Гессиан функции. Второй способ (с помощью собственных значений матрицы Гессе)

Параметры с малыми значениями вторых производных обнуляют. Анализ чувствительности имеет большую вычислительную сложность и требует много дополнительной памяти.

Соотношения (1.4) и (1.6) определяют знаки главных миноров матрицы Гессе для нашей функции и тем самым являются достаточным условием неположительной определенности соответствующей квадратичной формы (1.3). Поэтому для вогнутости линейно однородных функций с двумя ресурсами условие (1.4) достаточно.

Матрица Я, как уже говорилось, называется матрицей Гессе (или гессианом).

При более последовательном подходе для улучшения процесса обучения можно использовать информацию о производных второго порядка от функции невязки. Соответствующие методы оптимизации называются квадратичными. Вся указанная информация собрана в матрице гессиана Н, имеющей размеры Nw х Nw, где Nw - число весов. Эта матрица содержит информацию о том, как изменяется градиент при малых смещениях по различным направлениям в пространстве весов. Прямое вычисление матрицы требует большого времени, поэтому разработаны методы, позволяющие избежать вычисления и хранения матрицы (спуск по сопряженному градиенту, масштабированный метод сопряженных градиентов (см. ), RBa kProp (см. ), квази-ньютоновский метод, метод Левенбер-га-Маркара).

Первое уравнение (4.17) показывает, как изменится выпуск при увеличении цены на продукцию фирмы. Поскольку матрица Гесса Н отрицательно определена, то и матрица Н"1 также отрицательно определена, поэтому

Отметим, что из факта существования функции Q в силу симметрии матрицы вторых производных (матрицы Гессе) для дважды дифференцируемой фунции нескольких переменных следуют равенства, связывающие чувствительности оценок к изменению запасов ресур-

Кроме того, матрица Гессе вторых производных этой функции по С должна быть при С = 0 отрицательно определенной.

Рассмотрим изменение матрицы Гессе функции / (С) при ее монотонном преобразовании . Предварительно запишем составляющие градиента в точке

Чтобы функция FQ() была выпукла, достаточно, чтобы матрица Т = Tij была отрицательно определенной. Первые слагаемые в (9.108) отличаются от элементов 7 j матрицы Гессе исходной задачи неотрицательным множителем, так как функция FQ монотонно возрастающая. Если вторые слагаемые в этих выражениях равны нулю, то вогнутой функции достижимости исходной задачи будет соответствовать вогнутость и FQ().

Таким образом, матрица Гессе для функции достижимости преобразованной задачи представляет собой сумму

Первое из них представляет собой п уравнений относительно составляющих вектора А, а второе - условие отрицательной определенности квадратичной формы , которое проверяется по критерию Сильвестра применительно к матрице Гессе функции R .

Здесь и ниже через R f0 и R i обозначены частные производные R по соответствующим переменным. Условиям отрицательной определенности должна удовлетворять матрица Гессе функции R с элементами (см. (9.125))

Вторая часть составляет теоретическое ядро книги. Она полностью посвящена строгому изложению теории дифференциалов и основ анализа, сформулированных на языке дифференциалов. Вводятся понятия первого и второго дифференциалов, приводится правило идентификации для матриц Якоби и Гессе. Завершает главу параграф, посвященный теории оптимизации при наличии ограничений, изложенный в терминах дифференциалов.

Четвертая часть, посвященная неравенствам, возникла благодаря нашему убеждению, что эконометристы должны легко оперировать неравенствами, такими как неравенство Коши-Буняковского (Шварца), неравенство Мин-ковского и их обобщения, а также владеть мощными результатами, например теоремой отделимости Пуанкаре. В какой-то мере глава является и историей нашего разочарования. Когда мы начинали писать эту книгу, у нас была амбициозная идея - вывести все неравенства методами матричного дифференциального исчисления . В конце концов , каждое неравенство может быть представлено как решение некоторой оптимизационной задачи . Однако эта идея оказалась иллюзией, поскольку матрица Гессе в большинстве случаев оказывается вырожденной в точке экстремума.

Обозначения. В книге мы используем, в основном, стандартные обозначения, за исключением того что векторы обозначены простым (не полужирным) курсивом. Специальные символы используются для обозначения производной (матрицы) D и матрицы Гессе Н. Оператор дифференцирования обозначается как d. Полный список всех символов, использованных в тексте, содержится в Указателе обозначений в конце книги.

В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций . Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции.

Ранее мы определили матрицу, которая содержит все частные производные первого порядка. Это была матрица Якоби . Теперь определим матрицу (называемую матрицей Гессе), которая содержит все частные производные второго порядка. Дадим определение этой матрицы сначала для вещественных, а затем для векторных функций.

Пусть / S -> Rm, S С Rn есть

Описывающая поведение функции во втором порядке.

Для функции texvc , дважды дифференцируемой в точке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x\in \R^n

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H(x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H(z) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} z_i \overline{z}_j

где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a_{ij}=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j (или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): a_{ij}=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline{z}_j ) и функция Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f задана на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): n -мерном вещественном пространстве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{R}^n (или комплексном пространстве Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathbb{C}^n ) с координатами Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): x_1,\ldots,x_n (или Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): z_1,\ldots,z_n ). В обоих случаях гессиан - квадратичная форма, заданная на касательном пространстве , не меняющаяся при линейных преобразованиях переменных. Гессианом также часто называют и определитель матрицы Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (a_{ij}), см. ниже.

Матрица Гессе

Матрица этой квадратичной формы образована вторыми частными производными функции. Если все производные существуют, то

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}

Матрицы Гессе используются в задачах оптимизации методом Ньютона . Полное вычисление матрицы Гессе может быть затруднительно, поэтому были разработаны квазиньютоновские алгоритмы, основанные на приближённых выражениях для матрицы Гессе. Наиболее известный из них - алгоритм Бройдена - Флетчера - Гольдфарба - Шанно .

