиск из других начальных точек. Так же скорость сходимости градиентных методов существенно зависит также от точности вычислений градиента. Потеря точности, а это обычно происходит в окрестности точек минимума или в овражной ситуации, может вообще нарушить сходимость процесса градиентного спуска.

Методика расчета

1 шаг: Определение аналитические выражения (в символьном виде) для вычисления градиента функции

2 шаг : Задаем начальное приближение

3 шаг: Определяется необходимость рестарта алгоритмической процедуры для обнуления последнего направления поиска. В результате рестарта поиск осуществляется заново в направлении скорейшего спуска.

Постановка задачи

Пусть дана функция f (х) R n

Требуется f (х) X = R n

Стратегия поиска

x k } , k = 0,1,..., таких, что , k = 0,1,... . Точки последовательности {x k } вычисляются по правилу

где точка х 0 задается пользователем; величина шага t k определяется для каждого значения k из условия

Решение задачи (3) может осуществляться с использованием необходи­мого условия минимума с последующей проверкой достаточного условия минимума . Такой путь может быть использован либо при достаточно простой минимизируемой функции , либо при предварительной аппроксимации достаточно сложной функции полиномом P(t k) (как правило, второй или третьей степени), и тогда условие замещается условием , а условие условием

Построение последовательности { x k } заканчивается в точке x k , для которой , где ε - заданное малое положительное число, или k ≥ M , где М - предельное число итераций, или при двукратном одновременном выполнении двух неравенств , где ε 2 - малое положительное число. Вопрос о том, может ли точка x k рассматриваться как найденное приближение искомой точки локального минимума x * , решается путем дополни­тельного исследования.

Геометрическая интерпретация метода для n=2 на рис. 4.

Метод покоординатного спуска

Постановка задачи

Пусть дана функция f (х) , ограниченная снизу на множестве R n и имеющая непрерывные частные производные во всех его точках.

f (х) на множестве допустимых решений X = R n , т.е. найти такую точку , что

Стратегия поиска

Стратегия решения задачи состоит в построении последовательности точек {x k } , k = 0,1,..., таких, что , k = 0,1,... . Точки последовательности {x k } вычисляются по циклам в соответствии с правилом

(4)

где j - номер цикла вычислений; j = 0,1,2,...; k - номер итерации внутри цикла, k = 0,1,... ,n - 1; е k +1 , k = 0,l,...,n - 1 -единичный вектор, (k +1) -я проекция ко­торого равна 1; точка х 00 задается пользователем, величина шага t k выбирается из условия

или .

Если выбранное условие при текущем t k не выполняется, шаг уменьшается вдвое и точка вычисляется заново. Легко видеть, что при фиксированном j за одну итерацию с номером k изменяется только одна проекция точки х jk , имеющая номер k + 1 , а в течение всего цикла с номером j , т.е. начиная с k = 0 и кончая k = n -1 , изменяются все п проекций точки х j0 . После этого точке х j n присваивается номер х j + 1,0 , и она берется за на­чальную точку для вычислений в j + 1 цикле. Расчет заканчивается в точке х jk при выполнении по крайней мере одного из трех критериев окончания счета: , или , или двукратного выполнения неравенств .

Полученные в результате вычислений точки могут быть записаны как эле­менты последовательности {х l }, где l=n*j+k - порядковый номер точки,

Геометрическая интерпретация метода для п = 2 приведена на рис. 5.

4. Метод Франка-Вулфа .

Пусть требуется найти максимальное значение вогнутой функции

При условиях

Характерной особенностью этой задачи является то, что ее система ограничений содержит только линейные неравенства. Эта особенность является основой для замены в окрестности исследуемой точки нелинейной целевой функции линейной, благодаря чему решение исходной задачи сводится к последовательному решению задач линейного программирования.
Процесс нахождения решения задачи начинают с определения точки, принадлежащей области допустимых решений за-
270
дачи. Пусть это точка X (k) тогда в этой точке вычисляют градиент функции (57)

И строят линейную функцию

Затем находят максимальное значение этой функции при ограничениях (58) и (59). Пусть решение данной задачи определяется точкой Z (k) . Тогда за новое допустимое решение исходной задачи принимают координаты точки X (k +1) :

