Функциональные ряды. Степенные ряды

Функциональные ряды

Определение. Рассмотрим последовательность функций , имеющих общую область определения D . Ряд вида

, (2.1.1)

называется функциональным .

При каждом частном значении x=x 0 такой ряд превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться. Множество всех значений аргумента x , при которых функциональный ряд превращается в сходящийся числовой ряд, называется областью сходимости функционального ряда.

Пример 1.

Область определения всех этих функций: . Все члены ряда >0 Þ ряд знакоположительный. Для нахождения области сходимости применим радикальный признак Коши:

, т.к. не зависит от п .

Ряд сходится, если , т.е.

Ряд расходится, если , т.е. ;

При х =0 получим числовой ряд 1+1+1+…+…, который расходится.

Таким образом, областью сходимости является промежуток (рис.2.1.1).

Например, при х =1 получим числовой ряд
Это геометрическая прогрессия со знаменателем Þ сходится. При х =-1 ряд имеет вид Это прогрессия со знаменателем Þ расходится.

Пример 2. . ООФ: . Раскроем модуль.

При
- гармонический ряд, расходится.

При
- ряд Лейбница, сходится.

Область сходимости (рис.2.1.2).

Частичная сумма функционального ряда

Это функция от х , т.к. при любом х будет своё выражение . Последовательность частичных сумм при каждом х будет иметь свой предел, следовательно:

сумма сходящегося функционального ряда является некоторой функцией аргумента x , определённой в области его сходимости. Символическая запись

означает, что S (x ) является суммой ряда в области D .

По определению сумма ряда S (x ) является пределом последовательности его частичных сумм при :

Для сходящихся рядов справедливо равенство:

где - остаток ряда.

Из выражения (2.1.3) следует равносильность предельных соотношений:

Степенные ряды. Основные понятия и определения

Частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды .

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида:

где - постоянные, называемые коэффициентами ряда ; x 0 - известное число.

При ряд приобретает вид

, (2.2.2)

При x=x 0 ряд превращается в свой первый коэффициент . Тогда сумма ряда равна этому числу, и он сходится. Поэтому точка x=x 0 называется центром сходимости степенного ряда (2.2.1). Таким образом, степенной ряд всегда сходится хотя бы в одной точке. Сделав замену x-x 0 =Х , можно свести общий случай степенного ряда (2.2.1) к частному случаю (2.2.2). В дальнейшем мы будем в основном рассматривать ряды типа (2.2.2). Этот ряд всегда сходится по крайней мере в точке х =0.

Придавая х различные числовые значения, будем получать различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися. Множество значений х , при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что частичная сумма степенного ряда

является функцией переменной х . Поэтому и сумма ряда является некоторой функцией переменной х , определенной в области сходимости ряда:

. (2.2.4)

Теорема Абеля

Исследование сходимости функциональных рядов при заданном значении х можно производить при помощи известных признаков сходимости числовых рядов. Характер же сходимости именно степенных рядов определяется следующей основной теоремой.

Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд (2.2.2) сходится при x=x 0 ¹ 0, то он сходится, причем абсолютно, при любом значении x , удовлетворяющем условию

, т.е. в интервале

2) Если ряд (2.2.2) расходится при x=x 1 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих условию (рис.2.3.1).

Точки, в которых степенной ряд сходится, называются точками сходимости , а где он расходится – точками расходимости .

Радиус сходимости и интервал сходимости

Степенного ряда

Используя теорему Абеля, можно показать, что для каждого степенного ряда вида (2.2.2), имеющего как точки сходимости, так и точки расходимости (т.е. сходящегося не только в точке и не на всей числовой прямой), существует такое положительное число R , что для всех x , удовлетворяющих условию , ряд абсолютно сходится; а при ряд расходится. При x =± R возможны различные случаи: а) ряд может сходиться в обеих точках ± R ; б) ряд может расходиться в обеих точках ± R ; в) ряд может сходиться в одной из них абсолютно или условно и расходиться в другой (рис.2.4.1). Чтобы выяснить сходимость ряда на границах интервала, нужно подставить значения x =± R в ряд (2.2.2) и исследовать полученные числовые ряды:

с помощью известных признаков сходимости. В одних случаях могут получаться знакоположительные ряды, в других – знакочередующиеся.

