Координаты точки делящей отрезок в отношении онлайн. Деление отрезка в данном отношении

Пусть дан направленный отрезок АВ прямой; говорят, что точка

М этой прямой делит отрезок АВ в отношении, равном X, где произвольное вещественное число, если

Когда точка М лежит между точками А и В (т. е. внутри отрезка

АВ), то векторы АМ и МВ направлены в одну сторону (рис. 2) и отношение (1) положительно.

Когда точка М лежит вне отрезка

АВ, то векторы АМ и МВ направлены в противоположные стороны (рис. 3) и отношение (1) отрицательно.

Посмотрим, как изменяется отношение (1), когда точка М пробегает всю прямую. Когда точка М совпадает с точкой А, то отношение (1) равно нулю; если затем точка М пробегает отрезок АВ в направлении от А к В, то отношение (1) непрерывно возрастает, делаясь при приближении точки М к В сколь угодно большим. Когда , то дробь (1) теряет смысл, так как ее знаменатель обращается в нулевой вектор. При дальнейшем движении точки по прямой в том же направлении (на рис. 3, а направо от В) отношение (1) становится отрицательным, причем если Ж находится достаточно близко от В, то это отношение имеет сколь угодно большую абсолютную величину.

Так как , то (в силу предложения 8 § 4) имеем

Когда точка М, двигаясь все время в том же направлении (на нашем рис. 3, а слева направо), уходит но прямой в бесконечность, то дробь - стремится к нулю (так как ее числитель остается постоянным, а знаменатель неограниченно возрастает), следовательно, отношение , - стремится к -1.

Пусть теперь М переходит на «левую» из двух полупрямых, на которые точка А разбивает прямую (т. е. на ту полупрямую, которая не содержит отрезка АВ). Если при этом точка М находится достаточно далеко от точки А, то , снова сколь угодно мало и, значит, но формуле отношение сколь угодно мало отличается от -1. При приближении точки М слева к точке А (рис. 3, б) отношение (I), оставаясь отрицательным, непрерывно уменьшается по модулю и наконец делается равным нулю, когда точка М возвращается в точку А.

Заметим, что ни при каком положении точки М на прямой отношение не равно -1. В самом деле, отношение отрицательно, лишь когда точка М лежит вне отрезка АВ. Но в этом случае отрезки AM и MB никогда не бывают равны, т. е.

Пусть теперь на прямой установлена система координат и О - начало этой системы. Обозначим координату точки А через точки В - через , а переменной точки М - через . Тогда и

Пусть точки M 1 , M 2 , M 3 расположены на одной прямой. Говорят, что точка M делит отрезок M 1 M 2 в отношении λ(λ≠-1) , если .
Пусть известны координаты точек M 1 и M 2 относительно некоторой системы координат: M 1 (x 1 , y 1 , z 1), M 2 (x 2 , y 2 , z 2), тогда координаты точки M(x, y, z) относительно этой же системы координат находятся по формулам:
Если точка M находится в середине отрезка M 1 M 2 , то , то есть λ=1 и формулы (*) примут вид:

(**)

Для решения используют следующие калькулятор:

1. Точки задаются двумя координатами : A(x 1 ,y 1), B(x 2 ,y 2).
2. Точки задаются тремя координатами : A(x 1 ,y 1 ,z 1), B(x 2 ,y 2 ,z 2).

Пример №1 . Треугольник задан координатами своих вершин A(3, -2, 1), B(3, 1, 5), C(4, 0, 3). Найти координаты D(x, y, z) – точки пересечения его медиан.

Пример №2 . Отрезок AB разделен точкой C(4,1) в отношении λ=1/4 , считая от точки A . Найти координаты A , если B(8,5).
Решение . Применяя формулы (*), получим:
, откуда находим x=3 , y=0 .

Пример №3 . Отрезок AB разделен на три равные части точками C(3, -1) и D(1,4). Найти координаты концов отрезка.
Решение . Обозначим A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2). Точка C – середина отрезка AD, следовательно, по формулам (**) находим: откуда x 1 = 5, y 1 = -6. Аналогично находятся координаты точки B: x 2 = -1, y 2 = 9.

Когда существуют условия деления отрезка в определенном отношении, необходимо уметь определять координаты точки, служащей разделителем. Выведем формулу для нахождения этих координат, поставив задачу на плоскости.

Исходные данные: задана прямоугольная система координат O x y и две лежащие на ней, несовпадающие точки с заданными координатами A (x A , y A) и B (x B , y B) . А также задана точка С, делящая отрезок А В в отношении λ (некоторое положительное действительное число). Необходимо определить координаты точки С: x C и y C .

