Гипербола четная или нечетная функция. Четность и нечетность функции
Четная функция.
Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x .
x выполняется равенство f (–x ) = f (x ). Знак x не влияет на знак y .
График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).
Примеры четной функции:
y = cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Пояснение:
Возьмем функцию y
= x
2 или y
= –x
2 .
При любом значении x
функция положительная. Знак x
не влияет на знак y
. График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.
Нечетная функция.
Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x .
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f (–x ) = –f (x ).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).
Примеры нечетной функции:
y = sin x
y = x 3
y = –x 3
Пояснение:
Возьмем функцию y = –x
3 .
Все значения у
в ней будут со знаком минус. То есть знак x
влияет на знак y
. Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f
(–x
) = –f
(x
).
График функции симметричен относительно начала координат. Это нечетная функция.
Свойства четной и нечетной функций:
ПРИМЕЧАНИЕ:
Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.
Периодические функции.
Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями . То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.
Функция
называется четной (нечетной), если для
любогои выполняется равенство
.
График четной
функции симметричен относительно оси
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Пример 6.2. Исследовать на четность или нечетность функции
1)
;
2)
;
3)
.
Решение .
1) Функция определена
при
.
Найдем
.
Т.е.
.
Значит, данная функция является четной.
2) Функция определена
при
Т.е.
.
Таким образом, данная функция нечетная.
3) функция определена для , т.е. для
,
.
Поэтому функция не является ни четной,
ни нечетной. Назовем ее функцией общего
вида.
3. Исследование функции на монотонность.
Функция
называется возрастающей (убывающей) на
некотором интервале, если в этом интервале
каждому большему значению аргумента
соответствует большее (меньшее) значение
функции.
Функции возрастающие (убывающие) на некотором интервале называются монотонными.
Если функция
дифференцируема на интервале
и имеет положительную (отрицательную)
производную
,
то функция
возрастает (убывает) на этом интервале.
Пример 6.3 . Найти интервалы монотонности функций
1)
;
3)
.
Решение .
1) Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем производную .
Производная равна
нулю, если
и
.
Область определения – числовая ось,
разбивается точками
,
на интервалы. Определим знак производной
в каждом интервале.
В интервале
производная отрицательна, функция на
этом интервале убывает.
В интервале
производная положительна, следовательно,
функция на этом интервале возрастает.
2) Данная функция
определена, если
или
.
Определяем знак квадратного трехчлена в каждом интервале.
Таким образом, область определения функции
Найдем производную
,
,
если
,
т.е.
,
но
.
Определим знак производной в интервалах
.
В интервале
производная отрицательна, следовательно,
функция убывает на интервале
.
В интервале
производная положительна, функция
возрастает на интервале
.
4. Исследование функции на экстремум.
Точка
называется точкой максимума (минимума)
функции
,
если существует такая окрестность точки
,
что для всех
из этой окрестности выполняется
неравенство
.
Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Если функция
в точке
имеет экстремум, то производная функции
в этой точке равна нулю или не существует
(необходимое условие существования
экстремума).
Точки, в которых производная равна нулю или не существует называются критическими.
5. Достаточные условия существования экстремума.
Правило 1
.
Если при переходе (слева направо) через
критическую точку
производная
меняет знак с «+» на «–», то в точке
функция
имеет максимум; если с «–» на «+», то
минимум; если
не меняет знак, то экстремума нет.
Правило 2
.
Пусть в точке
первая производная функции
равна нулю
,
а вторая производная существует и
отлична от нуля. Если
,
то
– точка максимума, если
,
то
– точка минимума функции.
Пример 6.4 . Исследовать на максимум и минимум функции:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение.
1) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Найдем производную
и решим уравнение
,
т.е.
.Отсюда
– критические точки.
Определим знак
производной в интервалах
,
.
При переходе через
точки
и
производная меняет знак с «–» на «+»,
поэтому по правилу 1
– точки минимума.
При переходе через
точку
производная меняет знак с «+» на «–»,
поэтому
– точка максимума.
,
.
2) Функция определена
и непрерывна в интервале
.
Найдем производную
.
Решив уравнение
,
найдем
и
– критические точки. Если знаменатель
,
т.е.
,
то производная не существует. Итак,
– третья критическая точка. Определим
знак производной в интервалах.
Следовательно,
функция имеет минимум в точке
,
максимум в точках
и
.
3) Функция определена
и непрерывна, если
,
т.е. при
.
Найдем производную
.
Найдем критические
точки:
Окрестности точек
не принадлежат области определения,
поэтому они не являются т. экстремума.
Итак, исследуем критические точки
и
.
4) Функция определена
и непрерывна на интервале
.
Используем правило 2. Найдем производную
.
Найдем критические точки:
Найдем вторую
производную
и определим ее знак в точках
В точках
функция имеет минимум.
В точках
функция имеет максимум.