Число R называют радиусом сходимости степенного ряда, а интервал - интервалом сходимости. После исследования границ получим уточнённый интервал сходимости, называемый областью сходимости .

Предельные случаи, когда ряд (2.2.2) сходится только при x =0 или сходится при всех значениях x , символически записывают так: R =0 или R =¥.

Так как внутри интервала сходимости степенной ряд сходится абсолютно, то для нахождения интервала сходимости этого ряда достаточно найти те значения аргумента x , при которых сходится ряд, составленный из модулей членов степенного (в общем случае знакопеременного) ряда. Для этого можно применить признак Д’Аламбера. Это равносильно тому, чтобы к исходному ряду применить общий признак Д’Аламбера.

Пример 1. Найти интервал сходимости ряда

По общему признаку Д’Аламбера вычисляем предел модуля отношения последующего члена к предыдущему:

Þ ряд абсолютно сходится, если Длина интервала сходимости равна двум единицам, радиус сходимости . Проверим сходимость ряда при x =-1 и x =1. При x =-1:

Полученный числовой ряд сходится абсолютно, т.к. ряд, составленный из модулей его членов (он находится в скобках), является обобщённым гармоническим с . При x =1:

ряд сходится абсолютно по той же причине.

Итак, областью сходимости ряда является промежуток -1£x £1, или

Замечание. Радиус сходимости ряда с последовательно возрастающими степенями (нулевая, первая, вторая, и.т.д) можно также найти по формуле:

, (2.4.1)

где и – коэффициенты при степенях х . Подчеркнём, что она годится лишь в случае, когда в ряде вида (2.2.2) или (2.2.1) присутствуют все степени х .

В данном примере

Функциональные ряды. Степенные ряды.
Область сходимости ряда

Смех без причины – признак Даламбера

Вот и пробил час функциональных рядов. Для успешного освоения темы, и, в частности, этого урока, нужно хорошо разбираться в обычных числовых рядах. Следует хорошо понимать, что такое ряд, уметь применять признаки сравнения для исследования ряда на сходимость. Таким образом, если Вы только-только приступили к изучению темы или являетесь чайником в высшей математике, необходимо последовательно проработать три урока: Ряды для чайников , Признак Даламбера. Признаки Коши и Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница . Обязательно все три! Если есть элементарные знания и навыки решения задач с числовыми рядами, то справиться с функциональными рядами будет довольно просто, поскольку нового материала не очень и много.

На данном уроке мы рассмотрим понятие функционального ряда (что это вообще такое), познакомимся со степенными рядами, которые встречаются в 90% практических заданий, и научимся решать распространенную типовую задачу на нахождение радиуса сходимости, интервала сходимости и области сходимости степенного ряда. Далее рекомендую рассмотреть материал о разложении функций в степенные ряды , и «скорая помощь» начинающему будет оказана. Немного отдышавшись, переходим на следующий уровень:

Также в разделе функциональных рядов есть их многочисленные приложения к приближённым вычислениям , и некоторым особняком идут Ряды Фурье , которым в учебной литературе, как правило, выделяется отдельная глава. У меня всего лишь одна статья, но зато длиннющая и много-много дополнительных примеров!

Итак, ориентиры расставлены, поехали:

Понятие функционального ряда и степенного ряда

Если в пределе получается бесконечность , то алгоритм решения также заканчивает свою работу, и мы даём окончательный ответ задания: «Ряд сходится при » (или при либо »). Смотрите случай №3 предыдущего параграфа.

Если в пределе получается не ноль и не бесконечность , то у нас самый распространенный на практике случай №1 – ряд сходится на некотором интервале.