Перед тем, как приступить к решению поставленной задачи, немного раскроем смысл заданного условия: «точка С, делящая отрезок А В в отношении λ ». Во-первых, это выражение свидетельствует о том, что точка С лежит на отрезке А В (т.е. между точками А и В). Во-вторых, понятно, что согласно заданному условию отношение длин отрезков А С и С В равно λ . Т.е. верно равенство:

В этом случае точка А – начало отрезка, точка В – конец отрезка. Если бы было задано, что точка С делит в заданном отношении отрезок В А, тогда верным было бы равенство: .

Ну и совсем очевидный факт, что если λ = 1 , то точка С является серединой отрезка А В.

Решим поставленную задачу при помощи векторов. Отобразим произвольно в некой прямоугольной системе координат точки А, В и точку С на отрезке А В. Построим радиус-векторы указанных точек, а также векторы A C → и C B → . Согласно условиям задачи, точка С делит отрезок А В в отношении λ .

Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: O A → = (x A , y A) и O B → = (x B , y B) .

Определим координаты вектора: они будут равны координатам точки С, которые и требуется найти по условию задачи.

Используя операцию сложения векторов, запишем равенства: O C → = O A → + A C → O B → = O C → + C B → ⇔ C B → = O B → - O C →

По условию задачи точка С делит отрезок А В в отношении λ , т.е. верно равенство A C = λ · C B .

Векторы A C → и C B → лежат на одной прямой и являются сонаправленными. λ > 0 по условию задачи, тогда, согласно операции умножения вектора на число, получим: A C → = λ · C B → .

Преобразуем выражение, подставив в него: C B → = O B → - O C → .

A C → = λ · (O B → - O C →) .

Равенство O C → = O A → + A C → перепишем как O C → = O A → + λ · (O B → - O C →) .

Используя свойства операций над векторами, из последнего равенства следует: O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) .

Теперь нам остается непосредственно вычислить координаты вектора O C → = 1 1 + λ · O A → + λ · O B → .

Выполним необходимые действия над векторами O A → и O B → .

O A → = (x A , y A) и O B → = (x B , y B) , тогда O A → + λ · O B → = (x A + λ · x B , y A + λ · y B) .

Таким образом, O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ) .

Резюмируя: координаты точки С, делящей отрезок А В в заданном отношении λ определяются по формулам: x C = x A + λ · x B 1 + λ и y C = у A + λ · y B 1 + λ .

Определение координат точки, делящей отрезок в заданном отношении, в пространстве

Исходные данные: прямоугольная система координат O x y z , точки с заданными координатами A (x A , y A , z A) и B (x B , y B , z B) .

Точка С делит отрезок А В в отношении λ . Необходимо определить координаты точки С.

Используем ту же схему рассуждений, что и в случае выше на плоскости, придем к равенству:

O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →)

Векторы и являются радиус-векторами точек А и В, а значит:

O A → = (x A , y A , z A) и O B → = (x B , y B , z B) , следовательно

O C → = 1 1 + λ · (O A → + λ · O B →) = (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)

Таким образом, точка С, делящая отрезок А В в пространстве в заданном отношении λ , имеет координаты: (x A + λ · x B 1 + λ , y A + λ · y B 1 + λ , z A + λ · z B 1 + λ)

Рассмотрим теорию на конкретных примерах.

Пример 1

Исходные данные : точка С делит отрезок А В в отношении пять к трем. Координаты точек А и В заданы A (11 , 1 , 0) , B (- 9 , 2 , - 4) .

Решение

По условию задачи λ = 5 3 . Применим полученные выше формулы и получим:

x A + λ · x B 1 + λ = 11 + 5 3 · (- 9) 1 + 5 3 = - 3 2

y A + λ · y B 1 + λ = 1 + 5 3 · 2 1 + 5 3 = 13 8

z A + λ · z B 1 + λ = 0 + 5 3 · (- 4) 1 + 5 3 = - 5 2

Ответ: C (- 3 2 , 13 8 , - 5 2)

Пример 2

Исходные данные : необходимо определить координаты центра тяжести треугольника А В С.

Заданы координаты его вершин: A (2 , 3 , 1) , B (4 , 1 , - 2) , C (- 5 , - 4 , 8)

Решение

Известно, что центром тяжести любого треугольника является точка пересечения его медиан (пусть это будет точка М). Каждая из медиан делится точкой М в отношении 2 к 1 , считая от вершины. Исходя из этого, найдем ответ на поставленный вопрос.