Где λ k - некоторое число, называемое шагом вычислений и заключенное между нулем и единицей (0< λ k < 1). Это число λ k берут произвольно или определяют

таким образом, чтобы значение функции в точке X (k +1) f(X (k +1)) , зависящее от λ k , было максимальным. Для этого необходимо найти решение уравнения и выбрать его наименьший корень. Если его значение больше единицы, то следует положить λ k =1 . После определения числа λ k находят координаты точки X (k +1) вычисляют значение целевой функции в ней и выясняют необходимость перехода к новой точке X (k +2) . Если такая необходимость имеется, то вычисляют в точке X (k +1) градиент целевой функции, переходят к соответствующей задаче линейного программирования и находят ее решение. Определяют координаты точки и X (k +2) и исследуют необходимость проведения дальнейших вычислений. После конечного числа шагов получают с необходимой точностью решение исходной задачи.

Итак, процесс нахождения решения задачи (57) - (59) методом Франка-Вулфа включает следующие этапы :

1. Определяют исходное допустимое решение задачи.
2. Находят градиент функции (57) в точке допустимого решения.
3. Строят функцию (60) и находят ее максимальное значение при условиях (58) и (59).
4. Определяют шаг вычислений.
5. По формулам (61) находят компоненты нового допустимого решения.
6. Проверяют необходимость перехода к последующему допустимому решению. В случае необходимости переходят к этапу 2, в противном случае найдено приемлемое решение исходной задачи.

Метод штрафных функций.

Рассмотрим задачу определения максимального значения вогнутой функции

f (х 1 , х 2 , .... х n) при условиях g i (х 1 , х 2 , .... х n) ≤ b i (i=l, m) , х j ≥ 0 (j=1, n) , где g i (х 1 , х 2 , .... х n) - выпуклые функции.

Вместо того чтобы непосредственно решать эту задачу, находят максимальное значение функции F(х 1 , х 2 , ...., х n)= f(х 1 , х 2 , ...., х n) +H(х 1 , х 2 , ...., х n) являющейся суммой целевой функции задачи, и некоторой функции

H(х 1 , х 2 , ...., х n) , определяемой системой ограничений и называемой штрафной функцией . Штрафную функцию можно построить различными способами. Однако наиболее часто она имеет вид

А a i > 0 - некоторые постоянные числа, представляющие собой весовые коэффициенты.
Используя штрафную функцию, последовательно переходят от одной точки к другой до тех пор, пока не получат приемлемое решение. При этом координаты последующей точки находят по формуле

Из последнего соотношения следует, что если предыдущая точка находится в области допустимых решений исходной задачи, то второе слагаемое в квадратных скобках равно нулю и переход к последующей точке определяется только градиентом целевой функции. Если же указанная точка не принадлежит области допустимых решений, то за счет данного слагаемого на последующих итерациях достигается возвращение в область допустимых
решений. При этом, чем меньше a i , тем быстрее находится приемлемое решение, однако точность определения его снижается. Поэтому итерационный процесс обычно начинают при сравнительно малых значениях a i и, продолжая его, эти значения постепенно увеличивают.

Итак, процесс нахождения решения задачи выпуклого программирования методом штрафных функций включает следующие этапы:

1. Определяют исходное допустимое решение.
2. Выбирают шаг вычислений.
3. Находят по всем переменным частные производные от целевой функции и функций, определяющих область допустимых решений задачи.

4. По формуле (72) находят координаты точки, определяющей возможное новое решение задачи.
5. Проверяют, удовлетворяют ли координаты найденной точки системе ограничений задачи. Если нет, то переходят к следующему этапу. Если координаты найденной точки определяют допустимое решение задачи, то исследуют необходимость перехода к последующему допустимому решению. В случае такой необходимости переходят к этапу 2, в противном случае найдено приемлемое решение исходной задачи.
6. Устанавливают значения весовых коэффициентов и переходят к этапу 4.

Метод Эрроу - Гурвица.

При нахождении решения задач нелинейного программирования методом штрафных функций мы выбирали значения a i , произвольно, что приводило к значительным колебаниям удаленности определяемых точек от области допустимых решений. Этот недостаток устраняется при решении задачи методом Эрроу - Гурвица, согласно которому на очередном шаге числа a i (k) вычисляют по формуле

В качестве начальных значений a i (0) берут произвольные неотрицательные числа.