Симметрия матрицы Гессе

Смешанные производные функции f - это элементы матрицы Гессе, стоящие не на главной диагонали. Если они непрерывны, то порядок дифференцирования не важен:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac {\partial}{\partial x_i} \left(\frac { \partial f }{ \partial x_j} \right) = \frac {\partial}{\partial x_j} \left(\frac { \partial f }{ \partial x_i} \right)

Это можно также записать как

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): f_{x_i x_j} = f_{x_j x_i}, \quad \forall i,j \in \{1,\ldots, n\}.

В этом случае матрица Гессе симметрична .

Критические точки функции

История

См. также

Критерий Сильвестра - критерий положительной / отрицательной определённости квадратной матрицы

Напишите отзыв о статье "Гессиан функции"

Примечания

Ссылки

Камынин Л.И. Математический анализ. Т. 1, 2. - 2001.
Кудрявцев Л.Д «Краткий курс математического анализа. Т.2. Дифференциальное и интегральное исчисления функций многих переменных. Гармонический анализ», ФИЗМАТЛИТ, 2002, - 424 с. - ISBN 5-9221-0185-4. Или любое другое издание.
Голубицкий М., Гийемин В. Устойчивые отображения и их особенности, - М.: Мир, 1977.

Просмотр этого шаблона

Дифференциальное исчисление

Основное

Частные виды

Дифференциальные операторы
(в различных координатах)

Первого порядка

Второго порядка

Высших порядков

Связанные темы

Отрывок, характеризующий Гессиан функции

У меня так же, как и у Стеллы, очень болела душа, ибо это был первый раз, когда я наяву увидала, как по собственному желанию в вечность ушли смелые и очень добрые люди... мои друзья. И, казалось, в моём раненом детском сердце навсегда поселилась печаль... Но я также уже понимала, что, как бы я ни страдала, и как бы я этого ни желала, ничто не вернёт их обратно... Стелла была права – нельзя было побеждать такой ценой... Но это был их собственный выбор, и отказать им в этом мы не имели никакого права. А попробовать переубедить – у нас просто не хватило на это времени... Но живым приходилось жить, иначе вся эта невосполнимая жертва оказалась бы напрасной. А вот именно этого-то допускать было никак нельзя.
– Что будем с делать с ними? – судорожно вздохнув, показала на сбившихся в кучку малышей, Стелла. – Оставлять здесь никак нельзя.
Я не успела ответить, как прозвучал спокойный и очень грустный голос:
– Я с ними останусь, если вы, конечно, мне позволите.
Мы дружно подскочили и обернулись – это говорил спасённый Марией человек... А мы как-то о нём совершенно забыли.
– Как вы себя чувствуете? – как можно приветливее спросила я.
Я честно не желала зла этому несчастному, спасённому такой дорогой ценой незнакомцу. Это была не его вина, и мы со Стеллой прекрасно это понимали. Но страшная горечь потери пока ещё застилала мне гневом глаза, и, хотя я знала, что по отношению к нему это очень и очень несправедливо, я никак не могла собраться и вытолкнуть из себя эту жуткую боль, оставляя её «на потом», когда буду совсем одна, и, закрывшись «в своём углу», смогу дать волю горьким и очень тяжёлым слезам... А ещё я очень боялась, что незнакомец как-то почувствует моё «неприятие», и таким образом его освобождение потеряет ту важность и красоту победы над злом, во имя которой погибли мои друзья... Поэтому я постаралась из последних сил собраться и, как можно искреннее улыбаясь, ждала ответ на свой вопрос.
Мужчина печально осматривался вокруг, видимо не совсем понимая, что же здесь такое произошло, и что вообще происходило всё это время с ним самим...
– Ну и где же я?.. – охрипшим от волнения голосом, тихо спросил он. – Что это за место, такое ужасное? Это не похоже на то, что я помню... Кто вы?
– Мы – друзья. И вы совершенно правы – это не очень приятное место... А чуть дальше места вообще до дикости страшные. Здесь жил наш друг, он погиб...
– Мне жаль, малые. Как погиб ваш друг?
– Вы убили его, – грустно прошептала Стелла.
Я застыла, уставившись на свою подружку... Это говорила не та, хорошо знакомая мне, «солнечная» Стелла, которая «в обязательном порядке» всех жалела, и никогда бы не заставила никого страдать!.. Но, видимо, боль потери, как и у меня, вызвала у неё неосознанное чувство злости «на всех и вся», и малышка пока ещё не в состоянии была это в себе контролировать.
– Я?!.. – воскликнул незнакомец. – Но это не может быть правдой! Я никогда никого не убивал!..
Мы чувствовали, что он говорит чистую правду, и знали, что не имеем права перекладывать на него чужую вину. Поэтому, даже не сговариваясь, мы дружно заулыбались и тут же постарались быстренько объяснить, что же здесь такое по-настоящему произошло.
Человек долгое время находился в состоянии абсолютного шока... Видимо, всё услышанное звучало для него дико, и уж никак не совпадало с тем, каким он по-настоящему был, и как относился к такому жуткому, не помещающемуся в нормальные человеческие рамки, злу...
– Как же я смогу возместить всё это?!.. Ведь никак не смогу? И как же с этим жить?!.. – он схватился за голову... – Скольких я убил, скажите!.. Кто-нибудь может это сказать? А ваши друзья? Почему они пошли на такое? Ну, почему?!!!..
– Чтобы вы смогли жить, как должны... Как хотели... А не так, как хотелось кому-то... Чтобы убить Зло, которое убивало других. Потому, наверное... – грустно сказала Стелла.

