Метод хорд 2 случая закрепленного конца теория. Численные методы

Метод итераций

Метод простых итераций для уравнения f (x ) = 0 заключается в следующем:

1) Исходное уравнение преобразуют к виду, удобному для итераций:

x = φ (х ). (2.2)

2) Выбирают начальное приближение х 0 и вычисляют последующие приближения по итерационной формуле
x k = φ (х k -1), k =1,2, ... (2.3)

Если существует предел итерационной последовательности, он является корнем уравнения f (x ) = 0, т. е. f (ξ ) =0.

y = φ (х )

a x 0 x 1 x 2 ξ b

Рис. 2. Сходящийся процесс итераций

На рис. 2 показан процесс получения очередного приближения по методу итераций. Последовательность приближений сходится к корню ξ .

Теоретические основы для применения метода итера­ций дает следующая теорема.

Теорема 2.3 . Пусть выполняются условия:

1) корень уравнения х = φ(х) принадлежит отрезку [а , b ];

2) все значения функции φ (х ) принадлежат отрезку [а , b ],т. е. а ≤ φ (х )≤ b ;

3) существует такое положительное число q < 1, что производная φ "(x ) во всех точках отрезка [а , b ] удовлет­воряет неравенству |φ "(x ) | ≤ q .

1) итерационная последовательность х п = φ (х п- 1)(п = 1, 2, 3, ...) сходится при любом x 0 Î [а , b ];

2) предел итерационной последовательности является корнем уравнения

х = φ (x ), т. е. если x k = ξ, то ξ= φ (ξ);

3) справедливо неравенство, характеризующее ско­рость сходимости итерационной последовательности

| ξ-x k | ≤ (b-a )×q k . (2.4)

Очевидно что, эта теорема ставит, довольно, жесткие условия, которые необходимо проверить перед примене­нием метода итераций. Если производная функции φ (x ) по модулю больше единицы, то процесс итераций расхо­дится (рис. 3).

y = φ (x ) y = x

Рис. 3. Расходящийся процесс итераций

В качестве условия сходимости итерационных методов чисто используется неравенство

|x k - x k - 1 | ≤ ε . (2.5)

Метод хорд заключается в замене кривой у = f (x ) отрезком прямой, проходящей через точки (а , f (a )) и (b , f (b )) рис. 4). Абсцисса точки пересечения прямой с осью ОХ принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, за­пишем уравнение прямой, проходящей через точки (a , f (a )) и (b , f (b )) и, приравнивая у к нулю, найдем х :

Þ

Алгоритм метода хорд :

1) пусть k = 0;

2) вычислим следующий номер итерации: k = k + 1.

Найдем очередное k -e приближение по формуле:

x k = a - f (a )(b - a )/(f (b ) - f (a )).

Вычислим f (x k );

3) если f (x k )= 0 (корень найден), то переходим к п. 5.

Если f (x k ) ×f (b )>0, то b = x k , иначе a = x k ;

4) если |x k – x k -1 | > ε , то переходим к п. 2;

5) выводим значение корня x k ;

Замечание . Действия третьего пункта аналогичны действи­ям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каж­дом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (пра­вый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 4, а ) или вогнутый вниз (рис. 4, б ).Поэтому в критерии сходимости используется разность сосед­них приближений.

Рис. 4. Метод хорд

4. Метод Ньютона (касательных )

Пусть найдено приближенное значение корня уравнения f (x )= 0, и обозначим его х п .Расчетная формула метода Ньютона для определения очередного приближения x n +1 может быть получена двумя способами.

Первый способ выражает геометрический смысл метода Ньютона и состоит в том, что вместо точки пересечения графика функции у = f (x )с осью Оx ищем точку пересечения с осью Оx касательной, проведенной к графику функции в точке (x n , f (x n )),как показано на рис. 5. уравнение касательной имеет вид у - f (x n )= f " (x n )(x - x n ).

Рис. 5. Метод Ньютона (касательных)

В точке пересечения касательной с осью Оx переменная у = 0. Приравнивая у к нулю, выразим х и получим формулу метода касательных :

(2.6)

Второй способ: разложим функцию f (x )в ряд Тейлора в окрестности точки х = х n :

Ограничимся линейными слагаемыми относительно (х - х п ),приравняем к нулю f (x ) и, выразив из получен­ного уравнения неизвестное х ,обозначив его через х n +1 получим формулу (2.6).