В данном случае предел равен . Как найти интервал сходимости ряда? Составляем неравенство:

В ЛЮБОМ задании данного типа в левой части неравенства должен находиться результат вычисления предела , а в правой части неравенства – строго единица . Не буду объяснять, почему именно такое неравенство и почему справа единица. Уроки носят практическую направленность, и уже очень хорошо, что от моих рассказов не повесился профессорско-преподавательский состав стали понятнее некоторые теоремы.

Техника работы с модулем и решения двойных неравенств подробно рассматривалась на первом курсе в статье Область определения функции , но для удобства я постараюсь максимально подробно закомментировать все действия. Раскрываем неравенство с модулем по школьному правилу . В данном случае:

Половина пути позади.

На втором этапе необходимо исследовать сходимость ряда на концах найденного интервала.

Сначала берём левый конец интервала и подставляем его в наш степенной ряд :

При

Получен числовой ряд, и нам нужно исследовать его на сходимость (уже знакомая из предыдущих уроков задача).

1) Ряд является знакочередующимся.
2) – члены ряда убывают по модулю. При этом каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.

С помощью ряда, составленного из модулей, выясним, как именно:
– сходится («эталонный» ряд из семейства обобщенного гармонического ряда).

Таким образом, полученный числовой ряд сходится абсолютно .

при – сходится.

! Напоминаю , что любой сходящийся положительный ряд тоже является абсолютно сходящимся.

Таким образом, степенной ряд сходится, причём абсолютно, на обоих концах найденного интервала.

Ответ: область сходимости исследуемого степенного ряда:

Имеет право на жизнь и другое оформление ответа: Ряд сходится, если

Иногда в условии задачи требуют указать радиус сходимости. Очевидно, что в рассмотренном примере .

Пример 2

Найти область сходимости степенного ряда

Решение: интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера (но не ПО признаку! – для функциональных рядов такого признака не существует) :

Ряд сходится при

Слева нам нужно оставить только , поэтому умножаем обе части неравенства на 3:

– Ряд является знакочередующимся.
– – члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше предыдущего: , значит, убывание монотонно.

Вывод: ряд сходится.

Исследуем его на характер сходимости:

Сравним данный ряд с расходящимся рядом .
Используем предельный признак сравнения :

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд расходится вместе с рядом .

Таким образом, ряд сходится условно .

2) При – расходится (по доказанному).

Ответ: Область сходимости исследуемого степенного ряда: . При ряд сходится условно.

В рассмотренном примере областью сходимости степенного ряда является полуинтервал, причем во всех точках интервала степенной ряд сходится абсолютно , а в точке , как выяснилось – условно .

Пример 3

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Это пример для самостоятельного решения.

Рассмотрим пару примеров, которые встречаются редко, но встречаются.

Пример 4

Найти область сходимости ряда:

Решение: с помощью признака Даламбера найдем интервал сходимости данного ряда:

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему.

(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.

(3) Кубы и по правилу действий со степенями подводим под единую степень. В числителе хитро раскладываем степень , т.е. раскладываем таким образом, чтобы на следующем шаге сократить дробь на . Факториалы расписываем подробно.

(4) Под кубом почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что . В дроби сокращаем всё, что можно сократить. Множитель выносим за знак предела, его можно вынести, поскольку в нём нет ничего, зависящего от «динамической» переменной «эн». Обратите внимание, что знак модуля не нарисован – по той причине, что принимает неотрицательные значения при любом «икс».

В пределе получен ноль, а значит, можно давать окончательный ответ:

Ответ: Ряд сходится при

А сначала-то казалось, что этот ряд со «страшной начинкой» будет трудно решить. Ноль или бесконечность в пределе – почти подарок, ведь решение заметно сокращается!

Пример 5

Найти область сходимости ряда

Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны;-) Полное решение ответ в конце урока.

Рассмотрим еще несколько примеров, содержащих элемент новизны в плане использования технических приемов.