Размер: px

Начинать показ со страницы:

Транскрипт

1 Определение. Точка 0 называется точкой локального максимума функции окрестность точки 0, что для всех из этой окрестности f f 0. Определение. Точка 0 называется точкой локального минимума функции окрестность точки 0, что для всех из этой окрестности f f 0. f f, если существует такая, если существует такая Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума - локальным минимумом данной функции. Максимум и минимум функции называются её локальными экстремумами. Термин "локальный экстремум" обусловлен тем, что введённое понятие экстремума связано с окрестностью данной точки в области определения функции, а не со всей этой областью. Функция может иметь несколько экстремумов, причём минимум в одной точке может быть больше максимума в другой. Обычно в литературе используют термины "экстремум", "максимум", "минимум" для обозначения строгого локального экстремума, строгого локального максимума, строгого локального минимума. Определение. Точка 0 называется точкой строгого локального максимума функции такая окрестность точки 0, что для всех из этой окрестности f f 0. f, если существует Определение. Точка 0 называется точкой строгого локального минимума функции такая окрестность точки 0, что для всех из этой окрестности f f 0. Или, точка 0 называется точкой строгого локального минимума функции 0: 0 f f. 0 0 f, если f, если существует Определение. Наибольшее (наименьшее) значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка. Матрица, составленная из вторых производных функции, называется матрицей Гессе: f f n d f T d d f f... n 1 n (гессианом условимся называть определитель матрицы Гессе; аналогично: матрица, составленная из первых производных функции, называется матрицей Якоби, а её определитель называется якобианом. Литература: 1) Малугин В.А. "Математический анализ, курс лекций (математика для экономистов)", 005, стр. 105 (понятие экстремума функции);) Малугин В.А. "Математический анализ, задачи и упражнения (математика для экономистов)", 006, стр. 13 (глобальный экстремум; необходимое условие экстремума, 1-е и -е достаточное условие экстремума); 3) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 005, стр. 0 (экстремум функции одной переменной); 4) Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. "Линейная алгебра в примерах и задачах", 005, стр. 6. 1

2 Краткое оформление решения задачи. Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть в стационарной точке 0, 0 окрестности функция f, Вычислим в точке 0, 0 значения A f, B f C f Обозначим и некоторой её имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. A B AC B B C, тогда: 1) если 0, то функция f, в точке, минимум, если A 0 ;) если 0, то функция f, в точке 0, 0, В случае 0 экстремум в точке исследования. 0 0 имеет экстремум: максимум, если A 0 ; экстремума не имеет. может быть, может не быть. Необходимы дополнительные 1) Исследовать на экстремум функцию z 50 0, 0, z z 0 Находим стационарные точки: z 0 z Найдена стационарная точка P 5 ;. Проверим выполнение достаточных условий наличия экстремума в данной точке. 50 A z B z 1 0 C z 40 3

3 В точке P 5 ; : A 450 B 1 C в точке P 5 ; минимум, т.к. A 0 0 Ответ: функция имеет минимум z ;. Значение функции в этой точке z ;) Найти экстремумы функции z 1 z z z z 0 z Заметим, что при 0 решением является множество точек с координатами R (в пространстве это 0 прямая, параллельная оси O). Следовательно, среди точек с 0 стационарных точек нет. z 0 Исключая точки с 0 из рассмотрения, получаем: P ; P ; 4 1 3

4 Найдены две стационарные точки P 1 01 ; и P 1 1 ; ; проверим их на соответствие достаточному 4 условию наличия экстремумов в данных точках. A z B z 43 C z 6 В точке P 1 01 ; : A B 1 A0, B1, C 0, 10 B C 1 0 Поскольку 0, то в данной точке экстремума нет. В точке P 1 1 ; 4 A10, B14, C 38, A B B C A 0 Поскольку 0, то в данной точке функция имеет максимум z 1 ; Ответ: функция имеет максимум z 1 1 ; Сделаем иллюстрацию в Mathcad 14: - найденный максимум отмечен красной точкой; прямая чёрных прямых происходит в точке P 1 01 ;. 0 z 0 выделена бордовым цветом; пересечение 4

5 3 3) Исследовать функцию на экстремум z z z Находим стационарные точки: z 0 z окружность в пересечении с гиперболой даст четыре точки: Найдены четыре стационарных точки P1 ; 1, P 1;, P 3 1 ;, P 4 ; выполнение достаточных условий наличия экстремума в данных точках. A z B z C z 61 6 В точке P ; 1 1: A 1 0 B 6 C 1 A B B C Проверим 5

6 A максимум, т.к. 0 - в точке P ; В точке P ; 1: A 60 B 1 C 6 A B B C в точке P ; 1 нет экстремума, т.к. 0. В точке P 3 1 ; : A 6 0 B 1 C 6 A B B C в точке P 3 1 ; нет экстремума, т.к. 0. В точке P 4 1 ; : A 1 0 B 6 C 1 A B B C 6 1 P 4 - в точке; A 0 1 минимум, т.к. 0 z Значение функции в этой точке;. Значение функции в этой точке z ; Ответ: функция имеет минимум z 1 ; 8 и максимум; z Литература: 1) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 005, стр (экстремум функции двух переменных). Решение задачи с использованием матрицы Гессе. 4) Найти экстремумы функции двух переменных, 3 z 3 61 Определим стационарные точки из условия z 0 z 0 (необходимое условие существования экстремума) 6

7 z z Точки P1 1 ; 1 и P ; стационарные точки; проверим их на соответствие достаточному условию наличия экстремума. Для этого из вторых производных функции составим матрицу Гессе: z z H z z z 6 z H 6 1 z 1 Продолжение решения через анализ угловых миноров матрицы Гессе Рассмотрим поведение матрицы Гессе в найденных стационарных точках. 6 6 P11; 1: HP1 6 1 ; угловые миноры: M1 6 0, M Поскольку M 0, то в точке P 1 экстремума нет. P ; угловые миноры: M1 6 0, M 4 ; : HP M1 0 Поскольку M 0, то в точке P функция имеет локальный минимум z ;