Приведем достаточные условия сходимости метода Ньютона.

Теорема 2.4 . Пусть на отрезке [а , b ]выполняются ус­ловия:

1) функция f (x )и ее производные f " (х )и f "" (x )непре­рывны;

2) производные f " (x)и f ""(x )отличны от нуля и сохра­няют определенные постоянные знаки;

3) f (a )× f (b ) < 0 (функция f (x )меняет знак на отрезке).
Тогда существует отрезок [α , β ], содержащий искомый корень уравнения f (x ) = 0, на котором итерационная пос­ледовательность (2.6) сходится. Если в качестве нулевого приближения х 0 выбрать ту граничную точку [α , β ], в ко­торой знак функции совпадает со знаком второй произ­водной,

т.е. f (x 0)× f" (x 0)>0, то итерационная последо­вательность сходится монотонно

Замечание . Отметим, что метод хорд как раз идет с противо­положной стороны, и оба этих метода могут друг друга допол­нять. Возможен и комбинированный метод хорд-касательных.

5. Метод секущих

Метод секущих может быть получен из метода Ньютона при замене производной приближенным выражени­ем – разностной формулой:

, ,

. (2.7)

В формуле (2.7) используются два предыдущих при­ближения х п и x n - 1 .Поэтому при заданном начальном приближении х 0 необходимо вычислить следующее приближение x 1 , например, методом Ньютона с приближенной заменой производной по формуле

,

Алгоритм метода секущих :

1) заданы начальное значение х 0 и погрешность ε . Вычислим

;

2) для п = 1, 2, ... пока выполняется условие |x n – x n -1 | > ε , вычисляем х п+ 1 по формуле (2.7).

Инструкция . Введите выражение F(x) , нажмите Далее. Полученное решение сохраняется в файле Word . Также создается шаблон решения в Excel . Ниже представлена видеоинструкция.

Правила ввода функции

Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня на интервале , в предположении, что f(a)f(b)<0.
f’’(x)>0 f’’(x)<0
f(b)f’’(b)>0 f(a)f’’(a)>0


Рис.1а Рис. 1б

Рассмотрим рис.1а. Проведем через точки А и В хорду. Уравнение хорды
.
В точке x=x 1 , y=0, в результате получим первое приближение корня
. (3.8)
Проверяем условия
(а) f(x 1)f(b)<0,
(б) f(x 1)f(a)<0.
Если выполняется условие (а), то в формуле (3.8) точку a заменяем на x 1 , получим

.

Продолжая этот процесс, получим для n-го приближения
. (3.9)
Здесь подвижен конец a, то есть f(x i)f(b)<0. Аналогичная ситуация на рис 2а.
Рассмотрим случай, когда неподвижен конец a .
f’’(x)<0 f’’(x)>0
f(b)f’’(b)<0 f(a)f’’(a)<0


Рис.2а Рис.2б

На рис 1б,2б выполняется f(x i)f(a)<0. Записав уравнение хорды, мы на первом шаге итерационного процесса получим x 1 (см. (3.8)). Здесь выполняется f(x 1)f(a)<0. Затем вводим b 1 =x 1 (в формуле (3.8) точку b заменяем на x 1), получим
.

Продолжая процесс, придем к формуле
. (3.10)
Останов процесса

|x n – x n-1 |<ε; ξ≈x n

Рис. 3
На рис.3 f’’(x) меняет знак, поэтому подвижными будут оба конца.
Прежде чем перейти к вопросу о сходимости итерационного процесса метода хорд введем понятие выпуклой функции.

Определение. Непрерывная на функция называется выпуклой (вогнутой), если для любых двух точек x 1 ,x 2 , удовлетворяющих a≤x 1 f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - выпуклая.
f(αx 1 + (1-α)x 2) ≥ αf(x 1) + (1-α)f(x 2) - вогнутая
Для выпуклой функции f’’(x)≥0.
Для вогнутой функции f’’(x)≤0

Теорема 3. Если функция f(x) выпукла (вогнута) на отрезке , то на любом отрезке график функции f(x) лежит не выше (не ниже) хорды, проходящей через точки графика с абсциссами x 1 и x 2 .

