Даны вершины треугольника авс найти уравнение стороны. Дано координаты вершин треугольника
1. Даны вершины треугольника АВС .А (–9; –2), В (3; 7), С (1; –7).
1) длину стороны АВ ;
2) уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты;
3) угол А в радианах;
4) уравнение высоты С D и ее длину;
5) уравнение окружности, для которой высота С D есть диаметр;
6) систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС .
Решение . Сделаем чертеж.
1. Найдем длину стороны АВ. Расстояние между двумя точками определяется по формуле
2. Найдем уравнения сторон АВ и АС и их угловые коэффициенты.
Запишем уравнение прямой, проходящей через две точки.
Это общее уравнение прямой. Разрешим его относительно у, получим
, угловой коэффициент прямой равен 
Аналогично для стороны АС имеем.
угловой коэффициент прямой равен 
3. Найдем
угол
А
в радианах
.
Это угол между двумя векторами 
и 
. Запишем координаты векторов . Косинус угла между векторами равен
4. Найдем
уравнение высоты
С
D
и ее длину
.
, следовательно, их угловые коэффициенты связаны соотношением 
.
Запишем уравнение высоты через угловой коэффициент
Точка 
принадлежит прямой CD, следовательно ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, отсюда имеем 
Окончательно 
или
Длину высоты вычислим, как расстояние от точки С до прямой АВ
5. Найдем уравнение окружности , для которой высота С D есть диаметр.
Координаты точки D найдем, как точку пересечения двух прямых AB и CD, уравнения которых известны.
Найдем координаты точки О – центра окружности. Это середина отрезка CD.
Радиус окружности равен 
Запишем уравнение окружности.
6) Определим треугольник АВС системой линейных неравенств.
Найдем уравнение прямой CB.
Система линейных неравенств будет выглядеть так.
2. Решить данную систему уравнений пользуясь формулами Крамера. Сделать проверку полученного решения.
Решение. Вычислим определитель этой системы:
.
Найдем определители 
и решим систему:
Проверка:
Ответ:
3. Систему уравнений записать в матричной форме и решить ее с помощью
обратной матрицы. Сделать проверку полученного решения
Решение.
Найдем определитель матрицу А
матрица невырожденная и имеет обратную. Найдем все алгебраические дополнения и составим союзную матрицу. 
Обратная матрица имеет вид: 
Выполним умножение 
и найдем вектор решений.
Проверка
. 
Ответ: 
Решение.
N = (2, 1). Перпендикулярно вектору нормали проводим линию уровня и перемещаем ее в направлении нормали,
Минимум целевая функция достигает в точке А, а максимум в точке В. Координаты этих точек находим решая совместно уравнения прямых, на пересечении которых они находятся.
5. Туристской фирме требуется не более а трехтонных автобусов и не более в
пятитонных автобусов. Отпускная цена автобусов первой марки 20000 у.е., второй марки
40000 у.е. Туристская фирма может выделить для приобретения автобусов не более с у.е.
Сколько следует приобрести автобусов каждой марки в отдельности, чтобы их общая
(суммарная) грузоподъёмность была максимальной. Решить задачу графическим методом.
а = 20 в = 18 с = 1000000
Решение
.
Составим математическую модель задачи.
Обозначим через 
- количество автобусов каждой тоннажности, которое будет приобретено. Цель закупок – иметь максимальную грузоподъемность приобретенных машин, описывается функцией цели
Ограничения задачи обусловлены количеством приобретенных автобусов и их стоимостью.
Решим задачу графически. . Строим область допустимых решений задачи и нормаль к линиям уровней N = (3, 5). Перпендикулярно вектору нормали проводим линию уровня и перемещаем ее в направлении нормали.
Максимум функция цели достигает в точке 
, функция цели при этом принимает значение .
Решение . 1. Областью определения функции является вся числовая ось.
2, Функция не является ни четной, ни нечетной.
3. При х=0, у=20
4. Исследуем функцию на монотонность и экстремумы.
Найдем нули производной
Стационарные точки функции.
Нанесем стационарные точки на ось Ох и проверим знаки производной на каждом участке оси.
–точка максимума 
; 
-точка минимума 
5. Исследуем график функции на выпуклость и вогнутость. Возьмем 2-ю производную
Точка перегиба графика функции.
При 
- функция выпукла; при 
- функция вогнута.
Графий функции имеет вид
6. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1; 4]
Вычислим значение функции на концах отрезка 
В точке минимума функция принимает значения , следовательно, наименьшее значение на отрезке [-1; 4] функция принимает в точке минимума , а наибольшее на левой границе интервала.
7. Найти неопределённые интегралы и результаты интегрирования проверить
дифференцированием.
Решение .
Проверка.