Пример 6

Найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах найденного интервала

Решение: В общий член степенного ряда входит множитель , обеспечивающий знакочередование. Алгоритм решения полностью сохраняется, но при составлении предела мы игнорируем (не пишем) этот множитель, поскольку модуль уничтожает все «минусы».

Интервал сходимости ряда найдём с помощью признака Даламбера:

Составляем стандартное неравенство:
Ряд сходится при
Слева нам нужно оставить только модуль , поэтому умножаем обе части неравенства на 5:

Теперь раскрываем модуль уже знакомым способом:

В середине двойного неравенства нужно оставить только «икс», в этих целях из каждой части неравенства вычитаем 2:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость ряда на концах найденного интервала:

1) Подставляем значение в наш степенной ряд :

Будьте предельно внимательны, множитель не обеспечивает знакочередование, при любом натуральном «эн» . Полученный минус выносим за пределы ряда и забываем про него, поскольку он (как и любая константа-множитель) никак не влияет на сходимость или расходимость числового ряда.

Еще раз заметьте , что в ходе подстановки значения в общий член степенного ряда у нас сократился множитель . Если бы этого не произошло, то это бы значило, что мы либо неверно вычислили предел, либо неправильно раскрыли модуль.

Итак, требуется исследовать на сходимость числовой ряд . Здесь проще всего использовать предельный признак сравнения и сравнить данный ряд с расходящимся гармоническим рядом. Но, если честно, предельный признак сравнения до ужаса мне надоел, поэтому внесу некоторое разнообразие в решение.

Итак, ряд сходится при

Умножаем обе части неравенства на 9:

Извлекаем из обеих частей корень, при этом помним старый школьный прикол :

Раскрываем модуль:

и прибавляем ко всем частям единицу:

– интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

Исследуем сходимость степенного ряда на концах найденного интервала:

1) Если , то получается следующий числовой ряд:

Множитель бесследно пропал, поскольку при любом натуральном значении «эн» .

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б);

в) ; г)
;

д)
.

а) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
, то

x
, то есть интервал сходимости ряда
.

При
получаем числовой ряд . Этот ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядомпри
.

При
получаем числовой ряд
. Этот ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходящийся.

б) Найдем радиус сходимости R . Так как
, то
.

Итак, интервал сходимости ряда
.

Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.

При
имеем числовой ряд

.

При
имеем числовой ряд
. Этот ряд расходящийся, так как
не существует.

Итак, область сходимости данного ряда
.

в) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
то
.

Итак, интервал сходимости
. Область сходимости данного ряда совпадает с интервалом сходимости, то есть ряд сходится при любом значении переменнойx .

г) Найдем радиус сходимости R . Так как
,
то
.

Так как
, то ряд сходится только в точке
. Значит, область сходимости данного ряда представляет собой одну точку
.

д) Найдем радиус сходимости R .

Так как
,
, то

Итак, ряд сходится абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству
, то есть
.

Отсюда
− интервал сходимости,
− радиус сходимости.

Исследуем данный ряд на сходимость на концах интервала сходимости.

При
получаем числовой ряд

который расходится (гармонический ряд).

При
получаем числовой ряд
, который сходится условно (ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный их абсолютных величин его членов, расходится, так как является гармоническим).

Итак, область сходимости ряда
.

2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.

Разложение функций в степенной ряд.

Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в степенной ряд функции:

а)
; б)
;

в)
; г)
.

а) Заменив в формуле
x на
, получим искомое разложение:

Где

б) Заменяя в равенстве

Где
x на
, получим искомое разложение:

в) Данную функцию можно записать так:
. Чтобы найти искомый ряд, достаточно в разложение

Где
подставить
. Тогда получим:

г) Данную функцию можно переписать так: .

Функцию
можно разложить в степенной ряд, положив в биномиальном ряде
, получим .

Где
.

Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить полученные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов).