8 Теорема (достаточные условия экстремума). Если в некоторой точке выполнены необходимые условия экстремума и все частные производные -го порядка непрерывны, то существование экстремума в этой точке определяется значениями угловых миноров матрицы вторых производных (матрицы Гессе): M1 0, M 0 - локальный минимум; M1 0, M 0 - локальный максимум; M 0 - экстремума нет. Если M1 0 или M 0 экстремум в исследуемой точке может быть, может не быть - необходимы дополнительные исследования. u u, z рассматривается При исследовании на локальный экстремум функции трёх переменных матрица u u u z u u u z uz uz u zz и изучаются её угловые миноры. Литература: 1) Малугин В.А. "Линейная алгебра. Задачи и упражнения", 006, стр. 149 (локальный экстремум функции);) Письменный Д.Т. "Конспект лекций по высшей математике", 005, стр (экстремум функции двух переменных); 3) Пяткова В.Б., Рузаков В.Я., Турова О.Е. "Математика, 3-й семестр", методичка УрГГУ (горный институт, Екатеринбург), 005, стр. 3 (схема исследования функции двух переменных на экстремумы). Продолжение решения через анализ собственных значений матрицы Гессе Найдём собственные значения матрицы Гессе в каждой стационарной точке. 6 6 P11; 1: HP Из уравнения 0 находим 1, Поскольку собственные значения матрицы 6 1 Гессе разных знаков, то в точке P 1 экстремума нет. P Из уравнения; : HP находим 1, Поскольку все собственные значения матрицы Гессе положительные, то в точке P локальный минимум z ; 4 3. Находим собственные значения матрицы Гессе в каждой из стационарных точек Если все собственные значения * положительные: i 0, i 1,..., n, то в точке локальный минимум; отрицательные: i 0, i 1,..., n, то в точке неотрицательные: i 0, i 1,..., n, то в точке неположительные: i 0, i 1,..., n, то в точке * локальный максимум; * функции. * может быть локальный минимум; * может быть локальный максимум; * разных знаков, то в точке нет экстремума; нулевые: i 0, i 1,..., n, то требуется дополнительное исследование. 8

9 Литература: 1) Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. "Линейная алгебра в примерах и задачах", 005, стр. 530, стр. 531 (пример 9.8). 5) Найти точки экстремума функции z Определим стационарные точки функции двух переменных z, из условия z 0 z 0 (необходимое условие существования экстремума) z z Найдены три стационарные точки P 1 00 ;, P 0 ; 1 40, P 3 ; соответствие достаточному условию наличия экстремума; проверим их на При исследовании на локальный экстремум функции двух переменных z z, квадратичной формы функции относительно дифференциалов d, d - матрица Гессе z z z z и рассматривается в каждой стационарной точке P i. Если эта квадратичная форма окажется определённой, то функция z z, экстремум: а) минимум, если квадратичная форма положительно определённая; б) максимум, если квадратичная форма отрицательно определённая. Если же квадратичная форма окажется неопределённой, то в точке составляется матрица в точке P i имеет P i экстремума нет. В случаях неотрицательной определённости или неположительной определённости квадратичной формы требуется дополнительное исследование - экстремум может быть. 9

10 Матрица Гессе: H z z z z F F F F F F F (Заметим, что 80 1). Итак, H Установим знакоопределённость квадратичной формы, используя критерий Сильвестра . Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы A были положительными. Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы A квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус. Для неопределённости (знакопеременности) квадратичной формы достаточно, чтобы хотя бы один главный минор чётного порядка был отрицателен, либо два главных минора нечётного порядка имели бы разные знаки (достаточный признак неопределённости квадратичной формы). В стационарной точке P 1 00 ; : H P угловые миноры: M1 410, 41 1 M 0110, квадратичная форма знаконеопределённая, следовательно, в точке P 1 экстремума нет. В стационарной точке P ; H P: угловые миноры: M1 410, 41 1 M 0110, квадратичная форма знаконеопределённая, следовательно, в точке P экстремума нет. 10

11 В стационарной точке P ; H P: угловые миноры: M1 410, M 0 0, квадратичная форма положительно определённая, следовательно, в точке P 3 функция имеет локальный минимум z ; , Ответ: функция имеет локальный минимум; z Найдём минимум функции в Mathematica 7 (для этого придётся указать область его дислокации): Литература: 1) Аксёнов А.П. "Математика. Математический анализ", часть, 005, стр. 193 (примеры 13, 14);) Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. "Линейная алгебра в примерах и задачах", 005, стр. 530, стр. 531 (пример 9.8); 3) Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. "Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии", 007, стр) Малугин В.А. "Линейная алгебра. Курс лекций", 006, стр. 157, 164; 5) Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. "Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчёты", 008, стр. 301 (пример 10.35). 6) Исследовать функцию, F z 4 3 z z на наличие безусловных экстремумов с использованием производных первого и второго порядков, проведя анализ стационарных точек. Определим стационарные точки функции трёх переменных F, z из условия F 0 F 0 F 0 z (необходимое условие существования экстремума) F 8z F 6 Fz z 8z z 0 z 0 Точка P 000 ; ; - стационарная точка; проверим её на соответствие достаточному условию наличия экстремума. 11

12 При исследовании на локальный экстремум функции трёх переменных u u, z квадратичной формы функции относительно дифференциалов d, d, dz - матрица Гессе u u u z u u u z uz uz u zz и рассматривается в каждой стационарной точке Если эта квадратичная форма окажется определённой, то функция z z, P i. экстремум: а) минимум, если квадратичная форма положительно определённая; б) максимум, если квадратичная форма отрицательно определённая. Если же квадратичная форма окажется неопределённой, то в точке составляется матрица в точке P i имеет P i экстремума нет. В случаях неотрицательной определённости или неположительной определённости квадратичной формы требуется дополнительное исследование - экстремум может быть. Запишем матрицу Гессе: F F F z F F F H z F F F z z z F F F F 8z 8 1 z F F F z F z F z z F F (Заметим, что, Итак, 8 1 H F F z z 1, F F z z 0). Анализ знакоопределённости квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Установим знакоопределённость квадратичной формы, используя критерий Сильвестра . 1