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ

Пример 1 .

Найти локальный минимум функции

Определение точки х k

1.Зададим .

2. Положим к = 0 .

3 0 . Вычислим

4 0 . Вычислим . Переходим к шагу 5.

5 0 . Проверим условие . Переходим к шагу 6.

6 0 . Зададим t 0 = 0,5 .

7 0 . Вычислим

8 0 . Сравним . Имеем . Вывод: условие для k = 0 не выполняется. Зададим t 0 = 0,25 , переходим к по­вторению шагов 7, 8.

7 01 . Вычислим .

8 01 . Сравним f (х 1) и f (х 0) . Вывод: f (x 1) < f (x 0) . Переходим к шагу 9.

9 0 . Вычислим

Вывод: полагаем k =1 и переходим к шагу 3.

3 1 . Вычислим

4 1 . Вычислим . Переходим к шагу 5.

5 1 . Проверим условие k ≥ M: k = 1 < 10 = M . Переходим к шагу 6.

6 1 . Зададим t 1 = 0,25.

7 1 . Вычислим

8 1 . Сравним f (х 2) с f (х 1) . Вывод: f (х 2) < f (х 1). Переходим к шагу 9.

9 1 . Вычислим

Вывод: полагаем k = 2 и переходим к шагу 3.

3 2 . Вычислим

4 2 . Вычислим . Переходим к шагу 5.

5 2 . Проверим условие k ≥ M : k = 2 < 10 = М , переходим к шагу 6.

6 2 . Зададим t 2 =0,25 .

7 2 . Вычислим

8 2 . Сравним f (х 3) и f (х 2) . Вывод: f (х 3) < f (х 2) .Переходим к шагу 9.

9 2 . Вычислим

Вывод: полагаем k = 3 и переходим к шагу 3.

3 3 . Вычислим

4 3 . Вычислим . Переходим к шагу 5.

5 3 . Проверим условие k ≥ M : k = 3<10 = М , переходим к шагу 6.

6 3 . Зададим t 3 = 0,25.

7 3 . Вычислим

8 3 . Сравним f (х 4) и f (х 3) : f (х 4) < f (х 3) .

9 3 . Вычислим

Условия выполнены при k = 2,3 . Расчет

окончен. Найдена точка

На рис. 3 полученные точки соединены пунктирной линией.

II. Анализ точки х 4 .

Функция является дважды дифференцируемой, поэтому проведем проверку достаточных условий минимума в точке х 4 . Для этого проанализируем матрицу Гессе .

Матрица постоянна и является положительно определенной (т.е. H > 0 ) , так как оба ее угловых минора и положительны. Следовательно, точка есть найденное приближение точки локального минимума , а значение есть найденное приближение значения f (x *) =0 . Заметим, что условие H > 0 , есть одновременно условие строгой выпуклости функции . Следовательно, есть найден­ные приближения точки глобального минимума f (x) и ее наименьшего значе­ния на R 2 . ■

Пример 2

Найти локальный минимум функции

I. Определение точки х k , в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.

1.Зададим .

Найдем градиент функции в произвольной точке

2. Положим к = 0 .

3 0 . Вычислим

4 0 . Вычислим . Переходим к шагу 5.

5 0 . Проверим условие . Переходим к шагу 6.

6° . Следующая точка находится по формуле

Подставим полученные выражения для коор­динат в

Найдем минимум функции f(t 0) по t 0 с помощью необходимых условий безусловного экстремума:

Отсюда t 0 =0.24 . Так как , найденное значение шага обеспечивает минимум функции f(t 0) по t 0 .

Определим

7 0 . Найдем

8°. Вычислим

Вывод: полагаем k = 1 и переходим к шагу 3.

3 1 . Вычислим

4 1 . Вычислим

5 1 . Проверим условие k ≥ 1: k = 1 < 10 = М.

6 1 . Определим

7 1 . Найдем :

8 1 . Вычислим

Полагаем k = 2 и переходим к шагу 3.