Допустим, что А D – медиана треугольника А В С. Точка М – точка пересечения медиан, имеет координаты M (x M , y M , z M) и является центром тяжести треугольника. М, как точка пересечения медиан, делит отрезок А D в отношении 2 к 1 , т.е. λ = 2 .

Найдем координаты точки D . Так как A D – медиана, то точка D – середина отрезка В С. Тогда, используя формулу нахождения координат середины отрезка, получим:

x D = x B + x C 2 = 4 + (- 5) 2 = - 1 2 y D = y B + y C 2 = 1 + (- 4) 2 = - 3 2 z D = z B + z C 2 = - 2 + 8 2 = 3

Вычислим координаты точки М:

x M = x A + λ · x D 1 + λ = 2 + 2 · (- 1 2) 1 + 2 = 1 3

y M = y A + λ · y D 1 + λ = 3 + 2 · (- 3 2) 1 + 2 = 0

z M = z A + λ · z D 1 + λ = 1 + 2 · 3 1 + 2 = 7 3

Ответ: (1 3 , 0 , 7 3)

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Если точка М(х;у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки М 1 (х 1 ; y 1), М 2 (х 2 ; y 2), и дано отношение λ = M 1 M/MM 2 , в котором точка М делит отрезок M 1 M 2 , то координаты точки М

определяются по формулам

x = (x 1 + λx 2)/(1 + λ), y = (y 1 + λy 2)/(1 + λ)

Если точка М является серединой отрезка M 1 M 2 , то ее координаты определяются по формулам

x = (x 1 + x 2)/2, y = (y 1 + y 2)/2

86. Даны концы A(3; -5) и 6(-1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести.

87. Центр тяжести однородного стержня находится в точке M(1; 4), один из его концов в точке Р(-2; 2). Определить кооодинаты точки Q другого конца этого стержня

88. Даны вершины треугольника A(1; -3), 6(3; -5) и С(-5; 7). Определить середины его сторон.

89. Даны две точки A(3; - 1) и B(2; 1). Определить:

1) координаты точки М, симметричной точке A относительно точки B;

2) координаты точки N, симметричной точке В относительно точки A.

90. Точки М(2; -1), N(-1; 4) и Р(-2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.

91. Даны три вершины параллелограмма A(3; -5), B(5; -3), С(- 1; 3). Определить четвертую вершину D, противоположную B.

92. Даны две смежные вершины параллелограмма A(-3; 5), B(1; 7) и точка пересечения его диагоналей М(1; 1). Определить две другие вершины.

93. Даны три вершины A(2; 3), 6(4; -1) и С(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D.

94. Даны вершины треугольника A(1; 4), B(3; -9), С(-5; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины B.

95. Отрезок, ограниченный точками A (1;-3) и B(4; 3), разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

96. Даны вершины треугольника A(2; -5), B(1; -2), C(4; 7). Найти точку пересечения со стороной АС биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.

97. Даны вершины треугольника A(3; -5), B(-3; 3) и С(-1; -2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине A.

98. Даны вершины треугольника A(- 1; -1), B(3; 5), С(-4; 1). Найти точку пересечения с продолжением стороны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А.

99. Даны вершины треугольника A(3; -5), B(1; - 3), С(2; -2). Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине B.

100. Даны три точки A(1; -1), B(3; 3) и С(4; 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение λ, в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

101. Определить координаты концов А и B отрезка, который точками Р(2; 2) и Q (1; 5) разделен на три равные части.

102. Прямая проходит через точки М 1 (-12; -13) и М 2 (- 2; -5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.

103. Прямая проходит через точки М(2; -3) и N(-6; 5). На этой прямой найти точку, ордината которой равна -5.

104. Прямая проходит через точки А(7; -3) и B(23;. -6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.

105. Прямая проходит через точки A(5; 2) и B(-4; -7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.

106. Даны вершины четырехугольника A(-3; 12), B(3; -4), С(5; -4) и D(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ АС делит диагональ BD.

107. Даны вершины четырехугольника A(-2; 14), B(4; -2), С(6; -2) и D(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и BD.

108. Даны вершины однородной треугольной пластинки A(x 1 ; у 1), B(x 2 ; у 2) и С(x 3 ; у 3). Определить координаты ее центра тяжести,

Указание. Центр тяжести находится в точке пересечения медиан.

109. Точка М пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины его - точки A(2; -3) и B(-5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С.

110. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(х 1 ; y 1), B(x 2 ; у 2) и С(x 3 ; у 3). Если соединить середины ее сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести Обеих пластинок совпадают.

Указание. Воспользоваться результатом задачи 108.

111. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси

координат направлены по ребрам пластинки (рис. 4). Определить центр тяжести этой пластинки.

112. Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными а и b, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис. 5). Определить центр тяжести этой пластинки.

113. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр тяжести пластинки.

114. В следующих точках А(х 1 ; y 1), B(x 2 ; у 2) и С(x 3 ; у 3) сосредоточены массы m, n и р. Определить координаты центра тяжести этой системы трех масс.

115. Точки А (4; 2), В (7; -2) и С(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр тяжести этого треугольника.

Вычисление координат некоторой точки С, которая делит заданный отрезок АВ в определенном отношении, может быть выполнено по формулам:

хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ),

где (хА; уА) и (хВ; уВ) – координаты концов заданного отрезка АВ; число λ = АС/СВ – отношение, в котором отрезок АВ делится точкой С, имеющей координаты (хС; уС).

Если отрезок АВ делится точкой С пополам, то число λ = 1 и формулы для хС и уС примут вид:

хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2.

Нужно иметь ввиду, что в задачах λ – это отношение длин отрезков, а поэтому числа, входящие в данное отношение не есть длины самих отрезков в заданной единице измерения. Например, АС = 12 см, СВ = 16 см: λ = АС/СВ = 12 см / 16 см = 3/4.

1. Поиск координат середины некоторого отрезка, по заданным координатам его концов

Пример 1.

Точки А(-2; 3) и В(6; -9) – концы отрезка АВ. Найти точку С, являющиеся серединой отрезка АВ.

Решение.

В условии задачи задано, что хА = -2; хВ = 6; уА = 3 и уВ = -9. Требуется найти С(хС; уС).

Применяя формулы хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2, получим:

хС = (-2 + 6)/2 = 2, уС = (3 + (-9))/2 = -3.

Таким образом, точка С, являющаяся серединой отрезка АВ, имеет координаты (-2; 3) (рис. 1).
2. Вычисление координат конца некоторого отрезка, зная координаты его середины и другого конца

Пример 2.

Одним концом отрезка АВ является точка А, с координатами (-3; -5), а его серединой точка С(3; -2). Вычислите координаты второго конца отрезка – точки В.

Решение.

По условию задачи становится ясно, что хА = -3; уА = -5; хС = 3 и уС = -2.

Подставив эти значения в формулы хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2, получим:

3 = (-3 + хВ)/2 и

2 = (-5 + уВ)/2.

Решив первое уравнение относительно хВ и второе относительно уВ, найдем: хВ = 9 и уВ = 1, получается, что нужная точка В будет задаваться координатами (9; 1) (рис. 2).

3. Вычисление координат вершин некоторого треугольника по заданным координатам середин его сторон

Пример 3.

Серединами сторон треугольника АВС являются точки D(1; 3), E(-1; -2) и F(4; -1). Найти координаты вершин А, В и С данного треугольника.

Решение.

Пусть точка D и есть середина стороны АВ, точка Е – середина ВС и точка F – середина сторона АС (рис. 3) . Необходимо найти точки А, В и С.

Обозначаем вершины треугольника через А(хА; уА), В(хВ; уВ) и С(хС; уС) и зная координаты точек D, Е и F, по формулам хС = (хА + хВ)/2, уС = (уА + уВ)/2 получим:

{1 = (хА + хВ)/2,
{-1 = (хВ + хС)/2,
{4 = (хА + хС)/2,

{3 = (уА + уВ)/2,
{-2 = (уВ + уС)/2,
{-1 = (уА + уС)/2.

Приведем уравнения к целому виду:

{хА + хВ = 2,
{хВ + хС = -2,
{хА + хС = 8,

{уА + уВ = 6,
{уВ + уС = -4,
{уА + уС = -2.

Решив системы, получим:
хА = 6; хВ = -4; хС = 2.
уА = 4; уВ = 2; уС = -6.

Точки А(6; 4), В(-4; 2) и С(2; -6) и есть необходимые вершины треугольника.

4. Вычисление координат точек, которые делят отрезок в определенном отношении, по заданным координатам концов этого отрезка

Пример 4.

Отрезок АВ поделен точкой С в отношении 3: 5 (считая от точки А к точке В). Концы отрезка АВ – точки А(2; 3) и В(10; 11). Найти точку С.

Решение.

В условии задачи сказано, что хА = 2; хВ = 10; уА = 3; уВ = 11; λ = АС/СВ = 3/5. Найти С(хС; уС) (рис. 4).

по формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) получим:

хС = (2 + 3/5 · 10) / (1 + 3/5) = 5 и уС = (3 + 3/5 · 11) / (1 + 3/5) = 6. Таким образом, имеем С(5; 6).