13 Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определённой, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры её матрицы A были положительными. Для того, чтобы квадратичная форма от n переменных была отрицательно определённой, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы A квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус. Для неопределённости (знакопеременности) квадратичной формы достаточно, чтобы хотя бы один главный минор чётного порядка был отрицателен, либо два главных минора нечётного порядка имели бы разные знаки (достаточный признак неопределённости квадратичной формы). В случае, если один или более угловых миноров равны нулю, но могло выполниться одно из условий знакоопределённости, - квадратичная форма неотрицательно определённая или неположительно определённая (это условие записал для завершённости картины; требует доказательства). В найденной стационарной точке: 8 1 P000 ; ; : HP 6 0 ; 1 0 угловые миноры: M1 80, 8 M , M M1 0 Поскольку M 0 M 3 0, то в точке P функция имеет локальный минимум F ; ; Собственные значения матрицы Гессе. Установим знакоопределённость квадратичной формы, анализируя собственные значения матрицы Гессе . * Находим собственные значения матрицы Гессе в каждой из стационарных точек функции. Если все собственные значения положительные: i 0, i 1,..., n, то квадратичная форма положительно определённая; отрицательные: i 0, i 1,..., n, то квадратичная форма отрицательно определённая; неотрицательные: i 0, i 1,..., n, то квадратичная форма неотрицательно определённая; неположительные: i 0, i 1,..., n, то квадратичная форма неположительно определённая; разных знаков, то квадратичная форма неопределённая; нулевые: i 0, i 1,..., n, то квадратичная форма неотрицательно определённая или неположительно определённая [, стр. 530]. Найдём собственные значения матрицы Гессе в найденной стационарной точке. 8 1 P000 ; ; : HP 6 0 ;

14 8 1 Из уравнения или находим, 4, 855 9, как корни полинома в Mathcad: или графически в Mathcad: Поскольку все собственные значения матрицы Гессе положительные, то в точке P минимум. Второй дифференциал функции. Установим знакоопределённость квадратичной формы непосредственным образом. Квадратичная форма относительно дифференциалов - это второй дифференциал функции. Преобразуем выражение второго дифференциала функции так, чтобы явным образом установить факт его знакоопределённости . Этот подход к исследованию знакоопределённости квадратичной формы можно использовать как способ дополнительного исследования, когда критерий Сильвестра или анализ собственных значений матрицы квадратичной формы не дают результата. Достаточные условия экстремума функции n переменных Если M,..., n стационарная точка дважды дифференцируемой функции f,..., n 1 и если в некоторой окрестности этой точки второй дифференциал n f d f M 0 M 0did j i, j1 i j сохраняет знак при любых значениях d i и d j, не равных нулю одновременно, то функция в точке M 0 имеет экстремум: минимум при максимум при d f M0 0 ; d f M0 0 . 14

15 Второй дифференциал функции Ф, равен Ф Ф Ф d Ф, d d dd или, в случае функции трёх переменных Ф z, Ф Ф Ф Ф Ф Ф d Ф, z d d dz dd ddz ddz z z z Вычислим частные производные второго порядка: F F F F F F 8z 8 1 z z F F F F z z F F z z z и запишем второй дифференциал функции в точке P 000 ; ; : d F d d dz F z F F F F F F d d dz d d d dz d dz z z z 8d 6d dz d d 0d dz 1d dz 8 d 6 d dz 4d d d dz Выделим полные квадраты; для краткости записи переобозначим d как и т.д.: 8 6 z 4 z z z z z z т.е. в точке P000 ; ; : d F d dz d d d (при не равных нулю d, d, dz одновременно) - следовательно, точка P000 ; ; является точкой минимума. 15

16 Литература: 1) Аксёнов А.П. "Математика. Математический анализ", часть, 005, стр. 193 (примеры 13, 14);) Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. "Линейная алгебра в примерах и задачах", 005, стр. 530, стр. 531 (пример 9.8); 3) Бортаковский А.С., Пантелеев А.В. "Практикум по линейной алгебре и аналитической геометрии", 007, стр) Малугин В.А. "Линейная алгебра. Курс лекций", 006, стр. 157, 164; 5) Баранова Е.С., Васильева Н.В., Федотов В.П. "Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчёты", 008, стр. 301 (пример 10.35). Проверим наличие этого минимума в Mathematica 7: 16

Функции нескольких переменных (ФНП). Локальный экстремум. 1) Исследовать на локальный экстремум функцию z z e ; а) -х переменных б) 3-х переменных 3 3 3 u u z z 17 48 z. а) z e e e e 1 1 z e e Находим

ЛЕКЦИИ Лекция 1 Раздел I. ТЕОРИЯ ОПТИМИЗАЦИИ 1. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ И ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Постановка задачи поиска минимума функций содержит: целевую функцию f (x), где x = (x1,..., x

7 КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 7 ОПРЕДЕЛЕНИЕ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ Квадратичной формой переменных, называется выражение вида q a, 7 в котором коэффициенты a, не все равные нулю, удовлетворяют условиям симметричности

Нелинейная задача оптимизации. Кольцов С.Н 2014 www.linis.ru Задача безусловной оптимизации Задача оптимизации формулируется следующим образом: заданы множество Х (допустимое множество задачи) и функция

Математический анализ Раздел: Функция нескольких переменных Тема: Формула Тейлора для ФНП. Экстремумы ФНП Лектор Рожкова С.В. 1 г. 18. Формула Тейлора для ФНП Если y = раз дифференцируема в окрестности