Здесь произведение косинусов было заменено суммой, согласно тригонометрическим формулам.
1. Уравнение сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты.
В задании даны координаты точек, через которые проходят эти прямые, поэтому воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$$ подставляем и получаем уравнения
уравнение прямой AB $$\frac{x+6}{6+6}=\frac{y-8}{-1-8} => y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2}$$ угловой коэффициент прямой AB равен \(k_{AB} = -\frac{3}{4}\)
уравнение прямой BC $$\frac{x-4}{6-4}=\frac{y-13}{-1-13} => y = -7x + 41$$ угловой коэффициент прямой BC равен \(k_{BC} = -7\)
2. Угол В в радианах с точностью до двух знаков
Угол B - угол между прямыми AB и BC, который рассчитывается по формуле $$tg\phi=|\frac{k_2-k_1}{1+k_2*k_1}|$$подставляем значения угловых коэффициентов этих прямых и получаем $$tg\phi=|\frac{-7+\frac{3}{4}}{1+7*\frac{3}{4}}| = 1 => \phi = \frac{\pi}{4} \approx 0.79$$
3.Длину стороны АВ
Длина стороны AB рассчитывается как расстояние между точками и равна \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\) => $$d_{AB} = \sqrt{(6+6)^2+(-1-8)^2} = 15$$
4.Уравнение высоты CD и ее длину.
Уравнение высоты будем находить по формуле прямой проходящей через заданную точку С(4;13) в заданном направлении - перпендикулярно прямой AB по формуле \(y-y_0=k(x-x_0)\). Найдем угловой коэффициент высоты \(k_{CD}\) воспользовавшись свойством перпендикулярных прямых \(k_1=-\frac{1}{k_2}\) получим $$k_{CD}= -\frac{1}{k_{AB}} = -\frac{1}{-\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$ Подставляем в уравнение прямой, получаем $$y - 13 = \frac{4}{3}(x-4) => y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}$$ Длину высоты будем искать как расстояние от точки С(4;13) до прямой AB по формуле $$d = \frac{Ax_0+By_0+C}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ в числителе уравнение прямой AB, приведем его к этому виду \(y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2} => 4y+3x-14 = 0\) , подставляем полученное уравнение и координаты точки в формулу $$d = \frac{4*13+3*4-14 }{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{50}{5} =10$$
5. Уравнение медианы АЕ и координаты точки К пересечение этой медианы с высотой CD.
Уравнение медианы будем искать как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(-6;8) и E , где точка E - середина между точками B и C и ее координаты находятся по формуле \(E(\frac{x_2+x_1}{2};\frac{y_2+y_1}{2})\) подставляем координаты точек \(E(\frac{6+4}{2};\frac{-1+13}{2})\) => \(E(5; 6)\), тогда уравнение медианы AE буде следующее $$\frac{x+6}{5+6}=\frac{y-8}{6-8} => y = -\frac{2}{11}x + \frac{76}{11}$$Найдем координаты точки пересечения высот и медианы, т.е. найдем их общую точку Для этого составим систему уравнение $$\begin{cases}y = -\frac{2}{11}x + \frac{76}{11}\\y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}\end{cases}=>\begin{cases}11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end{cases}=>$$$$\begin{cases}22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end{cases}=> \begin{cases}25y =175\\3y = 4x+23\end{cases}=> $$$$\begin{cases}y =7\\ x=-\frac{1}{2}\end{cases}$$ Координаты точки пересечения \(K(-\frac{1}{2};7)\)
6.Уравнение прямой что проходит через точку К параллельно к стороне АВ.
Если прямая параллельны, то их угловые коэффициенты равны, т.е. \(k_{AB}=k_{K} = -\frac{3}{4}\) , также известны координаты точки \(K(-\frac{1}{2};7)\), т.е. для нахождения уравнения прямой применим формулу уравнения прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении \(y - y_0=k(x-x_0)\), подставляем данные и получаем $$y - 7= -\frac{3}{4}(x-\frac{1}{2}) => y = -\frac{3}{4}x + \frac{53}{8}$$
8. Координаты точки М которая симметрична точке А относительно прямой CD.