Доказательство:

Рассмотрим выпуклую функцию. Уравнение хорды: проходящей через x 1 и x 2 имеет вид:
.
Рассмотрим точку c= αx 1 + (1-α)x 2 , где aÎ

С другой стороны, по определению выпуклой функции имеем f(αx 1 + (1-α)x 2) ≤ αf 1 + (1-α)f 2 ; поэтому f(c) ≤ g(c) ч.т.д.

Для вогнутой функции доказательство аналогично.
Доказательство сходимости итерационного процесса рассмотрим для случая выпуклой (вогнутой) функции.

Теорема 4. Пусть задана непрерывная: дважды дифференцируемая функция f(x) на и пусть f(a)f(b)<0, а f’(x) и f’’(x) сохраняют свои знаки на (см. рис 1а,1б и рис 2а,2б). Тогда итерационный процесс метода хорд сходится к корню ξ с любой наперед заданной точностью ε.
Доказательство: Рассмотрим для примера случай f(a)f’’(a)<0 (см рис 1а и 2а). Из формулы (9) следует, что x n > x n -1 так как (b-x n -1)>0, а f n -1 /(f b -f n -1)<0. Это справедливо для любого n, то есть получаем возрастающую последовательность чисел
a≤x 0 Докажем теперь, что все приближения x n < ξ, где ξ - корень. Пусть x n -1 < ξ. Покажем, что x n тоже меньше ξ. Введем
. (3.11)
Имеем
(3.12)
(то есть значение функции y(x) в точке x n на хорде совпадает с f(ξ)).
Так как , то из (3.12) следует
или
. (3.13)
Для рис. 1а , следовательно
или
значит что и т.д. (см. (3.11)).
Для рис 2а . Следовательно, из (3.12) получим
значит
так как ч.т.д.
Аналогичное доказательство для рис.1б и рис.2б. Таким образом, мы доказали, что последовательность чисел является сходящейся.
a≤x 0 a≤ ξЭто значит, что для любого ε можно указать такое n, что будет выполняться |x n - ξ |<ε. Теорема доказана.
Сходимость метода хорд линейная с коэффициентом .
, (3.14)
где m 1 =min|f’(x)|, M 1 =max|f’(x)|.
Это вытекает из следующих формул. Рассмотрим случай неподвижного конца b и f(b)>0.
Имеем из (3.9) . Отсюда
. Учитывая, что , мы можем записать или
.
Заменяя в знаменателе правой части (ξ-x n -1) на (b-x n -1) и учитывая, что (ξ-x n -1)< (b-x n -1), получим , что и требовалось доказать (см. неравенство (3.14)).
Доказательство сходимости для случая рис.3 (f’’(x) меняет знак; в общем случае как f’, так и f’’ могут менять знаки) более сложное и здесь не приводится.

В задачах определить количество действительных корней уравнения f(x) = 0, отделить эти корни и, применяя метод хорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0.001.

Метод хорд - один из распространенных итерационных методов. Его еще называют методом линœейного интерполирования, методом пропорциональных частей.

Идея метода хорд в том, что на достаточно малом отрезке дуга кривой у =f (x) заменяется хордой и абсцисса точки пересечения хорды с осью Ox является приближенным значением корня.

Рисунок 2 – Геометрическая интерпретация метода Ньютона.

Пусть для определœенности f" (х)> 0, f"" (x) >0, f (а) <0, f (b)> 0 (рис. 3, а). Возьмем за начальное приближение искомого корня х* значения х 0 =а. Через точки а 0 и В проведем хорду и за первое приближение корня х* возьмем абсциссу x 1 точки пересечения хорды с осью ОХ. Теперь приближенное значение х 1 корня можно уточнить если применить метод хорд на отрезке [х 1 ; b ]. Абсцисса х 2 точки пересечения хордыА 1 В будет другим приближением корня. Продолжая данный процесс далее, получим последовательность х 0 , х 1 , х 2 ,..., х k , ... приближенных значений корня х* данного уравнения.

Таким образом метод хорд можно записать так:

, k=0, 1.2, …, (8)

В общем случае неподвижным будет тот конец отрезка изолированного корня, в которой знак функции f(х) совпадает со знаком второй производной, а за начальное приближение x 0 можно взять точку отрезка [а; b ], в которой f(x 0)×f"’(x 0) < 0.