Следовательно,

, где
.

Пример 2. Найти приближенные значения данных функций:

а)
с точностью до 0,0001;

б)
с точностью до 0,00001.

а) Так как
, то в разложение функции , где
подставим
:

или

Так как
, то требуемая точность будет обеспечена, если ограничиться только первыми двумя членами полученного разложения.

Используем биномиальный ряд

Где
.

Полагая
и
, получим следующее разложение:

Если в последнем знакочередующемся ряде учитывать только первые два члена, а остальные отбросить, то погрешность при вычислении
не превысит по абсолютной величине 0,000006. Тогда погрешность при вычислении
не превысит числа . Следовательно,

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001:

а)
; б)
.

а)
.

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого подставим в биномиальный ряд
и заменим x на :

Так как отрезок интегрирования
принадлежит области сходимости полученного ряда
, то будем интегрировать почленно в указанных пределах:

В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.

Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.

б) Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменим в разложении функции

Где

x на
, получим:

Тогда
.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов.

Следовательно,
.

Приложение

Степенные ряды на сайт для практических занятий с целью закрепления пройденного материала. И оттачивания навыков студентов для того, чтобы научиться однозначно определять сходимость степенного ряда. Практические занятия в полной мере дают желаемый результат, если в курсе по изучению выделено достаточное количество занятий. Это в полной мере обеспечит высококлассную подготовку учащихся. Но что делать, когда их нет? В этом случае решить степенные ряды онлайн поможет как раз наш сайт, или аналогичный ресурс. Однако не всегда подобные калькуляторы смогут предоставить правильный ответ на поставленную задачу. Как раз для этого на примере одного условия нужно сравнить полученные ответы между решениями подобных сайтов. Можно заметить, что область сходимости ряда вычисляется порой по разным теоремам и ответ, хоть он и правильный, но может быть выражен отличными формами записи. Конечно, такое не будет считаться ошибкой, все дело в том, как именно вам будет удобнее его воспринимать. Короче говоря, найти сходимость степенного ряда с помощью того или иного сайта, решать вам, то есть как будет вам удобно для дальнейших применений ответа. Иногда само решение степенного ряда выражают через записи со знаками неравенств, а чаще всего через знак модуля. Это не случайно, поскольку на практике используют наиболее чаще приемы сравнений общих членов ряда с использованием модулей. Через ряд преобразований выделяют переменную, заключенную в модуль, и остается краткая запись, которая нормально воспринимается для понимания решения. Для наглядного представления радиус сходимости ряда можно представить на числовой оси с указанием граничных точек, это, кстати, тоже приветствуется в ряде случаев. Не нужно загонять себя в какие-то определенные рамки, которые сузят ваш кругозор. Вообще-то говоря, степенные ряды важная тема в математике, поскольку сложная и для того, чтобы её понять, вам придется изучить несколько курсов. Например, теорию предельного перехода и интегральное исчисление, поскольку для доказательства сходимости степенного ряда часто используют именно такие приемы, в которых присутствуют эти действия. Для вас мы предлагаем пройти практические занятия, и проверит свои знаний по изучению степенных рядов онлайн прямо на сайт, поскольку мы даем гарантию, что все решаемые задачи выдаются с точным ответом, в считанные секунды и абсолютно бесплатно в режиме реального времени. Помимо области сходимости ряда, или как её еще называют радиус сходимости ряда, мы предлагаем вашему вниманию много других сопутствующих калькуляторов, которые вы, безусловно, оцените на высочайшем уровне. Если требуется найти сходимость степенного ряда, то предоставьте это сделать за вас именно нам, поскольку сайт есть залог точности и гарантия безупречного качественного ответа. Многие студенты не редко задаются таким вопросом как быстрая подготовка в решении степенного ряда, но не просто решение, а качественное и правильное. Во все времена степенные ряды носили более обширный смысл, чем об этом