Точка M лежит на прямой AB, т.к. CD - высота к этой стороне. Найдем точку пересечения CD и AB для этого решим систему уравнений $$\begin{cases}y = \frac{4}{3}x+\frac{23}{3}\\y = -\frac{3}{4}x + \frac{7}{2}\end{cases} =>\begin{cases}3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end{cases} => $$$$\begin{cases}12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end{cases} =>
\begin{cases}0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end{cases} => $$$$\begin{cases}x=-2\\y=5 \end{cases}$$ Координаты точки D(-2;5). По условию AD=DK, это расстояние между точками находится по формуле Пифагора \(d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\), где AD и DK - гипотенузы равных прямоугольных треугольников, а \(Δx =x_2-x_1\) и \(Δy=y_2-y_1\) - катеты этих треугольников, т.е. найдем катеты найдем и координаты точки M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), а \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), тогда координаты точки M будут равны \(x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), а \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), получили, что координаты точки \(M(2;2)\)
Задача 1 . Даны координаты вершин треугольника АВС: А(4; 3), В(16;-6), С(20; 16). Найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты; 3) угол В в радианах с точностью до двух знаков; 4) уравнение высоты СD и ее длину; 5) уравнение медианы AE и координаты точки К пересечения этой медианы с высотой CD; 6) уравнение прямой, проходящей через точку К параллельно стороне АВ; 7) координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой СD.
Решение:
1. Расстояние d между точками A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) определяется по формуле
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
2. Уравнение прямой, проходящей через точки A(x 1 ,y 1) и B(x 2 ,y 2) имеет вид
(2)
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получим уравнение стороны АВ:
Решив последнее уравнение относительно у, находим уравнение стороны АВ в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
откуда
Подставив в (2) координаты точек В и С, получим уравнение прямой ВС:
Или 
3. Известно, что тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и вычисляется по формуле
(3)
Искомый угол В образован прямыми АВ и ВС, угловые коэффициенты которых найдены: Применяя (3), получим
Или рад.
4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении, имеет вид
(4)
Высота CD перпендикулярна стороне АВ. Чтобы найти угловой коэффициент высоты CD, воспользуемся условием перпендикулярности прямых. Так как то 
Подставив в (4) координаты точки С и найденный угловой коэффициент высоты, получим
Чтобы найти длину высоты CD, определим сначала координаты точки D- точки пересечения прямых АВ и CD. Решая совместно систему:
находим 
т.е. D(8;0).
По формуле (1) находим длину высоты CD:
5. Чтобы найти уравнение медианы АЕ, определим сначала координаты точки Е, которая является серединой стороны ВС, применяя формулы деления отрезка на две равные части:
(5)
Следовательно,
Подставив в (2) координаты точек А и Е, находим уравнение медианы:
Чтобы найти координаты точки пересечения высоты CD и медианы АЕ, решим совместно систему уравнений
Находим .
6. Так как искомая прямая параллельна стороне АВ, то ее угловой коэффициент будет равен угловому коэффициенту прямой АВ. Подставив в (4) координаты найденной точки К и угловой коэффициент получим 
3x + 4y – 49 = 0 (KF)
7. Так как прямая АВ перпендикулярна прямой CD, то искомая точка М, расположенная симметрично точке А относительно прямой CD, лежит на прямой АВ. Кроме того, точка D является серединой отрезка AM. Применяя формулы (5), находим координаты искомой точки М:
Треугольник ABC, высота CD, медиана АЕ, прямая KF и точка М построены в системе координат хОу на рис. 1.
Задача 2.
Составить уравнение геометрического места точек, отношение расстояний которых до данной точки А(4; 0) и до данной прямой х=1 равно 2. 
Решение :
В системе координат хОу построим точку А(4;0) и прямую х = 1. Пусть М(х;у) – произвольная точка искомого геометрического места точек. Опустим перпендикуляр MB на данную прямую x = 1 и определим координаты точки В. Так как точка В лежит на заданной прямой, то ее абсцисса равна 1. Ордината точки В равна ординате точки М. Следовательно, В(1;у) (рис. 2).
По условию задачи |МА|: |МВ| = 2. Расстояния |МА| и |MB| находим по формуле (1) задачи 1:
Возведя в квадрат левую и правую части, получим
или
Полученное уравнение представляет собой гиперболу, у которой действительная полуось а = 2,а мнимая –
Определим фокусы гиперболы. Для гиперболы выполняется равенство Следовательно, и 
– фокусы гиперболы. Как видно, заданная точка А(4;0) является правым фокусом гиперболы.
Определим эксцентриситет полученной гиперболы:
Уравнения асимптот гиперболы имеют вид и . Следовательно, или и – асимптоты гиперболы. Прежде чем построить гиперболу, строим ее асимптоты.
Задача 3 . Составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точки А(4; 3) и прямой у = 1. Полученное уравнение привести к простейшему виду.
