История возникновения десятичных дробей. История обыкновенных дробей

Всем нам в школе довелось пройти через изучение дробей – и обыкновенных, и десятичных. Кому-то они давались легче, кому-то тяжелее, но в целом многие считают их делом весьма сложным. У немцев даже есть такая поговорка – «попасть в дроби», означающая «попасть в сложное положение». Но, несмотря на сложность, знать дроби нужно – об этом говорил ещё Марк Туллий Цицерон. Этот знаменитый древнеримский оратор утверждал, что о человеке, который не знает дробей, вообще нельзя сказать, что он знает арифметику. И с этим нельзя не согласиться: дроби (или, как их называли в древности, «ломаные числа») возникли потому, что операции с целыми числами во многих случаях необходимой точности не дают.

Впервые мы находим дроби в математике древнего Вавилона. Там единица разделялась на 60 частей, поскольку система счисления у вавилонян была двенадцатиричной.

А в математике Древнего Египта дроби считались наиболее сложным разделом. Правда, выглядели они не совсем так, как то, что знаем мы сегодня. Древние египтяне имели дело только с дробями, где числитель равен единице (такие дроби называются аликвотными). Исключение составляла только дробь 2/3. Вы спросите: а как же они поступали, когда надо было выразить дробь с другим числителем? Очень просто: записывали её как сумму дробей. Например, если нам нужна дробь 2/5, пишем 1/5+1/5 .

Таким образом можно было решить даже весьма сложную задачу – например, такую: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми» . Египтяне решали её следующим образом: 1/2+1/4+1/8, т.е каждый человек получит половину хлеба, четвертушку и восьмушку, следовательно – надо четыре хлеба разрезать на две части, два – на четыре части, и один – на восемь частей.

Правда, такая система была не особенно удобна: существовали специальные таблицы, где все дроби были даны как сумма долей, и эти таблицы надо было выучить.

Конечно, в Древнем Египте дроби записывали не так – для этого существовал специальный знак, имеющий форму овала.

Написание дробей, похожее на наше, появилось в Древней Греции – его ввёл древнегреческий математик Диофант, правда, он писал дроби «наоборот»: над чертой – знаменатель, а числитель – под чертой. Современное написание дроби – сверху числитель, снизу знаменатель – возникло только в XVI в.

Впрочем, основу действий с дробями греки всё-таки позаимствовали у вавилонян, т.е. она шестидесятиричной. В таком виде и переняла её средневековая Европа. Пользовались ею главным образом астрономы, и она благополучно просуществовала вплоть до XVI столетия.

Впрочем, ещё на рубеже XIV-XV веков появились десятичные дроби. Они были введены выдающимся персидским учёным, трудившимся вместе с самим Улугбеком в Самаркандской обсерватории, Джамшидом ибн Мас‘уд ибн Махмуд Гияс ад-Дин ал-Каши. В Европу эти дроби «проникли» уже в XVI веке стараниями голландского купца Симона Стевина. Десятичные дроби оказались несравненно более удобными для вычислений, чем шестидесятиричные, и быстро вытеснили их.

Что же касается дробей, которые мы называем обыкновенными, они тоже пришли с Востока. Действия с ними впервые описал индийский учёный Брамагупта, в мусульманских странах распространил Мухаммед Хорезмский в IX веке, а четыре века спустя итальянский математик Леонардо Пизанский, известный также как Фибоначчи, познакомил с обыкновенными дробями Европу.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три - “треть”, четыре - “четверть” и т.д.), для половины это не так - ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом “два”. Следующей дробью была треть. Эти и некоторые другие дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных 5000 лет тому назад, - древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.
И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3, не совпадающие с обозначениями для других дробей.

Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, т.е. дробей вида 1/n.

Единственным исключением была дробь 2/3. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Иногда это бывало удобно. В папирусе, написанном египетским писцом Ахмесом, есть задача : разделить семь хлебов между восемью людьми. Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется сделать 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб - на 8 частей (всего 17 разрезов).

Но складывать записанные в виде долей дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби вида 2/n, от 2/5 до 2/99, записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление целых чисел. Вот, например, как делили 5 на 21:

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но при умножении приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением.