Определение
1. Функцияназываетсячетной
(нечетной
),
если вместе с каждым значением переменной
значение –х
также принадлежит
и выполняется равенство
Таким образом, функция может быть четной
или нечетной только тогда, когда ее
область определения симметрична
относительно начала координат на
числовой прямой (числа х
и –х
одновременно принадлежат
).
Например, функция
не является четной и нечетной, так как
ее область определения
не симметрична относительно начала
координат.
Функция
четная, так как
симметрична относительно начала
координат и.
Функция
нечетная, так как
и
.
Функция
не является четной и нечетной, так как
хотя
и симметрична относительно начала
координат, равенства (11.1) не
выполняются. Например,.
График четной функции симметричен
относительно оси Оу
, так как если
точка
тоже принадлежит графику. График нечетной
функции симметричен относительно начала
координат, так как если
принадлежит графику, то и точка
тоже принадлежит графику.
При доказательстве четности или нечетности функции бывают полезны следующие утверждения.
Теорема 1. а) Сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная).
б) Произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная.
в) Произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная.
г) Если f
– четная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
,
то функция
–
четная.
д) Если f
– нечетная
функция на множествеХ
, а функцияg
определена на
множестве
и четная (нечетная), то функция
–
четная (нечетная).
Доказательство . Докажем, например, б) и г).
б) Пусть
и
–
четные функции. Тогда,
поэтому.
Аналогично рассматривается случай
нечетных функций
и
.
г) Пусть f – четная функция. Тогда.
Остальные утверждения теоремы доказываются аналогично. Теорема доказана.
Теорема
2. Любую функцию
,
заданную на множествеХ
, симметричном
относительно начала координат, можно
представить в виде суммы четной и
нечетной функций.
Доказательство
. Функцию
можно записать в виде
.
Функция
– четная, так как
,
а функция
– нечетная, поскольку.
Таким образом,
,
где
–
четная, а
–
нечетная функции. Теорема доказана.
Определение
2. Функция
называетсяпериодической
, если
существует число
,
такое, что при любом
числа
и
также
принадлежат области определения
и выполняются равенства
Такое число T
называетсяпериодом
функции
.
Из определения 1 следует, что если Т
– период функции
,
то и число –Т
тоже
является
периодом функции
(так
как при заменеТ
на –Т
равенство
сохраняется). С помощью метода
математической индукции можно показать,
что еслиТ
– период функцииf
,
то и
,
тоже является периодом. Отсюда следует,
что если функция имеет период, то она
имеет бесконечно много периодов.
Определение 3. Наименьший из положительных периодов функции называется ееосновным периодом.
Теорема 3. ЕслиТ – основной период функцииf , то остальные периоды кратны ему.
Доказательство
. Предположим
противное, то есть что существует период
функцииf
(
>0),
не кратныйТ
. Тогда, разделив
наТ
с остатком, получим
,
где
.
Поэтому
то есть
– период функцииf
,
причем
,
а это противоречит тому, чтоТ
–
основной период функцииf
.
Из полученного противоречия следует
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Хорошо известно, что тригонометрические
функции являются периодическими.
Основной период
и
равен
,
и
.
Найдем период функции
.
Пусть
- период этой функции. Тогда
(так как
.
илиилиили
.
Значение T
, определяемое
из первого равенства, не может быть
периодом, так как зависит отх
, т.е.
является функцией отх
, а не постоянным
числом. Период определяется из второго
равенства:
.
Периодов бесконечно много, при
наименьший
положительный период получается при
:
.
Это – основной период функции
.
Примером более сложной периодической функции является функция Дирихле
Заметим, что если T
–
рациональное число, то
и
являются рациональными числами при
рациональномх
и иррациональными
при иррациональномх
. Поэтому
при любом рациональном числе T . Следовательно, любое рациональное числоT является периодом функции Дирихле. Ясно, что основного периода у этой функции нет, так как есть положительные рациональные числа, сколь угодно близкие к нулю (например, рациональное числоможно сделать выборомn сколь угодно близким к нулю).
Теорема
4. Если функцияf
задана на множествеХ
и имеет
периодТ
, а функцияg
задана на множестве
,
то сложная функция
тоже имеет периодТ
.
Доказательство . Имеем, поэтому
то есть утверждение теоремы доказано.
Например, так как cos
x
имеет период
,
то и функции
имеют период
.
Определение 4. Функции, не являющиеся периодическими, называютсянепериодическими .
Функция - это одно из важнейших математических понятий. Функция - зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу - Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x
(переменной x
), при которых функция y = f(x)
определена.
Область значений функции - это множество всех действительных значений y
, которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a
принадлежит области определения, то точка -a
также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x
f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция
обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x
, принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T - это период функции.
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.
Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.
Рассмотри подробнее свойство четности.
Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).
График четной функции
Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.
Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.
Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.
На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.
График нечетной функции
Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно точки О - начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.
Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.
На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.