Решение: Пусть М(х; у) - одна из точек искомого геометрического места точек. Опустим из точки М перпендикуляр MB на данную прямую у = 1 (рис. 3). Определим координаты точки В. Очевидно, что абсцисса точки В равна абсциссе точки М, а ордината точки В равна 1, т. е. В(х; 1). По условию задачи |МА|=|МВ|. Следовательно, для любой точки М(х;у), принадлежащей искомому геометрическому месту точек, справедливо равенство:
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке Чтобы уравнение параболы привести к простейшему виду, положим и y + 2 = Y тогда уравнение параболы принимает вид: 
Пример решения некоторых заданий из типовой работы «Аналитическая геометрия на плоскости»
Даны вершины
,
,
треугольника АВС. Найти:
Уравнения всех сторон треугольника;
Систему линейных неравенств, определяющих треугольник АВС ;
Уравнения высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из вершины А ;
Точку пересечения высот треугольника;
Точку пересечения медиан треугольника;
Длину высоты, опущенной на сторону АВ ;
Угол А ;
Сделать чертеж.
Пусть вершины треугольника имеют координаты: А (1; 4), В (5; 3), С (3; 6). Сразу нарисуем чертеж:
1. Чтобы выписать уравнения всех сторон треугольника, воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки с координатами (x 0 , y 0 ) и (x 1 , y 1 ):
=
Таким образом, подставляя вместо (x 0 , y 0 ) координаты точки А , а вместо (x 1 , y 1 ) координаты точки В , мы получим уравнение прямой АВ :
Полученное уравнение будет уравнением прямой АВ , записанным в общей форме. Аналогично находим уравнение прямой АС :
И так же уравнение прямой ВС :
2. Заметим, что множество точек треугольника АВС представляет собой пересечение трех полуплоскостей, причем каждую полуплоскость можно задать с помощью линейного неравенства. Если мы возьмем уравнение любой из сторон ∆АВС , например АВ , тогда неравенства
и
задают точки, лежащие по разные стороны от прямой АВ . Нам нужно выбрать ту полуплоскость, где лежит точка С. Подставим ее координаты в оба неравенства:
Правильным будет второе неравенство, значит, нужные точки определяются неравенством
.
Аналогично поступаем
с прямой ВС, ее уравнение
.
В качестве пробной используем точку А
(1, 1):
значит, нужное неравенство имеет вид:
.
Если проверим прямую АС (пробная точка В), то получим:
значит, нужное неравенство будет иметь вид
Окончательно получаем систему неравенств:
Знаки «≤», «≥» означают, что точки, лежащие на сторонах треугольника, тоже включены во множество точек, составляющих треугольник АВС .
3. а) Для того, чтобы
найти уравнение высоты, опущенной из
вершины А
на
сторону ВС
,
рассмотрим уравнение стороны ВС
:
.
Вектор с координатами
перпендикулярен сторонеВС
и, значит, параллелен высоте. Запишем
уравнение прямой, проходящей через
точку А
параллельно вектору
:
Это уравнение высоты, опущенной из т. А на сторону ВС .
б) Найдем координаты
середины стороны ВС
по формулам:
Здесь
– это координаты т.В
,
а
– координаты т.С
.
Подставим и получим:
Прямая, проходящая через эту точку и точку А является искомой медианой:
в) Уравнение
биссектрисы мы будем искать, исходя из
того, что в равнобедренном треугольнике
высота, медиана и биссектриса, опущенные
из одной вершины на основание треугольника,
равны. Найдем два вектора
и
и их длины:
Тогда вектор
имеет такое же направление, что и вектор
,
а его длина
Точно так же единичный вектор
совпадает по направлению с вектором
Сумма векторов
есть вектор, который совпадает по направлению с биссектрисой угла А . Таким образом, уравнение искомой биссектрисы можно записать виде:
4) Уравнение одной
из высот мы уже построили. Построим
уравнение еще одной высоты, например,
из вершины В
.
Сторона АС
задается уравнением
Значит, вектор
перпендикуляренАС
,
и, тем самым, параллелен искомой высоте.
Тогда уравнение прямой, проходящей
через вершину В
в направлении вектора
(т. е. перпендикулярноАС
),
имеет вид:
Известно, что высоты треугольника пересекаются в одной точке. В частности, эта точка является пересечением найденных высот, т.е. решением системы уравнений:
- координаты этой
точки.
5. Середина АВ
имеет координаты
.
Запишем уравнение медианы к сторонеАВ.
Эта
прямая проходит через точки с координатами
(3, 2) и (3, 6), значит, ее уравнение имеет
вид:
Заметим, что ноль в знаменателе дроби в записи уравнения прямой означает, что эта прямая проходит параллельно оси ординат.
Чтобы найти точку пересечения медиан достаточно решить систему уравнений:
Точка пересечения
медиан треугольника имеет координаты
.
6. Длина высоты,
опущенной на сторону АВ,
равна расстоянию от точки С
до прямой АВ
с уравнением
и находится по формуле:
7. Косинус угла А
можно найти по формуле косинуса угла
между векторами
и
,
который равен отношению скалярного
произведения этих векторов к произведению
их длин:
.