Совсем иным путем пошли вавилоняне. Дело в том, что система счисления в Вавилоне была шестидесятеричной - каждая единица следующего разряда была в 60 раз больше предыдущей. Например, запись 14” 42" 38 означала число 14 · 602 + 42 · 60 + 38, т.е. в нашей записи числа 52?958 (только вавилоняне пользовались не нашими цифрами, а другими обозначениями, составленными из клиньев). Поэтому и дроби были у вавилонян не десятичными, а шестидесятеричными. По сути дела, мы и сейчас пользуемся такими дробями в обозначениях времени и величин углов. Например, время 3 ч 17 мин. 28 с можно записать и так: 3,17"28" ч (читается 3 целых, 17 шестидесятых 28 три тысячи шестисотых часа). Вместо слов “шестидесятые доли”, “три тысячи шестисотые доли” говорили короче: “первые малые доли”, “вторые малые доли”. От этого и произошли наши слова минута (по латыни - меньшая) и секунда (по латыни - вторая). Так что вавилонский способ обозначения дробей сохранил свое значение до сих пор.

Не все дроби можно изобразить в виде конечных шестидесятеричных, как и не все дроби записываются в виде конечных десятичных. Например, дроби вида 1/7, 1/11, 1/13 нельзя записать в шестидесятеричной форме. Но их можно с любой степенью точности заменить шестидесятеричными дробями. Так вавилоняне и поступали.

Поэтому в 1585 году голландский математик и инженер Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но постепенно перешли к современной записи. Еще за полтора столетия до Стевина десятичные дроби ввел работавший в Самаркандской обсерватории Улугбека астроном ал-Каши, но его работа осталась неизвестной европейским математикам.

Сейчас в ЭВМ, как вы, конечно, знаете, используют двоичные дроби. Они имеют вид 0,101101. Любопытно, что двоичными дробями пользовались, по сути дела, в Древней Руси, где были такие дроби, как половина, четь, пол-чети, пол-пол-чети и т.д. .

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении единицы измерения веса асса на 12 долей. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и т.п. сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел 5 унций книги.

При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Просто говорилось, что пройдено 7/12 пути или прочитано 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят “он скрупулезно изучил этот вопрос”. Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово “скрупулезно” от римского названия 1/288 асса - скрипулус. В ходу были и такие названия: семис - половина асса, секстанc - шестая его доля, семиунция - полунции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (двух третей асса) на сескунцию (3/2 унции, т.е. 1/8 асса) получается унция. При этом они хорошо понимали, что умножают не сами веса (умножать вес на вес смысла не имеет), а выражающие эти веса дроби. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.

Так что ту роль, которую в Древнем Вавилоне играло число 60, а в Древней Руси - число 2, в Древнем Риме играло число 12 - римская система дробей и мер была двенадцатеричной (хотя числа они записывали по десятичной системе, только другим образом, чем это делаем мы). Из-за того, что числа вида 1/10n не выражаются в форме конечных двенадцатеричных дробей, римляне не умели представлять результат деления на 10, 100 и т.д. дробью. Например, один римский математик, деля 1001 асса на 100, сначала получил 10 ассов, потом раздробил асс на унции и т.д., но от остатка, естественно, не избавился.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами.
С дробями они предоставляли возиться купцам, ремесленникам, а также землемерам, астрономам и механикам. Но старая пословица говорит: “Гони природу в дверь, она влетит в окно”. Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали, так сказать, “с заднего хода”. Кроме арифметики и геометрии, в греческую математику входила... музыка. Музыкой греки называли ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Почему такое странное название? Дело в том, что греки создали и научную теорию музыки. Они знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже, “толще” получается звук, который она издает. Они знали, что короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали “согласно”, приятно для уха, длина звучащих частей их должна быть в определенном отношении. Например, чтобы высоты звуков, издаваемых двумя струнами, различались на октаву, нужно, чтобы их длины относились как 1:2. Подобным же образом квинте соответствует отношение 2:3, кварте - отношение 3:4 и т.д. Поэтому учение об отношениях, о дробях и связывалось у греков с музыкой.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Литература

1. Виленкин Н.Я. Из истории дробей. / Квант, № 5/1987.

2. Древнеегипетская задача. / “В мир информатики” № 66 (“Информатика” № 1/2006).

3. Системы счисления. / “В мир информатики” № 90, 93 (“Информатика” № 9, 17/2007).

4. Абак в России. / “В мир информатики” № 69, 71 (“Информатика” № 4, 6/2006).

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей 1/3 и 2/3 , не совпадавшие с обозначениями для других дробей.

Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была, как мы сказали дробь 2/3. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача:
"Разделить 7 хлебов между 8 людьми".
Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов.