Лекция 3 Экстремум функции нескольких переменных Пусть функция нескольких переменных u = f (x, x) определена в области D, и точка x (x, x) = принадлежит данной области Функция u = f (x, x) имеет

Лекция 9 ЭКСРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ Понятие экстремума функции многих переменных Некоторые сведения о квадратичных формах 3 Достаточные условия экстремума Понятие экстремума функции многих переменных

Глава 1 Конечномерные задачи 1 Конечномерные гладкие задачи без ограничений В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума функций одной и нескольких переменных. 1.1 Постановка задачи

Математический анализ 2.5 Лекция: Экстремумы функции нескольких переменных Доцент кафедры ВММФ Зальмеж Владимир Феликсович Рассмотрим функцию w = f (x), определённую в области D R n. Точка x 0 D называется

Практическое занятие 5 Экстремум функции многих переменных 5 Определение и необходимые условия экстремума 5 Некоторые сведения о квадратичных формах 53 Достаточные условия экстремума 5 Определение и необходимые

ЛЕКЦИЯ Экстремум функции нескольких переменных Экстремум функции нескольких переменных Необходимые и достаточные условия существования экстремума Точка M, 0) называется точкой минимума максимума) функции

РЯЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ СВ Богатова, КВ Бухенский, ИП Карасев, ГС Лукьянова ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ В СРЕДЕ MATHCAD Практикум Рязань Предисловие Общий

6 () Получаем, что HP =. Следовательно нельзя, пользуясь теоремой, ответить на вопрос об экстремуме. В данном случае стационарная точка P () ; является точкой локального ми- Δz > P O & P: z = z =. δ

1) Найти наибольшее и наименьшее значения функции 1 1 на отрезке 6. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке, надо: а) найти стационарные точки, расположенные на данном отрезке,

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана Факультет «Фундаментальные науки» Кафедра «Математическое моделирование» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

ЛЕКЦИЯ 16 ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ В КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ 1. Теорема Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы Пусть имеется n степеней свободы. q 1, q 2,

ЛЕКЦИЯ N. Скалярное поле. Производная по направлению. Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремумы функции многих переменных. Условный экстремум.. Скалярное поле. Производная по

10 Исследование функций и построение графиков 10 ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ 1 Возрастание и убывание функции 1 x (1 1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей)

) Определить собственные значения и собственные векторы матрицы 3-го порядка 6 8 2 5 2 8 3 4 Ненулевой вектор p называется собственным вектором квадратной матрицы A, если линейное преобразование с матрицей

Приложение 3 к рабочей учебной программе дисциплины МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА». Практическое занятие 1 Тема: «Установки. Инструктажи по пожарной безопасности и по технике

1) Привести уравнение кривой второго порядка x 4x y 0 к каноническому виду и найти точки пересечения её с прямой x y 0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x 4x y 0 x x 1 y 0 x 1 y 4

7. Экстремумы функций нескольких переменных 7.. Локальные экстремумы Пусть функция f(x,..., x n) определена на некотором открытом множестве D R n. Точка M D называется точкой локального максимума (локального

Достаточные условия существования решения задачи об условном экстремуме методом Лагранжа ВВ Колыбасова, НЧ Крутицкая В В Колыбасова, Н Ч Крутицкая Достаточные условия существования решения задачи об условном

1 СА Лавренченко Лекция 9 Экстремумы 1 Определения и примеры Определение 11 Говорят, что функция имеет (или достигает) абсолютный максимум в точке, если для всех из области определения Значение называется

Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 5. Исследование функций с помощью производных 1 1. Понятие о производных высших порядков Опр. Пусть дана функция f(x)

17. Условный экстремум 17.1. Обратимся к рассмотрению нахождения условного (говорят также относительного) экстремума. Задача нахождения условного экстремума состоит в поиске локальных максимумов и минимумов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» АВ Абанин, ДА Полякова ЛОКАЛЬНЫЙ

Кафедра математики и информатики Математический анализ Учебно-методический комплекс для студентов ВПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль 4 Приложения производной Составитель: доцент

Материалы к установочной лекции Вопрос 10. Квадратичные формы. Закон инерции. Условия знакоопределенности квадратичных форм. 1 Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу Лагранжа. Обозначения.

Глава Экстремумы функции двух переменных Экстремум функции двух переменных При решении многих экономических задач приходится вычислять наибольшее и наименьшее значения В качестве примера рассмотрим задачу

6. Неявные функции 6.1 Определения, предварительные сведения Зависимость одной переменной от другой (или от других) не обязательно может быть выражена при помощи так называемого явного представления, когда

1 СА Лавренченко Лекция 10 Исследование функции при помощи производных 1 Исследование функции при помощи первой производной Под интервалом мы будем подразумевать или конечный интервал, или один из следующих

Кафедра математики и информатики Элементы высшей математики Учебно-методический комплекс для студентов СПО, обучающихся с применением дистанционных технологий Модуль Дифференциальное исчисление Составитель:

Метод множителей Лагранжа Рассмотрим экстремальную задачу с ограничениями в виде равенств: найти a при условии что) =) на множестве допустимых значений описываемом системой уравнений где R: R R: R

Лекция 11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 1. Понятие условного экстремума.. Методы отыскания условного экстремума.. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области. 1. Понятие условного

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ Уравнение касательной Рассмотрим следующую задачу: требуется составить уравнение касательной l, проведенной к графику функции в точке Согласно геометрическому смыслу производной

ГЛАВА 7 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 1 Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных Опр711 Пусть М (, y), : O(М,) Рассмотрим функцию 1 = 1 ()=

Федеральное агентство по образованию МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ (МИИГАиК) О. В. Исакова Л. А. Сайкова УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО САМОСТОЯТЕЛЬНОМУ ИЗУЧЕНИЮ РАЗДЕЛА

ПРИКЛАДНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ В.В. Корнев В.В. Курдюмов В.С. Рыхлов 2 Оглавление Введение 5 1 Нелинейная оптимизация 9 1.1 Постановка задачи оптимизации. Основные понятия и определения................