К примеру, когда f (a) >0, f (b) <0, f"(х)< 0, f"(х)< 0 (рис. .3, б) конец b отрезка [а; b ] является неподвижным.

В случае если f (а)>0, f (b)< 0, f" (х)< 0, f"(x) >0 (рис.3, в), или f (а) <0, f (b) >0, f’ (х) >0, f"’ (x) <0 (рис. 3, г), точка а является неподвижным концом отрезка [а; b ].

Достаточные условия сходимости метода хорд дает такая теорема.

Рисунок 3. – Геометрическая интерпретация метода хорд

Теорема. Пусть на отрезке [а; b ] функция f (х) непрерывна вместе со своими производными второго порядка включительно, причем f(a)×f(b)<0, а производные f" (x) и f" (х) сохраняют свои знаки на [а; b ], тогда существует такая окружность корня х* уравнения f (x) =0, что для любого начального приближения х 0 этой окружности последовательность {х k }, вычисленная по формуле (8), сходится к корню х*.

Метод хорд. - понятие и виды. Классификация и особенности категории "Метод хорд." 2017, 2018.

3. Метод хорд

Пусть дано уравнение f(x) = 0, где f(x) - непрерывная функция, имеющая в интервале (a, b) производные первого и второго порядков. Корень считается отделенным и находится на отрезке .

Идея метода хорд состоит в том, что на достаточно малом промежутке дугу кривой y = f(x) можно заменить хордой и в качестве приближенного значения корня принять точку пересечения с осью абсцисс. Рассмотрим случай (рис. 1), когда первая и вторая производные имеют одинаковые знаки, т.е. f "(x)f ²(x) > 0. Тогда уравнение хорды, проходящей через точки A0 и B, имеет вид

Приближение корня x = x1, для которого y = 0, определяется как

.

Аналогично для хорды, проходящей через точки A1 и B, вычисляется следующее приближение корня

.

В общем случае формула метода хорд имеет вид:

. (2)

Если первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е.

f "(x)f "(x) < 0,

то все приближения к корню x* выполняются со стороны правой границы отрезка , как это показано на рис. 2, и вычисляются по формуле:

. (3)

Выбор формулы в каждом конкретном случае зависит от вида функции f(x) и осуществляется по правилу: неподвижной является граница отрезка изоляции корня, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной. Формула (2) используется в том случае, когда f(b)f "(b) > 0. Если справедливо неравенство f(a)f "(a) > 0, то целесообразно применять формулу (3).

Рис. 1 Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Итерационный процесс метода хорд продолжается до тех пор, пока не будет получен приближенный корень с заданной степенью точности. При оценке погрешности приближения можно пользоваться соотношением:

.

Тогда условие завершения вычислений записывается в виде:

где e - заданная погрешность вычислений. Необходимо отметить, что при отыскании корня метод хорд нередко обеспечивает более быструю сходимость, чем метод половинного деления.

4. Метод Ньютона (касательных)

Пусть уравнение (1) имеет корень на отрезке , причем f "(x) и f "(x) непрерывны и сохраняют постоянные знаки на всем интервале .

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной. Для этого выбирается некоторое начальное приближение корня x0 на интервале и проводится касательная в точке C0(x0, f(x0)) к кривой y = f(x) до пересечения с осью абсцисс (рис. 3). Уравнение касательной в точке C0 имеет вид

Затем проводится касательная через новую точку C1(x1, f(x1)) и определяется точка x2 ее пересечения с осью 0x и т.д. В общем случае формула метода касательных имеет вид:

В результате вычислений получается последовательность приближенных значений x1, x2, ..., xi, ..., каждый последующий член которой ближе к корню x*, чем предыдущий. Итерационный процесс обычно прекращается при выполнении условия (4).

Начальное приближение x0 должно удовлетворять условию:

f(x0) f ¢¢(x0) > 0. (6)

В противном случае сходимость метода Ньютона не гарантируется, так как касательная будет пересекать ось абсцисс в точке, не принадлежащей отрезку . На практике в качестве начального приближения корня x0, обычно выбирается одна из границ интервала , т.е. x0 = a или x0 = b, для которой знак функции совпадает со знаком второй производной.