А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида 2/n. А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от 2/5 до 2/99 записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли и деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Еще сложнее обстояло дело с делением. Совсем иным путем пошли вавилоняне. Они работали только с шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 60 2 , 60 3 и т. д., то такие дроби, как 1/7, нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Так как система счисления у вавилонян была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел.

Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уж совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но постепенно перешли к современной записи. Сейчас ЭВМ используют двоичные дроби, которые когда-то применяли и на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и т. д.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги.

А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.

Из-за того что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100, римляне затруднялись делить на 10, 100 и т. д. При делении 1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асе на унции и т. д. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должника лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не "лихва составит 16 сотых суммы долга", а "на каждые 100 сестерциев долга заплатишь 16 сестерциев лихвы". И сказано то же самое, и дробей использовать не пришлось! Так как слова "на сто" звучали по-латыни "про центум", то сотую часть и стали называть процентом. И хотя теперь дроби, а особенно десятичные дроби, известны всем, проценты все-таки применяются и в финансовых расчетах, и в планировании, то есть в различных областях человеческой деятельности. А раньше применяли еще и промилли - так называли тысячные доли (по-латыни "про милле" - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %, промилли обозначают % о.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие ученые считали, что математика должна заниматься только целыми числами. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому "черному люду". Но старая пословица гласит: "Гони природу в дверь - она влетит в окно". Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали "с заднего хода". Кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издает, а короткая струна издает высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали "согласно", приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть в определенном отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель - снизу и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Слайд 3

Описание слайда:

Слайд 4

Описание слайда:

Запись дробей в Египте Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида 1/n. Например, вместо 8/15 они писали 1/3 + 1/5. Единственным исключением была дробь 2/3. В папирусе Ахмеса есть задача: "Разделить 7 хлебов между 8 людьми". Если резать каждый хлеб на 8 частей, придется провести 49 разрезов. А по-египетски эта задача решалась так. Дробь 7/8 записывали в виде долей: 1/2 + 1/4 + 1/8. Значит, каждому человеку надо дать полхлеба, четверть хлеба и восьмушку хлеба; поэтому четыре хлеба разрезаем пополам, два хлеба - на 4 части и один хлеб - на 8 долей, после чего каждому даем его часть.

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Вавилон Совсем иным путем пошли вавилоняне. Они работали только с шестидесятеричными дробями. Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 602, 603 и т. д., то такие дроби, как 1/7, 1/11,1/13 нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Мы и сейчас пользуемся такими дробями в обозначениях времени и величин углов. Например, время 3ч.17мин.28с. можно записать и так: 3,17"28" ч.(читается 3 целых, 17 шестидесятых 28 три тысячи шестисотых часа). Вместо слов «шестидесятые доли», «три тысячи шестисотые доли» говорили короче: «первые малые доли», «вторые малые доли». От этого и произошли слова минута (по латыни – меньшая) и секунда (от латыни – вторая). Вавилонский способ обозначения дробей сохранил свое значение и до сих пор. Так как система счисления у вавилонян была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел.

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Описание слайда:

Римская система дробей и мер была двенадцатеричной. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". Римская система дробей и мер была двенадцатеричной. Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулезно изучил этот вопрос". Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулезно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис" - половина асса, "секстане" - шестая его доля, "семиунция" - полунции, то есть 1/24 асса, и т. д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твердо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (3/2 унции, то есть 1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из них дошли до нас.

Слайд 9

Описание слайда:

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Предшественниками десятичных дробей являлись шестидесятеричные дроби древних вавилонян. Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в 12, 13, 14 веках.

Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик ал-Уклисиди в X веке. Свои мысли по этому поводу он выразил в "Книге разделов об индийской арифметике".

В XV веке, в Узбекистане, вблизи города Самарканда жил математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал-Каши (дата рождения неизвестна) . Он наблюдал за движением звезд, планет и Солнца, в этой работе ему необходимы были десятичные дроби. Ал-Каши написал книгу "Ключ к арифметике" (была издана в 1424 году) , в которой он показал запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Ученый пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов. Но этот труд до европейских ученых своевременно не дошел.

Примерно в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге "Математический канон" французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так 2 135436 - дробная часть и подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа.

В 1585 г. , независимо от ал-Каши, фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в своей книге "Десятая" (на французском языке "De Thiende, La Disme"). Эта маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например, число 12,761 записывалось так:

или число 0,3752 записывалось так:

Именно Стевина и считают изобретателем десятичных дробей.

Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г. , а в 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.

Современную запись, т. е. отделение целой части запятой, предложил Кеплер (1571) - (1630 гг.) .

В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.) , и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3 и читают: два точка три.