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский государственный индустриальный университет»

~ 1 ~ ФУНКЦИЯ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 Функция двух переменных, область определения, способы задания и геометрический смысл. Определение: z f, называется функцией двух переменных, если каждой паре значений,

Лекция Исследование функции и построение ее графика Аннотация: Функция исследуется на монотонность, экстремум, выпуклость-вогнутость, на существование асимптот Приводится пример исследования функции, строится

1) Найти все дополнительные миноры определителя 1 9 11 0 0 0 56 18 2. Пусть дана квадратная матрица порядка n. Дополнительным минором a матрицы называется определитель на единицу меньшего M ij элемента

1. Возрастание и убывание функции. Для того чтобы дифференцируемая на интервале (ab,) функция f была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Аналогично, условие

М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

Введение Домашние контрольные работы (ДКР) по математическому анализу являются одной из основных форм текущего контроля самостоятельной работы студентов. Примерное время, необходимое для выполнения ДКР,

Тема 8 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Лекция 8.1. Функции нескольких переменных. Частные производные П л а н 1. Понятие функции двух и нескольких переменных.. Предел и непрерывность

Федеральное агентство железнодорожного транспорта Уральский государственный университет путей сообщения Э Е Поповский П П Скачков ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Типовой расчет Екатеринбург 1 Федеральное

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ Исследование поведения функции с помощью производных Интервалы монотонности. Экстремумы Определение. Промежутки, на которых функция f (x) возрастает (убывает),

И) Даны линейные подпространства U и W, порождённые системами векторов: a ; ; 3; a a b b 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3; 3; ; Найти базисы подпространств U а) Базис подпространства U W. W и U W. Множество всех

Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МАМИ» Кафедра «Высшая математика» МА Бодунов, СИ Бородина, ВВ Показеев, БЭ Теуш ОИ Ткаченко, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Исследование функций и построение графиков.) Исследовать методами дифференциального исчисления функцию f и построить её график. Область определения функции: Dy R\. Функция общего вида: y y y Критические

ОГЛАВЛЕНИЕ Раздел I. УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИЙ... 6 Глава. Общая постановка задачи оптимизации и основные положения... 6 Глава. Необходимые и достаточные условия безусловного экстремума... Глава. Необходимые

Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра нелинейного анализа и аналитической экономики В. И. БАХТИН, И. А. ИВАНИШКО, А. В. ЛЕБЕДЕВ, О. И. ПИНДРИК МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ

Московский Государственный Технический Университет имени НЭ Баумана Дубограй ИВ Скуднева ОВ Левина А И Функции нескольких переменных методические указания для подготовки к аттестации Москва Издательство

Глава ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Введение В этой главе мы будем рассматривать задачи отыскания экстремумов (максимумов или минимумов) функционалов Сразу отметим, что такие задачи относятся к числу

2 Конечномерные гладкие задачи с равенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств. 2.1 Постановка задачи Пусть

Санкт-Петербургский государственный университет Кафедра математического анализа МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к проведению практических занятий по математическому анализу Часть Задача на локальный экстремум функции

Вопросы для подготовки к экзамену Тема. Линейная алгебра 1. Что такое определитель? При каких преобразованиях величина определителя не меняется? 2. В каких случаях определитель равен нулю? Что следует

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 11 Экстремум функции двух переменных Максимум или минимум функции называется её экстремумом Точка M 0, в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума Если дифференцируемая

Лекция 1 6 Достаточные условия экстремума в задаче с закрепленными концами Вернемся к задаче с закрепленными концами: найти минимум функционала (,) V = F x x при условии, что = A, = B Необходимое

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести

Матрица G (х ) размерностью(n xn ) считается положительно определенной, если все ее собственные значения m 1 , m 2 ,…, m n положительны, т.е. m j > 0 для всех j = 1, 2,…, n .

Матрица G (х ) считается отрицательно определенной, если собственные значения отрицательны, т.е. m j < 0 для всех j = 1, 2,…, n .

Если среди собственных значений G встречаются и положительные и отрицательные, то матрица является знакопеременной, а исследуемая функция – невыпуклой.

Для определения собственных значений необходимо решить характеристическое уравнение:

где I – квадратная единичная матрица; det – знак определителя.

Матрица отличается от матрицы Гессе тем, что по диагонали располагаются члены вида .

Так для двухмерной функции f (x 1 , x 2)характеристическое уравнение будет иметь вид:

(4.10)

Собствееные значения m 1 и m 2 есть корни обыкновенного квадратного уравнения m 2 + b m + c = 0, образуются после раскрытия определителя.

Для примера возьмем функции двух переменных:

f (x )= 2 – 2x 1 –2x 2 +x 1 2 +x 2 2 – x 1 x 2

Координаты экстремальной точки x * определяются решением системы уравнений

И равны x 1 * = 2, x 2 * = 2

Гессиан . После решения характеристического уравнения , т.е. квадратного уравнения (2 – m) 2 – 1 = 0 получены собственные значения m 1 = 3, m 2 = 1, т.е. матрица G является положительно определенной. Следовательно, функция f (x ) является выпуклой и в экстремальной точке х * = (2,2) принимает минимальное значение f (x *) = –2.

Оба способа проверки достаточных и необходимых условий экстремума второго порядка приведены в табл.4.2.

Пример 4.4. Найти экстремум функции на множестве Е 2 .

Решение. 1. Запишем необходимые условия экстремума первого порядка:

;

x * = (0,0).

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума.