3 2 . Вычислим

4 2 . Вычислим

5 2 . Проверим условие k ≥ M: k = 2 < 10 = M .

6 2 . Определим

7 2 . Найдем

8 2 . Вычислим

Полагаем k =3 и переходим к шагу 3.

3 3 . Вычислим

4 3 . Вычислим .

Расчет окончен. Найдена точка

II. Анализ точки х 3 .

В примере 1.1 (гл.2 §1) было показано, что функция f (x) является строго выпуклой и, следовательно, точках3 является найденным приближением точки глобаль­ного минимума х* .

Пример 3.

Найти локальный минимум функции

I. Определение точки x jk , в которой выполнен по крайней мере один из критериев окончания расчетов.

1. Зададим

Найдем градиент функции в произвольной точке

2. Зададим j = 0.

3 0 . Проверим выполнение условия

4 0 . Зададим k = 0.

5 0 . Проверим выполнение условия

6 0 . Вычислим

7 0 . Проверим условие

8 0 . Зададим

9 0 . Вычислим , где

10 0 . Проверим условие

Вы­вод: полагаем и переходим к шагу 9.

9 01 . Вычислим х 01 с шагом

10 01 . Проверим условие

11 0 . Проверим условия

Полагаем k =1 и переходим к шагу 5.

5 1 . Проверим условие

6 1 . Вычислим

7 1 . Проверим условие

8 1 . Зададим

9 1 . Вычислим

10 1 . Проверим условие :

11 1 . Проверим условия

Полагаем k = 2 , переходим к шагу 5.

5 2 . Проверим условие . Зададим , пе­реходим к шагу 3.

3 1 . Проверим условие

4 1 . Зададим k = 0.

5 2 . Проверим условие

6 2 . Вычислим

7 2 . Проверим условие

8 2 . Зададим

9 2 . Вычислим

10 2 . Проверим условие

11 2 . Проверим условия

Полагаем k =1 и переходим к шагу 5.

5 3 . Проверим условие

6 3 . Вычислим

7 3 . Проверим условия

8 3 . Зададим

9 3 . Вычислим

10 3 . Проверим условие

11 3 . Проверим условия

Зададим k = 2 и переходим к шагу 5.

5 4 . Проверим условие

Полагаем j = 2, х 20 = х 12 и переходим к шагу 3.

3 2 . Проверим условие

4 2 . Зададим k =0 .

5 4 . Проверим условие

6 4 . Вычислим

7 4 . Проверим условие

8 4 . Зададим

9 4 . Вычислим

10 4 . Проверим условие , пе­рейдем к шагу 11.

11 4 . Проверим условия

Условия выполнены в двух последовательных циклах с номерами j = 2 и j -1= 1 . Расчет окончен, найдена точка

На рис. 6 полученные точки соединены пунктирной линией.

В методе покоординатного спуска мы спускаемся по ломаной, состоящей из отрезков прямых, параллельных координатным осям.

II. Анализ точки х21 .

В примере 1.1 было показано, что функция f (х) строго выпукла, имеет единственный минимум и, следовательно, точка является найденным приближением точки глобального минимума.

Во всех рас­смотренных выше градиентных методах последовательность точек { x k } сходится к стационарной точке функции f (x) при достаточно общих предложениях относительно свойств этой функции. В частности, справедлива теорема:

Теорема. Если функция f (x) ограничена снизу, ее градиент удовлетворяет условию Липшица () и выбор значения t n производится одним из описанных выше спосо­бов, то, какова бы ни была начальная точка х 0 :

при .

При практической реализации схемы

k =1, 2, … n .

итерации прекращаются, если для всех i , i = 1, 2, ..., n , выпол­нены условия типа

,

где - некоторое заданное число, характеризующее точ­ность нахождения минимума.

В условиях теоремы градиентный метод обеспечи­вает сходимость по функции либо к точной нижней грани (если функция f (х) не имеет минимума; рис. 7), либо к значению функции в некоторой стационарной точке, являющейся пределом последовательности {х к }. Нетрудно придумать примеры, когда в этой точке реализуется седло, а не минимум. На практике ме­тоды градиентного спуска уверенно обходят седловые точки и находят минимумы целевой функции (в общем случае - локальные).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Выше были рассмотрены примеры градиентных методов безусловной оптимизации. В результате проделанной работы можно сделать следующие выводы:

1. Более или менее сложные задачи отыскания экстремума при наличии огра­ничений требуют специальных подходов, методов.