Выполним проверку: АС = 3√2, СВ = 5√2, λ = АС/СВ = 3√2/5√2 = 3/5.

Замечание. В условии задачи указано, что деление отрезка производится в заданном отношении от точки А к точке В. Если бы это не уточнялось, то задача имела бы два решения. Второе решение: деление отрезка от точки В к точке А.

Пример 5.

Некоторый отрезок АВ разделен в отношении 2: 3: 5 (считая от точки А к точке В), его концы – есть точки с координатами А(-11; 1) и В(9; 11). Найти точки деления данного отрезка.

Решение.

Обозначим точки деления отрезка от А к В через С и D. В условии задачи дано, что
хА = -11; хВ = 9; уА = 1; уВ = 11. Найти С(хС; уС) и D(хD; уD), если АС: СD: DB = 2: 3: 5.

Точка С делит отрезок АВ в отношении λ = АС/СВ = 2/(3 + 5) = 2/8 = 1/4.

По формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) получим:

хС = (-11 + ¼ · 9) / (1 + 1/4) = -7 и уС = (1 + ¼ · 11) / (1 + 1/4) = 3.

Таким образом, С(-7; 3).

Точка D – есть середина отрезка АВ. Применив формулы хD = (хА + хВ)/2, уD = (уА + уВ)/2, найдем:

хD = (-11 + 9)/2 = -1, уD = (1 + 11)/2 = 6. Значит, D имеет координаты (-1; 6).

5. Вычисление координат точек, которые делят отрезок, если заданы координаты концов этого отрезка и число частей, на которые этот отрезок разделен

Пример 6.

Концы отрезка – точки А(-8; -5) и В(10; 4). Найти точки С и D, которые делят этот отрезок на три равные части.

Решение.

Из условия задачи известно, что хА = -8; хВ = 10; уА = -5; уВ = 4 и n = 3. Найдем С(хС; уС) и D(хD; уD) (рис. 5).

Найдем точку С. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 1/2. Деление производим от точки А к точке В. По формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) имеем:

хС = (-8 + ½ · 10) / (1 + 1/2) = -2 и уС = (-5 + ½ · 4) / (1 + 1/2) = -2. Таким образом, С(-2; -2).

Деление отрезка СВ выполняется в отношении 1: 1, поэтому используем формулы

хD = (хА + хВ)/2, уD = (уА + уВ)/2:

хD = (-2 + 10)/2 = 4, уD = (-2 + 4)/2 = 1. Таким образом, D(4; 1).

Точки деления С(-2; -2) и D(4; 1).

Замечание: Точку D можно найти, производя деление отрезок АВ в отношении 2: 1. В таком случае надо будет снова применить формулы хD = (хА + λхВ) / (1 + λ), уD = (уА + λуВ) / (1 + λ).

Пример 7.

Точки А(5; -6) и В(-5; 9) – концами отрезка. Найти точки, которые поделят данный отрезок на пять равных частей.

Решение.

Пусть последовательные точки деления от А к В будут С(хС; уС), D(хD; уD), Е(хE; уE) и F(хF; уF). В условия задачи сказано, что хА = 5; хВ = -5; уА = -6; уВ = 9 и n = 5.

Найдем по формулам хС = (хА + λхВ) / (1 + λ), уС = (уА + λуВ) / (1 + λ) точку С. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 1/4:

хС = (5 + 1/4 · (-5)) / (1 + 1/4) = 3 и уС = (-6 + 1/4 · 9) / (1 + 1/4) = -3, получаем, что точка С имеет координаты (3; -3).

Деление отрезка АВ точкой D производится в отношении 2: 3 (т.е. λ = 2/3), поэтому:

xD = (5 + 2/3 · (-5)) / (1 + 2/3) = 1 и уD = (-6 + 2/3 · 9) / (1 + 2/3) = 0, значит D(1; 0).

Найдем точку Е. Она делит отрезок АВ в отношении λ = 2/3:

XЕ = (5 + 3/2 · (-5)) / (1 + 3/2) = -1 и уЕ = (-6 + 3/2 · 9) / (1 + 3/2) = 3. Таким образом, Е(-1; 3).

Точка F делит отрезок АВ в отношении λ = 4/1, поэтому:

XF = (5 + 4 · (-5)) / (1 + 4) = -3 и уF = (-6 + 4 · 9) / (1 + 4) = 6, F(-3; 6).

Точки деления С(-2; -2); D(4; 1); Е(-1; 3) и F(-3; 6).

Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу на деление отрезка?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.