сейчас рассказывают ученикам. Оно и понятно, потому что объясняется это тем, что нет времени в связи с необходимостью глубокого изучения более важные тем. С одной стороны - ДА, но тогда означает ли это, что можно пренебрегать сходимостью степенного ряда? Скорее всего, нет, так как, не изучив должным образом степенные ряды онлайн, вы попросту не сможете грамотно ответить на очевидные вопросы на защите курсовой или дипломной работы. Допустим, ваша предметная область включает такую дисциплину как механика сплошных сред или строительная механика. Очевидно, что устойчивость систем важна при проектировании стратегических объектов, тем более, если это напрямую касается охраны жизнедеятельности людей. Казалось бы, что можно вынести полезного, если научиться или хотя бы понять суть как находить область сходимости ряда? Трудно в одном предложении передать важность этого определения. Но поверьте на слово, найти сходимость степенного ряда такая же важная и необходимая процедура, как, к примеру, знать теорему Пифагора. Если решение степенного ряда будет выполнено с ошибкой, то в дальнейших расчетах обязательно это сыграет злую шутку со студентом. Бывает порой, что из-за досадной неточности в ошибке происходит крушение летательного аппарата уже на первых испытаниях. Согласитесь, это обидно после проделанных работ и колоссального вклада времени. Поэтому учитесь и еще раз учитесь находить радиус сходимости ряда, прививая тем самым с самого начала правильность т строгость в решении задач. Вернемся к теме степенные ряды и расскажем немного об этом разделе подробнее. В практике множество степенных рядов начинаются именно с первого члена, хотя встречаются такие ряды, в условии которых первый член может начаться и со второго, и с третьего члена. Во многом это связано с тем, что, например, начиная с первого члена, сразу обращается в бесконечность вся сумма ряда, что конечно тривиально, по сути. Сходимость степенного ряда как предмет изучения области его сходимости, на практике применяется не часто, особенно студентами, если они не проходят её на кафедре математического анализа. Суть ясна и задачи все расставлены. Наш калькулятор вычисляет степенные ряды онлайн, а также говорит о сходимости ряда, по какому признаку числовой ряд сходится, короче говоря, умеет определять сходимость степенных рядов. Попасть в область сходимости ряда переменная может, если удовлетворяет конкретному единственному условию, то есть чтобы соответствующий получившийся при этом числовой ряд сходился к конечному действительному числовому значению. Пожалуй, это не одно условие, нужно также, чтобы все члены ряда при любом порядковом натуральном значении параметра n существовал и однозначно определялся. Найти сходимость степенного ряда означает определить область его сходимости на числовой оси абсцисс, если речь идет о декартовой системе координат. Такое сделать представляется возможным по признаку Даламбера, однако, нужно понимать, что лишь по признаку, так как сам принцип устанавливает лишь интервал, в который попадет переменная. Помните, для функциональных рядов признак Даламбера не применим, он только для числовых рядов. Решение степенного ряда напрямую связано с нахождением радиуса сходимости этого ряда, но для краткости выражаются именно так. Мы тоже будем применять этот термин, дабы не отставать от тенденции в научном мире. Степенные ряды в граничных точках изучаются отдельно. Разумеется, это есть часть общей задачи по исследованию на сходимость степенного ряда. В этих граничных точках ряд исследуется как числовой - знакопостоянный или знакопеременный, в зависимости от вида общего члена ряда. Ряды, членами которых являются степенные функции, называются степенными рядами, а калькулятор может решать их онлайн. Когда так говорят, сразу приходит на ум следующее предположение, а если членами ряда будут являться периодические функции, то такой ряд наверно должен называться функциональным периодическим рядом! Забавное дело получается, но все очень серьезно. Когда мы определили область сходимости ряда, необходимо после этого проделать завершающие вычисления, а именно исследовать числовые ряды на сходимость, которые получаются путем подстановок границ определенного интервала вместо переменной x степенного ряда. Дальше сможете написать