2. Многие алго­ритмы решения задач с ограничениями включают миними­зацию без ограничений как некоторый этап.

3. Различные методы спуска отличаются друг от друга способами выбора направления спуска и длины шага вдоль этого направления.

4. Нет пока такой теории, которая учла бы любые особенности функций, описывающих постановку задачи. Следует отдавать предпочтение таким методам, которыми проще управлять в процессе решения задачи.

Реальные прикладные задачи оптимизации очень сложны. Современные методы оптимизации далеко не всегда справляются с решением реальных задач без помощи человека.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Косоруков О.А. Исследование операций: учебник. 2003

2. Пантлеев А.В. Методы оптимизации в примерах и задачах: учеб. Пособие. 2005

3. Шишкин Е.В. Исследование операций: учеб. 2006

4. Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. 1986

5. Вентцель Е.С. Исследование операций. 1980

6. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. 1988

©2015-2019 сайт
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2017-07-02

Метод наискорейшего спуска является градиентным методом с переменным шагом. На каждой итерации величина шага k выбирается из условия минимума функции f(x) в направлении спуска, т.е.

Это условие означает, что движение вдоль антиградиента происходит до тех пор, пока значение функции f (x) убывает. С математической точки зрения на каждой итерации необходимо решать задачу одномерной минимизации по функции

()=f (x (k) -f (x (k)))

Воспользуемся для этого методом золотого сечения.

Алгоритм метода наискорейшего спуска состоит в следующем.

Задаются координаты начальной точки x (0) .

В точке x (k) , k = 0, 1, 2, …, вычисляется значение градиентаf (x (k)).

Определяется величина шага k путем одномерной минимизации по функции

()=f (x (k) -f (x (k))).

Определяются координаты точки x (k) :

x i (k+1) = x i (k) - k f i (x (k)), i=1, …, n.

Проверяется условие останова итерационного процесса:

||f (x (k +1))|| .

Если оно выполняется, то вычисления прекращаются. В противном случае осуществляется переход к п. 1. Геометрическая интерпретация метода наискорейшего спуска представлена на рис. 1.

Рис. 2.1. Блок схема метода наискорейшего спуска.

Реализация метода в программе:

Метод наискорейшего спуска.

Рис. 2.2. Реализация метода наискорейшего спуска.

Вывод: В нашем случае метод сошёлся за 7 итераций. Точка А7 (0,6641; -1,3313) является точкой экстремума. Метод сопряженных направлений. Для квадратичных функций можно создать градиентный метод, при котором время сходимости будет конечным и равно числу переменных n.

Назовем некоторое направление исопряженными по отношению к некоторой положительно определенной матрице ГессаH, если выполняется:

Тогда т.е.. Значит при единичнойH, сопряженное направление означает их перпендикуляр. В общем же случае H неединичная. В общем случае сопряженность - это применение матрицы Гесса к вектору - означает поворот этого вектора на некоторый уголи его растяжение или сжатие.

А теперь вектору векторортогонален т. е. сопряженность это не ортогональность векторови, а ортогональность повернутого векторат.е.и.

Рис. 2.3. Блок-схема метода сопряженных направлений.

Реализация метода в программе: Метод сопряженных направлений.

Рис. 2.4. Реализация метода сопряженных направлений.

Рис. 2.5. График метода сопряженных направлений.

Вывод: Точка А3 (0,6666; -1,3333), была найдена за 3 итерации и является точкой экстремума.

3. Анализ методов определения минимального, максимального значения функции при наличии ограничений

Напомним, что общая задача условной оптимизациивыглядит так

f(x) ® min, x Î W,

где W - собственное подмножество R m . Подкласс задач с ограничениями типа равенств выделяется тем, что множество  задается ограничениями вида

f i (x) = 0, где f i: R m ®R (i = 1, …, k).

Таким образом,W = {x Î R m: f i (x) = 0, i = 1, …, k}.