Метод Ньютона обеспечивает высокую скорость сходимости при решении уравнений, для которых значение модуля производной ½f ¢(x)½вблизи корня достаточно велико, т.е. график функции y = f(x) в окрестности корня имеет большую крутизну. Если кривая y = f(x) в интервале почти горизонтальна, то применять метод касательных не рекомендуется.

Существенным недостатком рассмотренного метода является необходимость вычисления производных функции для организации итерационного процесса. Если значение f ¢(x) мало изменяется на интервале , то для упрощения вычислений можно пользоваться формулой

, (7)

т.е. значение производной достаточно вычислить только один раз в начальной точке. Геометрически это означает, что касательные в точках Ci(xi, f(xi)), где i = 1, 2, ..., заменяется прямыми, параллельными касательной, проведенной к кривой y = f(x) в начальной точке C0(x0, f(x0)), как это показано на рис. 4.

В заключение необходимо отметить, что все изложенное справедливо в том случае, когда начальное приближение x0 выбрано достаточно близким к истинному корню x* уравнения. Однако это не всегда просто осуществимо. Поэтому метод Ньютона часто используется на завершающей стадии решения уравнений после работы какого-либо надежно сходящегося алгоритма, например, метода половинного деления.

5. Метод простой итерации

Чтобы применить этот метод для решения уравнения (1) необходимо преобразовать его к виду . Далее выбирается начальное приближение и вычисляется x1, затем x2 и т.д.:

x1 = j(x0); x2 = j(x1); …; xk = j(xk-1); ...

нелинейный алгебраический уравнение корень

Полученная последовательность сходится к корню при выполнении следующих условий:

1) функция j(x) дифференцируема на интервале .

2) во всех точках этого интервала j¢(x) удовлетворяет неравенству:

0 £ q £ 1. (8)

При таких условиях скорость сходимости является линейной, а итерации следует выполнять до тех пор, пока не станет справедливым условие:

.

Критерий вида

может использоваться только при 0 £ q £ ½. Иначе итерации заканчиваются преждевременно, не обеспечивая заданную точность. Если вычисление q затруднительно, то можно использовать критерий окончания вида

; .

Возможны различные способы преобразования уравнения (1) к виду . Следует выбирать такой, который удовлетворяет условию (8), что порождает сходящийся итерационный процесс, как, например, это показано на рис. 5, 6. В противном случае, в частности, при ½j¢(x)½>1, итерационный процесс расходится и не позволяет получить решение (рис. 7).

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7

Заключение

Проблема повышения качества вычислений нелинейных уравнений при помощи разнообразных методов, как несоответствие между желаемым и действительным, существует и будет существовать в дальнейшем. Ее решению будет содействовать развитие информационных технологий, которое заключается как в совершенствовании методов организации информационных процессов, так и их реализации с помощью конкретных инструментов – сред и языков программирования.

Список использованных источников

1. Алексеев В. Е., Ваулин А.С., Петрова Г. Б. - Вычислительная техника и программирование. Практикум по программированию:Практ.пособие/ -М.: Высш. шк. , 1991. - 400 с.

2. Абрамов С.А., Зима Е.В. - Начала программирования на языке Паскаль. - М.: Наука, 1987. -112 с.

3. Вычислительная техника и программирование: Учеб. для техн. вузов/ А.В. Петров, В.Е. Алексеев, А.С. Ваулин и др. - М.: Высш. шк., 1990 - 479 с.

4. Гусев В.А., Мордкович А.Г. - Математика: Справ. материалы: Кн. для учащихся. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1990. - 416 с.

Точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4) строятся по формулам: , (9) где – начальное приближение к точному решению. 4.5 Метод Зейделя на основе линеаризованного уравнения Итерационная формула для построения приближенного решения нелинейного уравнения (2) на основе линеаризованного уравнения (7) имеет вид: 4.6 Метод наискорейшего спуска Методы...

Рассматриваемый метод так же, как и метод половинного деления, предназначен для уточнения корня на интервале

принимает значения разных знаков. Очередное приближение в отличие от метода половинного деления берем не в середине отрезка, а в точке , где пересекает ось абсцисс прямая линия (хорда), проведенная через точкиА иВ (рис. 2.6).

Запишем уравнение прямой, проходящей через точки А иВ :

.