полноценный ответ с решением. Рассмотрим пример, как можно найти сходимость степенного ряда без применения основных теорем, а лишь сравнительным способом. При этом нужно грамотно составлять сравнения двух функциональных рядов до тех пор, пока не упростим исходный ряд до давно изученного элементарного. По этому принципу возьмем за ответ как раз результат давно известный всем наперед. По решению степенного ряда еще не однозначно можно предположить, какой же точно будет радиус сходимости ряда, поскольку перед этим еще надо произвести исследование как минимум двух числовых рядов на каждой из границ интервала.. По виду все степенные ряды одинаковы тем, что их общий член представляет собой обычную функцию от аргумента. Суть изучения состоит как раз в том, чтобы определить допустимые значения этого аргумента для сходимости ряда (условной или безусловной), а также на каких интервалах соответствующий ему уже числовой ряд будет расходиться. Исследование степенного ряда на сходимость отнимает у вас уйму времени, и мы рекомендуем вам использовать готовый калькулятор сайт. Нужно исследовать и границы интервала тоже, в противном случае задачу будет выполнена не полностью, а значит, гарантировано снимут два балла. На нашем сайте вы можете вычислить сумму степенных рядов онлайн. Всегда быстро, надежно, а главное бесплатно! Удобный интерфейс и понятный запрос данных.. По праву область сходимости ряда есть конкретное условие существования суммы ряда числового. Если значение на границе интервала дает расхождение полученного знакопеременного ряда. то говорят, что ряд сходится условно, то есть он конечно сходится в этой области, но при определенных условиях, что немаловажно в любом случае. Если абстрагироваться от понятия степенного ряда, и на миг просто представить себе сумму степенного ряда как некую функцию по переменной x, то речь уже пойдет не о том, чтобы найти сходимость степенного ряда, а об определении таких условий, при которых будет существовать значение функции при разных значениях её аргумента x. Короче говоря, задачу сведем к простейшему нахождению области определения функции. Правда ведь очень просто и понятно! Любое решение степенного ряда всегда говорит о радиусе сходимости такого степенного ряда и обычно определяется через признак Даламбера, но не напрямую, а лишь с условием. После этого раскрывают модуль полученного неравенства и исследуют числовые ряды на абсолютную или условную сходимость. Потом делают вывод. Очень интересно, когда степенные ряды в первоначальном виде интегрируются или дифференцируются, а потом уже вычисляется сумма ряда от нового степенного ряда. Отсюда следуют много вариантов как себя ведет ряд при тех или иных условиях. Найденная сумма степенного ряда от проинтегрированных членов исходного ряда, есть, по сути, проинтегрированная сумма исходного степенного ряда. Интересно и познавательно, не правда ли? Если грамотно сформулировать текст задачи, то он выглядит примерно так: найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать его на границах найденного интервала. Отсюда ряд может сходиться или расходиться абсолютно, что не требует дополнительных исследований. Равномерная сходимость показывает степенные ряды в онлайн вычислении, складывая поочередно все члены исходного ряда, записанного в классическом виде, как в университете. Полагаясь только на свое чутье, студент рискует по неопытности попасть в ловушку своей самоуверенности, когда проще простого взять и воспользоваться калькулятором сайт в самом начале учебы. Из области сходимости ряда делают выводы о сходимости функционального, а точнее степенного ряда, а именно устанавливают сходиться он либо условно, либо абсолютно. Все это необходимо для завершающей записи конечного ответа. Не усложняя ситуацию и не применяя названия сложных теорем, скажем, что найти сходимость степенного ряда будет проще для понимания, если представить в качестве суммы ряда некую функцию и уже исследовать именно ее. А это всем давно ясно и понятно как делать! Радиус сходимости ряда и решение степенного ряда понятия тождественные, так как означают одно и то же, точнее определяют однозначно ту область, значения переменной из которой дает сходимость соответственного числового ряда.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида

Здесь x – действительная переменная. Числа a n (n = 0, 1, 2, … ) называются коэффициентами ряда . В дальнейшем ограничимся случаем, когда все a n и величина x 0 – действительные числа. Степенной ряд (9.5) называют также рядом по степеням разности x  x 0 .

Если x 0 = 0 , то получим степенной ряд вида

, (9.6)

который называют рядом по степеням x .

Степенной ряд (9.5) приводится к виду (9.6) с помощью простого преобразования x  x 0 = t (перенос начала на числовой оси). В силу этого теория степенных

рядов (9.5) и (9.6) общая. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмотрением основных свойств рядов вида (9.6).

При рассмотрении степенных рядов основным вопросом является определение их области сходимости , т. е. множества тех значений x , при которых ряд сходится.

Эта задача решается на базе теоремы Абеля .

Если степенной ряд (9.6) сходится при некотором значении x = x 1  0 , то он абсолютно сходится при всех значениях x , удовлетворяющих неравенству x < x 1 .

Если же ряд расходится при некотором значении x = x 2 , то он расходится и при всех x , удовлетворяющих неравенству x  > x 2 .

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда (9.6).

Действительно, если x 1 – точка сходимости, то весь интервал ( x 1 , x 1 ) заполнен точками абсолютной сходимости.

Если x 2 – точка расходимости, то интервалы (  ,  x 2 ) и (x 2 , +  )состоят из точек расходимости.

Из этого можно заключить, что существует такое число R , что при x  < R степенной ряд абсолютно сходится, а при x  > R – расходится.

Интервал ( R , R ) называется интервалом сходимости степенного ряда (9.6). Число R называется радиусом сходимости степенного ряда.

Отметим, что интервал сходимости некоторых рядов представляет собой всю числовую прямую (в этом случаеR =  ), у других вырождается в одну точку (случай R = 0 ). При x =  R , т. е. на концах интервала сходимости, ряд может сходиться абсолютно, условно или расходиться. Для выяснения поведения ряда в концевых точках необходимо в выражение для ряда подставить вместо x значения  R и получившиеся два числовых ряда исследовать на сходимость. Этот вопрос решается для каждого конкретного ряда индивидуально.

В применении к степенным рядам вида (9.5) полученные результаты видоизменяются только в том, что центр сходимости находится в точке x = x 0 , а не в точке x = 0 , т. е. интервал сходимости степенного ряда (9.5) симметричен относительно точки x = x 0 и представляет собой интервал x 0  R < x < x 0 + R .

Заметим, что для нахождения интервала сходимости степенного ряда (9.6) можно исследовать ряд

, (9.7)

составленный из модулей членов данного ряда, так как интервалы сходимости этих рядов совпадают.

Для определения сходимости ряда (9.7), члены которого положительны, обычно применяют признаки сходимости Даламбера или Коши.

Допустим, что существует предел
.

Тогда по признаку Даламбера ряд (9.7) сходится при
, т. е. если
, и расходится при
, т. е. если
. Таким образом, данный ряд сходится внутри интервала
и расходится вне его, т. е. радиус сходимости равен
.

Замечания.

1) Если A = 0 , то исходный ряд абсолютно сходится при всех числовых значениях x , так как при этом имеем x  A = 0 < 1 для любого x . В этом случае радиус сходимостиR =  .

2) Если A =  , то исходный ряд сходится в единственной точке x = 0 . Ранее было принято, что в этом случае R = 0 .

3) Аналогично, для определения интервала сходимости можно пользоваться признаком Коши, если существует
. В этом случае
.

4) Интервал сходимости можно находить, используя непосредственно признаки Даламбера или Коши.

Пример 9.11. Определить область сходимости ряда
.

Решение. Здесь
. Поэтому,

Итак, интервал
является интервалом сходимости заданного ряда.

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. При
ряд примет вид
. Это гармонический ряд, он расходится. При
ряд примет вид
. Этот знакочередующийся ряд сходится условно, так как легко проверить, что выполняются условия признака Лейбница, а ряд из модулей расходится.