Нам будет удобно писать у функции f индекс "0". Таким образом, задача оптимизации с ограничениями типа равенств записывается в виде

f 0 (x) ® min, (3.1)

f i (x) = 0, i = 1, …, k. (3.2)

Если обозначить теперь через f функцию на R m со значениями в R k , координатная запись которой имеет вид f(x) = (f 1 (x), …, f k (x)), то (3.1)–(3.2)можно также записать в виде

f 0 (x) ® min, f(x) = Q.

Геометрически задача с ограничениями типа равенств - это задача о поиске наинизшей точки графика функции f 0 над многообразием  (см. рис. 3.1).

Точки, удовлетворяющие всем ограничениям (т. е. точки множества ), обычно называют допустимыми. Допустимая точка x* называется условным минимумом функции f 0 при ограничениях f i (x) = 0, i = 1, ..., k (или решением задачи (3.1)–(3.2)), если при всех допустимых точкахx f 0 (x*)  f 0 (x). (3.3)

Если (3.3)выполняется только для допустимыхx, лежащих в некоторой окрестности V x * точки x*, то говорят о локальном условном минимуме. Естественным образом определяются понятия условных строгих локального и глобального минимумов.

Правила ввода функции

В методе наискорейшего спуска в качестве направления поиска выбирается вектор, направление которого противоположно направлению вектора градиента функции ▽f(x). Из математического анализа известно, что вектор grad f(x)=▽f(x) характеризует направление наиболее быстрого возрастания функции (см. градиент функции). Поэтому вектор - grad f (X) = -▽f(X) называется антиградиентом и является направлением наиболее быстрого ее убывания. Рекуррентное соотношение, с помощью которого реализуется метод наискорейшего спуска, имеет вид X k +1 =X k - λ k ▽f(x k), k = 0,1,...,
где λ k >0 - величина шага. В зависимости от выбора величины шага можно получить различные варианты градиентного метода. Если в процессе оптимизации величина шага λ фиксирована, то метод носит название градиентного метода с дискретным шагом. Процесс оптимизации на первых итерациях можно значительно ускорить, если λ k выбирать из условия λ k =min f(X k + λS k) .
Для определения λ k используется любой метод одномерной оптимизации. В этом случае метод называется методом наискорейшего спуска. Как правило, в общем случае недостаточно одного шага для достижения минимума функции, процесс повторяют до тех пор, пока последующие вычисления позволяют улучшать результат.
Если пространство очень вытянуто по некоторым переменным, то образуется “овраг”. Поиск может замедлиться и идти зигзагами поперек дна “оврага”. Иногда решение невозможно получить за приемлемое время.
Еще одним недостатком метода может быть критерий остановки ||▽f(X k)|| <ε k , так как этому условию удовлетворяет и седловая точка, а не только оптимум.

Пример . Начиная из точки x k =(-2, 3) определите точку x k +1 методом наискорейшего спуска для минимизации функции .
В качестве направления поиска выберем вектор градиент в текущей точке

Проверим критерий остановки . Имеем
Вычислим значение функции в начальной точке f(X 1) = 35. Сделаем
шаг вдоль направления антиградиента

Вычислим значение функции в новой точке
f(X 2) = 3(-2 + 19λ 1) 2 + (3-8λ 1) 2 - (-2 + 19λ 1)(3-8λ 1) - 4(-2 + 19λ 1)
Найдем такой шаг, чтобы целевая функция достигала минимума вдоль этого направления. Из необходимого условия существования экстремума функции
f’(X 2) = 6(-2 + 19λ 1) 19 + 2(3-8λ 1)(-8) – (73 - 304 λ 1) – 4*19
или f’(X 2) = 2598 λ 1 – 425 = 0.
Получим шаг λ 1 = 0.164
Выполнение этого шага приведет в точку

в которой значение градиента , значение функции f(X 2) = 0.23. Точность не достигнута, из точки делаем шаг вдоль направления антиградиента .

f(X 2) = 3(1,116 – 1,008λ 1) 2 + (1,688-2,26λ 1) 2 - (1,116 – 1,008λ 1)(1,688-2,26λ 1) - 4(1,116 – 1,008λ 1)
f’(X 2) = 11,76 – 6,12λ 1 = 0
Получаем λ 1 = 0.52