Для точки пересечения прямой с осью абсцисс (
) получим уравнение

. (2.13)

В качестве нового интервала для продолжения итерационного процесса выбираем тот из двух
и
, на концах которого функция
принимает значения разных знаков. Для рассматриваемого случая (рис. 2.6) выбираем отрезок
, так как
. Следующая итерация состоит в определении нового приближения как точки пересечения хорды
с осью абсцисс и т.д.

Заканчиваем процесс уточнения корня, когда расстояние между очередными приближениями станет меньше заданной точности, т.е.

(2.14)

или при выполнении условия (2.12).

ØЗамечание. Метод половинного деления и метод хорд очень похожи, в частности, процедурой проверки знаков функции на концах отрезка. При этом второй их них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. Однако в некоторых случаях метод хорд может сходится существенно медленнее метода половинного деления. Такая ситуация показана на рис. 2.7. Оба рассмотренных метода не требуют знания дополнительной информации о функции
. Например, не требуется, чтобы функция была дифференцируема. Даже для разрывных функций рассмотренные методы обладают гарантированной сходимостью. Более сложные методы уточнения корня используют дополнительную информацию о функции
, прежде всего свойство дифференцируемости. Как результат они обычно обладают более быстрой сходимостью, но в то же время, применимы для более узкого класса функций, и их сходимость не всегда гарантирована. Примером такого метода служит метод Ньютона.<

1. Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть нам известно начальное приближение к корню (вопрос выбора начального приближение будет подробно рассмотрен ниже). Проведем в этой точке касательную к кривой
(рис. 2.8). Эта касательная пересечет ось абсцисс в точке , которую будем рассматривать в качестве следующего приближения. Значение легко найти из рисунка:

,

выражая отсюда , получим

.

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения. Формула для k +1-го приближения имеет вид

,
(2.15)

Из формулы (2.15) вытекает условие применимости метода: функция
должна быть дифференцируемой и
в окрестности корня не должна менять знак.

Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия (2.12) или (2.14).

ØЗамечание 1. В методе Ньютона, в отличие от предыдущих методов, не обязательно задавать отрезок
, содержащий корень уравнения, а достаточно найти некоторое начальное приближение корня .<

ØЗамечание 2. Формула метода Ньютона может быть получена и из других соображений. Зададимся некоторым начальным приближением корня
. Заменим функциюf (x ) в окрестности точки отрезком ряда Тейлора:

и вместо нелинейного уравнения
решим линеаризованное уравнение

рассматривая его решение как следующее (первое) приближение к искомому значению корня. Решение этого уравнение очевидно:

Повторяя это процесс приходим к формуле Ньютона (2.15).<

Сходимость метода Ньютона . Выясним основные условия сходимости последовательности значений
, вычисляемых по формуле (2.15), к корню уравнения (2.1). Предполагая, что
дважды непрерывно дифференцируема, разложим
в ряд Тейлора в окрестностиk -го приближения

Разделив последнее соотношение на
и перенеся часть слагаемых из левой части в правую, получим:

.

Учитывая, что выражение в квадратных скобках согласно (2.15) равно
, переписываем это соотношение в виде

.

. (2.16)

Из (2.16) следует оценка

, (2.17)

где
,
.

Очевидно, что ошибка убывает, если

. (2.18)

Полученное условие означает, что сходимость зависит от выбора начального приближения.

Оценка (2.17) характеризует скорость убывания погрешности для метода Ньютона: на каждом шаге погрешность пропорциональна квадрату погрешности на предыдущем шаге. Следовательно, метод Ньютона обладает квадратичной сходимостью.

Выбор начального приближения в методе Ньютона. Как следует из условия (2.18) сходимость итерационной последовательности, получаемой в методе Ньютона, зависит от выбора начального приближения . Это можно заметить и из геометрической интерпретации метода. Так, если в качестве начального приближения взять точку (рис. 2.9), то на сходимость итерационного процесса рассчитывать не приходится.

Если же в качестве начального приближения выбрать точку , то получим сходящуюся последовательность.

В общем случае, если задан отрезок
, содержащий корень, и известно, что функция
монотонна на этом отрезке, то в качестве начального приближения можно выбрать ту границу отрезка
, где совпадают знаки функции
и второй производной
. Такой выбор начального приближения гарантирует сходимость метода Ньютона при условии монотонности функции на отрезке локализации корня.