Первый способ: Матрица Гессе имеет вид .Так как М 1 = 2 > 0, , то в точке x* локальный минимум (строка 1 в табл.4.2).

Второй способ: Найдем собственные значения матрицы Гессе, используя (4.10):

Отсюда и . Так как все собственные значения положительны, то в точке x * локальный минимум (строка 1 в табл. 4.2). Из примера 3.3 следует, что функция является строго выпуклой на множестве Е 2 . Поэтому точка локального минимума является и точкой глобального минимума (согласно п.3, утверждение 3.1).

3. Вычислим значение функции в точке глобального минимума: f (x *) = 0.

Пример 4.5 . Найти экстремум функции на множестве Е 2 .

Решение. 1. Запишем необходимые условия первого порядка:

; .

В результате решения системы получаем стационарную точку x * = (0,0).

2. Проверим выполнение достаточных условий экстремума и необходимых условий второго порядка.

Первый способ: Матрица Гессе имеет вид . Так как М 1 = 2 > 0, , то достаточныое условия экстремума не выполняются (строки 1 и 2 в табл.4.2). Проверим выполнение необходимых условий второго порядка.

Главные миноры первого порядка (m = 1) получаются из M 2 в результате вычеркивания n – m =2 – 1 = 1 строк и столбцов, с одинаковыми номерами: – 2, 2. Главный минор второго порядка (m = 2) получается из M 2 в результате вычеркивания n – m= 0 строк и столбцов, т.е. совпадает с M 2: -4. Отсюда следует, что необходимые условия экстремума второго порядка не выполняются (строки 3 и 4 в табл.4.2). Так как матрица Гессе не является нулевой, то можно сделать вывод о том, что в точке х * нет экстремума (строка 6 в табл.2.1).

Таблица 4.2

Критерий проверки достаточных и необходимых условий второго порядка в задаче поиска безусловного экстремума

Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор используется для нахождения матрицы Гессе и определения вида функции (выпуклая или вогнутая) (см. пример). Решение оформляется в формате Word . Для функции одной переменной f(x) определяются интервалы выпуклости и вогнутости .

Правила ввода функций :

Дважды непрерывно дифференцируемая функция f(x) является выпуклой (вогнутой) тогда и только тогда, когда матрица Гессе функции f(x) по x положительно (отрицательно) полуопределена для всех x (см. точки локальных экстремумов функции многих переменных).

Критические точки функции:

если гессиан положительно определён, то x 0 - точка локального минимума функции f(x) ,
если гессиан отрицательно определён, то x 0 - точка локального максимума функции f(x) ,
если гессиан не является знакоопределённым (принимает как положительные, так и отрицательные значения) и невырожден (det G(f) ≠ 0), то x 0 - седловая точка функции f(x).

Критерии определенности матрицы (теорема Сильвестра)

Положительная определенность :

все диагональные элементы матрицы должны быть положительны;
все ведущие главные определители должны быть положительны.

Для положительно полуопределённых матриц критерий Сильвестра звучит подобным образом: Форма положительно полуопределена тогда и только тогда, когда все главные миноры неотрицательны. Если матрица Гессе в точке положительно полуопределена (все главные миноры неотрицательные), то это точка минимума (однако, если гессиан полуопределен, а один из миноров равен 0, то это может быть и седловая точка. Нужны дополнительные проверки).

Положительная полуопределенность:

все диагональные элементы неотрицательны;
все главные определители неотрицательны.

Главный определитель – это определитель главного минора.

Квадратная симметрическая матрица порядка n , элементами которой являются частные производные целевой функции второго порядка, называется матрицей Гессе и обозначается:

Для того, чтобы симметрическая матрица была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы все ее диагональные миноры были положительны, т.е.

для матрицы A = (a ij) положительные.

Отрицательная определенность .
Для того чтобы симметрическая матрица была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы имели место неравенства:
(-1) k D k > 0, k =1,.., n.
Другими словами, для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определённой , необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров матрицы квадратичной формы чередовались, начиная со знака минус. Например, для двух переменных, D 1 < 0, D 2 > 0.

Если гессиан полуопределен, то это может быть и точка перегиба. Нужны дополнительные исследования, которые могут быть проведены по одному из следующих вариантов:

Понижение порядка . Делается замена переменных. Например, для функции двух переменных это y=x , в итоге получаем функцию одного переменного x . Далее исследуется поведение функции на прямых y=x и y=-x . Если в первом случае функция в исследуемой точке будет иметь минимум, а в другом случае максимум (или наоборот), то исследуемая точка представляет собой седловую точку .
Нахождение собственных значений гессиана. Если все значения положительные, функция в исследуемой точке имеет минимум, если все отрицательные – имеется максимум.
Исследование функции f(x) в окрестности точки ε. Переменные x заменяются на x 0 +ε. Далее необходимо доказать, что функция f(x 0 +ε) от одной переменной ε, либо больше нуля (тогда x 0 точка минимума), либо меньше нуля (тогда x 0 точка максимума).

Примечание . Чтобы найти обратный гессиан достаточно найти обратную матрицу .

Пример №1 . Какие из следующих функций являются выпуклыми или вогнутыми: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Решение . 1. Найдем частные производные.

2. Решим систему уравнений.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x 1 и подставляем во второе уравнение:
x 2 = x 2 + 1 / 2
-2x 2 +8 = 0
Откуда x 2 = 4
Данные значения x 2 подставляем в выражение для x 1 . Получаем: x 1 = 9 / 2
Количество критических точек равно 1.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. Найдем частные производные второго порядка.

4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x 0 ;y 0).
Вычисляем значения для точки M 1 (9 / 2 ;4)

Строим матрицу Гессе:

D 1 = a 11 < 0, D 2 = 8 > 0
Поскольку диагональные миноры имеют различные знаки, то о выпуклости или вогнутости функции ничего сказать нельзя.